Introduction à l’analyse des données
Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Introduction : Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Le cours qui précède
Statistique descriptive, en particulier la covariance et la corrélation — ce cours n’en est que le prolongement à plus de deux variables.
Les notions mobilisées
Moyenne, variance, écart-type, covariance, corrélation. La variable centrée réduite, qui commande tout le reste.
Les trois premiers chapitres les rappellent : ce n’est pas une formalité, c’est là que se joue la compréhension de la suite.
Ce que le cours établit lui-même
Ce cours ne suppose pas l’algèbre linéaire
Vecteur propre et valeur propre sont rappelés au moment où ils servent, sans démonstration.
C’est le parti pris du niveau Licence : montrer ce que font les méthodes. Analyse des données avancée, au Master, reprend l’ensemble et démontre pourquoi elles le font — et là, l’algèbre linéaire est exigée.
Une photographie de chameau
Le problème du photographe
Ce que l’image montre
Le même animal, deux clichés
De face, un chameau photographié en noir et blanc est une colonne étroite surmontée d’une tache. Rien ne permet de reconnaître l’animal : ni les bosses, ni l’encolure, ni la ligne du dos.
De profil, il n’y a plus le moindre doute. Deux bosses, un long cou, une démarche caractéristique.
Pourtant, c’est le même animal, le même appareil, la même lumière. Seul l’angle de prise de vue a changé.
Pourquoi l’angle décide de tout
Un chameau est un objet à trois dimensions. Une photographie est une surface à deux dimensions.
Passer de trois à deux détruit nécessairement de l’information : c’est le prix de l’aplatissement.
La seule question qui reste au photographe est donc : quel angle en détruit le moins ?
Le métier du photographe, en une phrase
Il tourne autour de son sujet et cherche la position d’où la silhouette reste la plus reconnaissable — non pas toute l’information, ce qui est impossible, mais la plus grande part possible.
Le même problème, en gestion
Trente variables, aucune image
La situation ordinaire d’une entreprise
Une enseigne dispose d’un fichier de trois cents clients, chacun décrit par une douzaine de variables : montant dépensé, fréquence de visite, ancienneté, notes de satisfaction sur plusieurs critères, part des achats en promotion.
La direction pose une question simple : quels sont les profils de nos clients ?
Le tableau, lui, ne répond rien. Trois cents lignes de chiffres ne se regardent pas.
Pourquoi les graphiques usuels échouent
Le décompte
Avec p variables, on peut tracer \binom{p}{2} = \frac{p(p-1)}{2} \text{ nuages de points}
| Variables | Nuages à examiner |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 8 | 28 |
| 12 | 66 |
| 30 | 435 |
Et le nombre n’est pas le vrai problème
Intuition
Même en les examinant tous, on ne verrait que des liaisons deux à deux.
Une structure qui n’apparaît qu’en combinant quatre variables — des clients à la fois fidèles, peu sensibles au prix et anciens — reste invisible sur chacun des quatre cent trente-cinq nuages.
L’analyse des données ne fait donc pas plus de graphiques : elle en fait un seul, et le bon.
L’objet du cours
La correspondance, terme à terme
Deux problèmes, une seule méthode
| Le chameau | Le fichier clients |
|---|---|
| un objet à 3 dimensions | un tableau à p variables |
| une feuille à 2 dimensions | un graphique plan |
| l’angle de prise de vue | les axes factoriels |
| la silhouette reconnaissable | la structure des données |
| ce que la photo perd | l’inertie non représentée |
Analyse des données
L’analyse des données est l’ensemble des méthodes qui réduisent la dimension d’un tableau, en cherchant la représentation plane qui conserve la plus grande part de l’information.
Ce que le cours va donc devoir faire
Trois choses, dans cet ordre
- Mesurer l’information contenue dans un tableau — sans quoi on ne peut pas dire qu’on en conserve beaucoup ou peu. Ce sera l’inertie.
- Trouver le meilleur angle — c’est-à-dire les axes qui conservent le maximum de cette inertie.
- Lire la représentation obtenue, ce qui est un travail à part entière.
Ce que le cours ne fait pas
Une mise au point utile dès maintenant
L’analyse des données ne teste rien. Elle ne calcule aucune p-value, ne rejette aucune hypothèse, ne conclut à aucune significativité.
Elle explore : elle fait apparaître des structures qu’on ne soupçonnait pas, et qu’il appartiendra ensuite de confirmer par d’autres moyens.
C’est pourquoi on l’appelle aussi statistique exploratoire, et pourquoi elle vient avant l’inférence, jamais après.
Explorer et confirmer
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Un objet à trois dimensions photographié sur une feuille perd de l’information : la seule question est combien.
- Le photographe cherche l’angle qui en perd le moins ; l’analyse des données cherche les axes.
- Avec p variables, il y a p(p-1)/2 nuages — et ils ne montrent que des liaisons deux à deux.
- La méthode ne fait pas plus de graphiques : elle en fait un seul, et le bon.
- C’est une démarche exploratoire, qui décrit et suggère, sans tester.
La suite
Avant de construire quoi que ce soit, il faut situer ce cours par rapport à celui que vous connaissez déjà — la statistique descriptive. C’est l’objet du chapitre 1, et la réponse est plus simple qu’on ne l’imagine.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)