Introduction à l’analyse des données
Rappels sur une variable : centrer et réduire
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 2 : Rappels sur une variable : centrer et réduire
Le fil rouge du cours
Cinq clients, deux critères
Le tableau qui portera tout le cours
Cinq clients ont noté l’enseigne sur deux critères, de 0 à 20 :
| Client | Accueil X | Fidélité Y |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 4 |
| 2 | 10 | 12 |
| 3 | 12 | 8 |
| 4 | 14 | 16 |
| 5 | 16 | 20 |
Pourquoi cinq lignes
Un fichier réel en compte des milliers. Cinq permettent de tout vérifier à la main, et c’est le seul moyen de comprendre ce que les logiciels calculent.
Ce tableau reviendra à chaque chapitre jusqu’à l’analyse en composantes principales.
La moyenne et la variance
Les deux résumés d’une variable
La moyenne
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Sur nos données
\bar x = \frac{8+10+12+14+16}{5} = \frac{60}{5} = 12 \qquad\qquad \bar y = \frac{4+12+8+16+20}{5} = \frac{60}{5} = 12
Les deux variables ont la même moyenne. Elles ne se ressemblent pourtant pas du tout, et c’est la variance qui va le dire.
La variance
Définition
V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar x\right)^2
C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L’écart-type s_x = \sqrt{V(x)} la ramène à l’unité de la variable.
Le calcul, écart par écart
Les cinq écarts, et leurs carrés
| Client | x_i - \bar x | (x_i - \bar x)^2 | y_i - \bar y | (y_i - \bar y)^2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -4 | 16 | -8 | 64 |
| 2 | -2 | 4 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | -4 | 16 |
| 4 | 2 | 4 | 4 | 16 |
| 5 | 4 | 16 | 8 | 64 |
| Somme | \mathbf{0} | \mathbf{40} | \mathbf{0} | \mathbf{160} |
V(x) = \frac{40}{5} = 8 \qquad V(y) = \frac{160}{5} = 32
s_x = \sqrt{8} \approx 2{,}83 \qquad\qquad s_y = \sqrt{32} \approx 5{,}66
Deux vérifications à faire systématiquement
La somme des écarts vaut toujours zéro — c’est la définition même de la moyenne. Si elle ne tombe pas juste, le calcul est faux.
Et la fidélité est quatre fois plus dispersée que l’accueil (32 contre 8). Deux variables de même moyenne peuvent donc décrire des situations entièrement différentes.
Centrer et réduire
L’opération qui commande tout le cours
La variable centrée réduite
z_i = \frac{x_i - \bar x}{s_x}
Centrer, c’est retrancher la moyenne. Réduire, c’est diviser par l’écart-type.
Sur l’accueil
| Client | x_i | x_i - 12 | z_i = \dfrac{x_i - 12}{2{,}83} |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | -4 | -1{,}414 |
| 2 | 10 | -2 | -0{,}707 |
| 3 | 12 | 0 | 0 |
| 4 | 14 | 2 | 0{,}707 |
| 5 | 16 | 4 | 1{,}414 |
Les deux propriétés de la variable réduite
Moyenne nulle, variance unité
\bar z = 0 \qquad\qquad V(z) = 1
Toute variable centrée réduite a une moyenne nulle et une variance de un, quelles que soient ses valeurs de départ.
Pourquoi c’est indispensable ici
Le problème des unités
Un fichier client mêle des variables sans commune mesure : un montant en dirhams qui varie de 200 à 50\,000, une note de satisfaction entre 1 et 5, une ancienneté en années.
La variance du montant se compte en millions ; celle de la note, en dixièmes. Sans précaution, le montant écraserait tout : compter en milliers de dirhams plutôt qu’en dirhams changerait les conclusions. C’est inacceptable.
Ce que chaque opération accomplit
Centrer déplace l’origine au centre du nuage : ni les formes ni les distances ne changent, seulement le point depuis lequel on regarde. C’est ce qui permettra, au chapitre 5, de faire passer les axes par le centre.
Réduire donne à chaque variable le même poids. Après réduction, toutes ont une variance de un : aucune ne peut dominer par son unité.
La conséquence, à retenir
Après centrage et réduction, une variable n’a plus d’unité. On peut donc comparer et combiner des grandeurs qui n’avaient rien à voir — un montant, une note, une durée.
C’est ce qui rend l’analyse multivariée possible, et c’est pourquoi ce chapitre, en apparence le plus élémentaire, est le plus important des trois rappels.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Le fil rouge : cinq clients, accueil et fidélité, moyennes toutes deux égales à 12.
- V(x) = 8 et V(y) = 32 : même moyenne, dispersions très différentes.
- La somme des écarts à la moyenne vaut toujours zéro — c’est un contrôle.
- La variable centrée réduite z = (x - \bar x)/s_x a une moyenne de 0 et une variance de 1.
- Réduire donne à chaque variable le même poids et supprime l’effet des unités.
La suite
Une variable est décrite. Il faut maintenant en relier deux — et le chapitre 3 montre que l’outil pour le faire n’est pas nouveau : c’est la variance, généralisée.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)