Introduction à l’analyse des données

Le tableau de données et le nuage

Introduction à l'analyse des données

Introduction à l’analyse des données

Chapitre 5 : Le tableau de données et le nuage

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Le tableau

Sa forme

Le tableau individus-variables

n lignes — les individus — et p colonnes — les variables : la case (i,j) porte la valeur de j pour i. C’est le format d’entrée de toute l’analyse des données.

Ce qui doit être vérifié avant de commencer

Application économique
Point Question
Homogénéité les lignes sont-elles comparables entre elles ?
Valeurs manquantes combien, et pourquoi manquent-elles ?
Valeurs aberrantes erreurs de saisie, ou individus réellement atypiques ?
Doublons le même client compte-t-il deux fois ?

Un individu aberrant peut capter à lui seul un axe entier — c’est la sensibilité du chapitre 4, aggravée. Ce contrôle n’est pas une formalité.

Les deux nuages

Un tableau, deux lectures

Le nuage des individus

Chaque ligne devient un point dans un espace à p dimensions : ses coordonnées sont ses p valeurs.

Cinq clients notés sur deux critères donnent cinq points dans un plan.

Le nuage des variables

Chaque colonne devient un point dans un espace à n dimensions.

Deux variables observées sur cinq clients donnent deux points dans un espace à cinq dimensions.

Deux regards sur le même objet

Intuition

Ce sont deux façons de lire le même tableau, et elles répondent à deux questions distinctes :

  • le nuage des individus demande : quels clients se ressemblent ?
  • le nuage des variables demande : quels critères vont ensemble ?

Elles se répondront simultanément : c’est la dualité, qui donnera le cercle des corrélations au chapitre 10 et le plan des individus au chapitre 11.

Le nuage du fil rouge

Cinq points dans le plan
Client Accueil Fidélité
1 8 4
2 10 12
3 12 8
4 14 16
5 16 20

Placés dans un repère, ces cinq points s’alignent presque : c’est la traduction visuelle du r = 0{,}9 du chapitre 4.

Avec deux variables, on voit tout. Le problème de l’introduction ne se pose pas encore — il commencera à trois.

Le centre de gravité

Le point moyen

Centre de gravité

Le centre de gravité G du nuage est le point dont les coordonnées sont les moyennes de chaque variable : G = \left(\bar x_1, \bar x_2, \dots, \bar x_p\right)

Sur le fil rouge

G = (12 \,;\, 12)

Les deux moyennes valant 12, le centre du nuage est le point (12\,;\,12).

Ce que centrer signifie géométriquement

Centrer les variables, comme au chapitre 2, revient à déplacer l’origine du repère en G.

Le nuage ne change ni de forme, ni de taille, ni d’orientation : seul le point d’où on le regarde a bougé.

C’est une préparation nécessaire, car les axes qu’on cherchera passeront tous par le centre du nuage. Un axe qui n’y passerait pas ne pourrait pas résumer l’ensemble.

Après centrage et réduction

Le nuage est centré en l’origine, et chaque variable a une variance de 1.

C’est dans cette configuration que travaillera toute la suite du cours.

Ce que le nuage permet de dire

Distances et ressemblances

La distance entre deux individus

Sur données réduites, la distance entre deux individus i et i' se calcule par le théorème de Pythagore, étendu à p dimensions :

d(i,i') = \sqrt{\sum_{j=1}^{p} \left(z_{ij} - z_{i'j}\right)^2}

Ce que la géométrie apporte

Deux clients proches dans le nuage ont des valeurs semblables sur l’ensemble des critères. Deux clients éloignés diffèrent.

La question « quels clients se ressemblent ? » devient donc une question de distance — et ce basculement vers la géométrie rend la suite possible.

Pourquoi la réduction est ici décisive

Application économique

Sans réduction, la distance serait dominée par la variable de plus grande dispersion : deux clients seraient jugés éloignés parce qu’ils diffèrent en montant dépensé, quelle que soit leur satisfaction.

Réduire, c’est décider que chaque critère compte autant dans la ressemblance. C’est un choix, et il faut savoir qu’on le fait.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Cinq points
  1. Le tableau individus-variables est le format d’entrée : n lignes, p colonnes.
  2. Il se lit de deux façons : nuage des individus dans \mathbb{R}^p, nuage des variables dans \mathbb{R}^n.
  3. Le centre de gravité a pour coordonnées les moyennes — ici (12\,;\,12).
  4. Centrer revient à placer l’origine en G ; la forme du nuage ne change pas.
  5. La ressemblance entre individus devient une distance, ce qui rend la géométrie utilisable.
La suite

Le nuage est en place. Reste à mesurer l’information qu’il contient — sans quoi on ne pourra pas dire qu’une projection en conserve beaucoup ou peu.

C’est l’inertie, et c’est le chapitre 6.

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Ressources du chapitre