Introduction à l’analyse des données
Lire un plan de correspondances, et la suite
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 13 : Lire un plan de correspondances, et la suite
Lire le plan
Ce qu’on y trouve
Une figure, deux familles de points
Le plan porte simultanément les modalités des lignes et celles des colonnes.
C’est l’avantage décisif de l’AFC sur l’ACP, où variables et individus exigeaient deux figures séparées.
Sur notre tableau
Le premier axe oppose le web au magasin et au téléphone. Du côté web se placent les jeunes ; de l’autre, les seniors. Les familles occupent une position intermédiaire.
L’axe se nomme donc : le canal, du plus numérique au plus traditionnel — et il ordonne les générations dans le même mouvement.
Les quatre règles de lecture
Ce qu’on a le droit de dire
| Comparaison | Interprétation |
|---|---|
| Deux lignes proches | profils semblables |
| Deux colonnes proches | profils semblables |
| Une ligne et une colonne du même côté | attirance — effectif supérieur à l’attendu |
| Un point loin du centre | modalité au profil très particulier |
La règle qu’on enfreint le plus souvent
On ne mesure pas une distance entre une ligne et une colonne.
« Les jeunes sont à trois centimètres du web, donc plus proches que les familles » n’a pas de sens : les deux nuages ne vivent pas dans le même espace.
On lit une direction commune, jamais une distance croisée : les jeunes et le web sont du même côté de l’axe, donc associés.
Le centre du plan
L’origine représente le profil moyen.
Une modalité proche du centre a un profil banal — elle ne se distingue pas de l’ensemble. Ici, les familles sont proches du centre : leur répartition entre canaux ressemble à la moyenne générale.
Les mêmes prudences qu’en ACP
Qualité de représentation et contribution s’appliquent à l’identique.
Une modalité de faible effectif peut avoir un profil extrême et tirer un axe à elle seule. Il faut vérifier sa contribution, et souvent refaire l’analyse sans elle.
C’est le défaut le plus fréquent de l’AFC en pratique : une catégorie rare qui capte le premier axe et masque la structure réelle.
Ce que ce cours a construit
Le parcours
Les quatorze chapitres
| Chapitres | Acquis |
|---|---|
| 1–2 | Le problème de la dimension ; ce cours est de la descriptive multivariée |
| 3–5 | Centrer et réduire, covariance, corrélation |
| 6–7 | Le nuage, et l’inertie qui mesure son information |
| 8–12 | L’ACP : axes, valeurs propres, cercle, plan des individus |
| 13–14 | L’AFC : du khi-deux à la représentation |
Le fil rouge chiffré, d’un bout à l’autre
Cinq clients, accueil et fidélité :
| Chapitre | Grandeur | Valeur |
|---|---|---|
| 3 | Moyennes | 12 et 12 |
| 3 | Variances | 8 et 32 |
| 4 | Covariance | 72/5 = 14{,}4 |
| 5 | s_x s_y = \sqrt{256} | 16 |
| 5 | Corrélation | 14{,}4/16 = \mathbf{0{,}9} |
| 7 | Inertie réduite | 2 |
| 9 | Valeurs propres | 1{,}9 et 0{,}1 |
| 9 | Inertie du premier axe | \mathbf{95\,\%} |
Et pour l’AFC : \chi^2 = 64{,}1, soit une inertie \Phi^2 = 0{,}160.
La réponse au chameau
L’introduction posait une question : quel angle perd le moins d’information, et combien perd-il ?
Le chapitre 8 y a répondu par un nombre : sur nos cinq clients, le meilleur axe conserve 95\,\% de l’inertie. Passer de deux dimensions à une ne coûte que 5\,\%.
C’est tout ce que fait l’analyse des données : trouver l’angle, et dire ce qu’il coûte.
La suite, au Master
Ce qui reste à voir
Le cours d’analyse des données du niveau Master
Il reprend l’ensemble depuis le début et le prolonge :
| Prolongement | Question à laquelle il répond |
|---|---|
| Correspondances multiples | et si l’on a dix variables qualitatives ? |
| Classification | comment constituer des groupes de clients ? |
| Analyse discriminante | dans quel groupe placer un nouveau client ? |
| Positionnement multidimensionnel | comment cartographier des ressemblances déclarées ? |
| Mise en œuvre | sur R et sur Python, cas réels |
Où ce cours mène ailleurs
L’ACP réapparaîtra sous d’autres noms :
- en économétrie financière, comme méthode d’extraction de facteurs de risque ;
- en apprentissage statistique, comme réduction de dimension avant régression ;
- partout où le nombre de variables dépasse ce qu’on peut regarder.
Ce cours n’était donc pas une parenthèse : c’est l’un des outils les plus réemployés de tout le cursus.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du cours
Cinq points, pour quatorze chapitres
- Réduire la dimension, c’est perdre de l’information — la seule question est combien.
- L’inertie mesure cette information ; sur données réduites, elle vaut p.
- Les axes sont les vecteurs propres de la matrice des corrélations, les inerties leurs valeurs propres.
- On ne commente que ce qui est bien représenté — variables au bord du cercle, individus de qualité suffisante.
- L’AFC applique la même démarche à un écart à l’indépendance, mesuré par le khi-deux.
Le mot de la fin
Aucune de ces méthodes ne teste quoi que ce soit, et aucune n’établit de causalité. Elles décrivent, et elles décrivent bien.
Leur mérite est de rendre visible une structure que trente colonnes de chiffres gardaient cachée. Ce que cette structure signifie, et ce qu’il faut en faire, relève du jugement — et des cours qui suivent.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)