Introduction à l’analyse des données

La covariance, généralisation de la variance

Introduction à l'analyse des données

Introduction à l’analyse des données

Chapitre 3 : La covariance, généralisation de la variance

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

D’une variable à deux

La variance, réécrite

Le point de départ

V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar x\right)^2 \;=\; \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar x\right)\left(x_i - \bar x\right)

Écrite ainsi, la variance est la moyenne du produit de l’écart de x par lui-même.

La question qui vient naturellement

Si l’on peut multiplier l’écart de x par l’écart de x, rien n’interdit de le multiplier par l’écart de y.

C’est exactement ce que fait la covariance. Elle n’est pas une notion nouvelle : c’est la variance, avec une seconde variable à la place de la première.

La covariance

\operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar x\right)\left(y_i - \bar y\right)

La conséquence immédiate

\operatorname{cov}(x,x) = V(x)

La variance est le cas particulier de la covariance d’une variable avec elle-même. C’est le sens exact du mot « généralisation ».

Le calcul

Sur le fil rouge

Produit des écarts, client par client
Client x_i - \bar x y_i - \bar y Produit
1 -4 -8 +32
2 -2 0 0
3 0 -4 0
4 2 4 +8
5 4 8 +32
Somme \mathbf{72}

\operatorname{cov}(x,y) = \frac{72}{5} = 14{,}4

Lire le signe de chaque produit

Intuition

Les clients 1 et 5 sont du même côté de la moyenne sur les deux critères — deux écarts de même signe, donc un produit positif. Un client au-dessus sur l’un et en dessous sur l’autre donnerait un produit négatif.

La covariance additionne ces accords et ces désaccords. Elle est positive lorsque les deux variables varient dans le même sens.

Ce que le signe signifie

Les trois cas
Signe Lecture
\operatorname{cov} > 0 les deux variables varient dans le même sens
\operatorname{cov} < 0 elles varient en sens contraire
\operatorname{cov} = 0 aucune liaison linéaire
Sur nos clients

\operatorname{cov}(x,y) = 14{,}4 > 0 : les clients qui jugent bien l’accueil sont aussi les plus fidèles.

C’est une information de gestion immédiate — et c’est encore une association, non une causalité. Rien ici ne dit que soigner l’accueil produira de la fidélité.

La limite de la covariance

Un nombre qu’on ne sait pas interpréter

Quatorze virgule quatre, est-ce beaucoup ?

Impossible à dire. La covariance dépend des unités : elle s’exprime ici en « points d’accueil × points de fidélité », ce qui ne veut rien dire.

Si les notes étaient sur 100 au lieu de 20, la covariance serait multipliée par 25 — sans qu’aucune liaison ait changé.

Aucune borne

La covariance n’a ni maximum ni minimum. Elle peut valoir 0{,}003 ou 4\,500\,000 selon les grandeurs manipulées.

On ne peut donc ni la comparer d’un couple de variables à l’autre, ni juger de la force d’une liaison à partir d’elle.

Le problème est celui du chapitre 2

C’est exactement la difficulté des unités déjà rencontrée. Et le remède sera le même : réduire.

Diviser par les écarts-types va supprimer les unités et borner le résultat. C’est le chapitre 4, et cela donnera la corrélation.

Variances-covariances

Ranger tous les calculs

La matrice

Avec p variables, on range les variances sur la diagonale et les covariances ailleurs :

\Sigma = \begin{pmatrix} V(x_1) & \operatorname{cov}(x_1,x_2) & \cdots \\ \operatorname{cov}(x_2,x_1) & V(x_2) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

Sur le fil rouge

\Sigma = \begin{pmatrix} 8 & 14{,}4 \\ 14{,}4 & 32 \end{pmatrix}

La diagonale porte les variances du chapitre 2 ; les deux autres cases portent la covariance.

Deux propriétés
  1. Elle est symétrique, puisque \operatorname{cov}(x,y) = \operatorname{cov}(y,x).
  2. Sa diagonale contient les variances — c’est encore la même identité \operatorname{cov}(x,x) = V(x).
Pourquoi cet objet compte

Cette matrice contient tout ce que l’analyse va utiliser. Les axes du chapitre 8 s’en déduisent entièrement.

Un tableau de trois cents lignes et douze colonnes se résume donc à une matrice de douze sur douze. C’est déjà, en soi, une réduction considérable.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Cinq points
  1. La covariance est la moyenne du produit des écarts aux deux moyennes.
  2. Elle généralise la variance : \operatorname{cov}(x,x) = V(x).
  3. Sur le fil rouge, \operatorname{cov}(x,y) = 72/5 = \mathbf{14{,}4} — positive.
  4. Son signe s’interprète ; sa valeur, non : elle dépend des unités et n’est pas bornée.
  5. La matrice des variances-covariances est symétrique et porte les variances sur sa diagonale.
La suite

Il reste à rendre ce nombre lisible. Le chapitre 4 le divise par les écarts-types — et obtient une mesure bornée entre -1 et +1.

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Ressources du chapitre