Introduction à l’analyse des données
Du khi-deux à l’analyse des correspondances
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 12 : Du khi-deux à l’analyse des correspondances
Un autre type de tableau
Le tableau de contingence
La situation
Deux variables qualitatives croisées : chaque case porte un effectif, non une mesure.
L’ACP ne s’applique pas : ni moyenne, ni variance, ni corrélation sur des catégories.
Le tableau du chapitre : type de client et canal d’achat
| Magasin | Web | Téléphone | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Jeunes | 30 | 60 | 10 | 100 |
| Familles | 80 | 40 | 30 | 150 |
| Seniors | 90 | 20 | 40 | 150 |
| Total | \mathbf{200} | \mathbf{120} | \mathbf{80} | \mathbf{400} |
Le tableau de contingence, en image
L’écart à l’indépendance
Les effectifs attendus
Sous indépendance
Si les deux variables étaient sans lien, chaque case vaudrait \text{attendu} = \frac{\text{total ligne} \times \text{total colonne}}{\text{total général}}
Le tableau des écarts
Exemple
Effectif observé, et attendu entre parenthèses :
| Magasin | Web | Téléphone | |
|---|---|---|---|
| Jeunes | 30 (50) | 60 (30) | 10 (20) |
| Familles | 80 (75) | 40 (45) | 30 (30) |
| Seniors | 90 (75) | 20 (45) | 40 (30) |
Les jeunes achètent deux fois plus sur le web qu’attendu, les seniors deux fois moins : c’est là qu’est l’information.
Le khi-deux
La mesure de l’écart
\chi^2 = \sum_{\text{cases}} \frac{(\text{observé} - \text{attendu})^2}{\text{attendu}}
Le calcul
\chi^2 = \frac{400}{50} + \frac{900}{30} + \frac{100}{20} + \frac{25}{75} + \frac{25}{45} + 0 + \frac{225}{75} + \frac{625}{45} + \frac{100}{30}
\chi^2 \approx \mathbf{64{,}1}
pour (3-1)(3-1) = 4 degrés de liberté.
Ce que la statistique inférentielle en faisait
Application économique
Le chapitre 18 de Statistique inférentielle comparait ce 64{,}1 à un seuil, et concluait au rejet de l’indépendance.
Conclusion en un mot : il y a un lien. Elle ne dit pas lequel — ni quelles catégories s’attirent, ni selon quelles dimensions.
L’analyse des correspondances reprend exactement le même nombre et le décompose.
L’inertie d’un tableau croisé
Du khi-deux à l’inertie
Le phi-deux
\Phi^2 = \frac{\chi^2}{n}
C’est le khi-deux rapporté à l’effectif total — et c’est l’inertie totale du tableau.
Sur notre tableau
\Phi^2 = \frac{64{,}1}{400} = \mathbf{0{,}160}
Le pont avec tout ce qui précède
Le chapitre 6 avait défini l’inertie comme la dispersion d’un nuage autour de son centre.
Ici, le « centre » est la situation d’indépendance, et l’inertie mesure de combien le tableau s’en écarte. Un tableau parfaitement indépendant aurait une inertie nulle : rien à représenter.
La démarche est donc identique à celle de l’ACP — décomposer une inertie totale sur des axes hiérarchisés — appliquée à un écart à l’indépendance plutôt qu’à une dispersion de mesures.
La décomposition
\Phi^2 = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots
Le nombre d’axes vaut \min(\text{lignes}, \text{colonnes}) - 1. Ici : \min(3,3) - 1 = 2 axes.
Les profils
Comparer des lignes de tailles différentes
Profil-ligne
Le profil d’une ligne est sa répartition en pourcentages : \text{profil}_j = \frac{n_{ij}}{\text{total de la ligne } i}
Les trois profils-lignes
| Magasin | Web | Téléphone | |
|---|---|---|---|
| Jeunes | 30\,\% | \mathbf{60\,\%} | 10\,\% |
| Familles | 53\,\% | 27\,\% | 20\,\% |
| Seniors | 60\,\% | 13\,\% | 27\,\% |
| Ensemble | 50\,\% | 30\,\% | 20\,\% |
Les trois profils, en image
Pourquoi raisonner en profils
Intuition
Les jeunes sont 100 et les seniors 150 : comparer les effectifs bruts confondrait la taille du groupe et son comportement.
Les profils suppriment cet effet : les jeunes achètent sur le web dans 60\,\% des cas contre 30\,\% en moyenne, les seniors dans 13\,\%.
Le nuage de l’AFC est un nuage de profils, non d’effectifs.
Une propriété remarquable
Définition
On peut construire le nuage des profils-lignes ou celui des profils-colonnes.
Les deux donnent les mêmes valeurs propres et deux représentations qui se superposent. C’est la dualité du chapitre 5, portée à sa forme la plus complète — et c’est ce qui permettra, au chapitre 13, de lire lignes et colonnes sur une seule figure.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Un tableau de contingence croise deux variables qualitatives ; l’ACP ne s’y applique pas.
- Le khi-deux mesure l’écart à l’indépendance : ici \chi^2 \approx 64{,}1 pour 4 degrés de liberté.
- L’inertie totale est \Phi^2 = \chi^2/n = 64{,}1/400 = \mathbf{0{,}160}.
- L’AFC décompose cette inertie sur des axes, là où le test se contentait de conclure.
- Le nuage est fait de profils, ce qui neutralise les différences de taille.
La suite
L’inertie est décomposée. Reste à lire la figure — et les règles de lecture ne sont pas tout à fait celles de l’ACP.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)