Introduction à l’analyse des données
Le plan des individus
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 11 : Le plan des individus
Placer les individus
Le principe
Les coordonnées factorielles
Chaque individu est placé selon ses coordonnées sur les axes retenus — c’est-à-dire sa projection sur ces axes.
C’est la photographie de l’introduction, enfin tirée.
Le plan des individus
Ce que la position signifie
Définition
| Position | Lecture |
|---|---|
| Proches l’un de l’autre | individus de profils semblables |
| Éloignés | profils différents |
| Loin du centre | individu atypique, fortement marqué |
| Près du centre | individu moyen, ou mal représenté |
L’ambiguïté du centre
Intuition
Un point proche de l’origine signifie soit un individu moyen sur tout, soit un individu mal représenté par ce plan. La figure seule ne tranche pas : d’où la qualité de représentation, plus bas.
Sur le fil rouge
Les cinq clients sur le premier axe
Le premier axe étant la satisfaction globale, les clients s’y ordonnent du moins au plus satisfait :
| Rang sur l’axe | Client | Accueil | Fidélité |
|---|---|---|---|
| le plus bas | 1 | 8 | 4 |
| 3 | 12 | 8 | |
| 2 | 10 | 12 | |
| 4 | 14 | 16 | |
| le plus haut | 5 | 16 | 20 |
Les clients 1 et 5 sont aux extrémités : l’un est faible sur les deux critères, l’autre fort sur les deux.
Les clients 2 et 3 se distinguent sur le second axe, celui qui oppose les deux notes : le client 2 est plus fidèle qu’accueilli, le client 3 l’inverse. C’est précisément l’information que porte l’axe à 5\,\%.
Lire correctement le plan
Les trois aides à l’interprétation
La qualité de représentation
Elle mesure la part de l’inertie d’un individu effectivement restituée par le plan.
Elle se lit comme un pourcentage : 0{,}85 signifie que le plan rend compte de 85\,\% de la position réelle de cet individu.
La règle absolue
Application économique
On ne commente jamais la position d’un individu mal représenté.
Un client dont la qualité vaut 0{,}12 apparaît quelque part sur la figure, mais cette position ne veut rien dire : il vit dans des dimensions qu’on n’a pas tracées.
C’est exactement la même prudence qu’au chapitre 10 pour les variables proches du centre — et elle est aussi souvent oubliée.
La contribution d’un individu
La contribution
Elle mesure la part d’un individu dans la construction d’un axe.
Un individu dont la contribution est très élevée a fabriqué l’axe à lui seul. L’axe décrit alors un cas particulier, non une structure.
Le contrôle à faire systématiquement
Si une contribution dépasse largement la moyenne — qui vaut 1/n —, il faut se demander si cet individu est une erreur de saisie ou un cas réellement exceptionnel.
Dans les deux cas, refaire l’analyse sans lui et comparer les résultats. Si les axes changent complètement, le premier résultat ne décrivait pas la population : il décrivait un point.
Les variables illustratives
Actif et illustratif
Une variable active participe au calcul des axes.
Une variable illustrative n’y participe pas : on la projette après coup, pour aider à l’interprétation.
Un usage très pratique
Application économique
On construit les axes sur les seules notes de satisfaction — variables actives. Puis on projette, en illustratif, la région, la tranche d’âge, l’ancienneté.
Si les jeunes se groupent d’un côté du premier axe, on a trouvé un lien entre âge et satisfaction sans que l’âge ait construit les axes : la structure d’abord, l’explication ensuite. L’ordre inverse serait circulaire.
Croiser les deux plans
Individus et variables ensemble
La règle de lecture conjointe
Un individu situé du côté où pointe une variable a une valeur élevée sur cette variable.
C’est ce qui permet de nommer les groupes : les individus placés là où pointent les critères de service sont les clients satisfaits du service.
Une précaution sur la superposition
Les deux nuages ne vivent pas dans le même espace — l’un dans \mathbb{R}^p, l’autre dans \mathbb{R}^n, comme au chapitre 5.
Les superposer sur une même figure est une commodité de lecture, pas une identité mathématique. On lit des directions, jamais des distances entre un individu et une variable.
Le résultat que l’entreprise attend
Au terme de l’analyse, on sait dire : il existe trois profils de clients, l’un sensible au service, l’autre au prix, le troisième sans exigence marquée — et l’on sait montrer sur quelle figure cela se lit.
C’est un résultat descriptif, obtenu sans avoir posé aucune hypothèse. Le vérifier, le tester, en tirer une politique commerciale relève d’autres cours.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Les individus sont placés selon leurs projections sur les axes retenus.
- Un point central est soit moyen, soit mal représenté — la figure ne tranche pas.
- La qualité de représentation décide de ce qu’on a le droit de commenter.
- Une contribution excessive signale qu’un individu a fabriqué l’axe : refaire l’analyse sans lui.
- Les variables illustratives aident à interpréter sans avoir influencé les axes.
La suite
Tout ce qui précède suppose des variables quantitatives. Que faire d’un tableau de catégories — sexe, région, canal d’achat ?
C’est le chapitre 12, et la réponse commence par un test que vous connaissez déjà.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)