Introduction à l’analyse des données
Le cercle des corrélations
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 10 : Le cercle des corrélations
Représenter les variables
Le principe
Le cercle des corrélations
Chaque variable est représentée par un point dont les coordonnées sont ses corrélations avec les deux axes retenus.
Ces coordonnées étant des corrélations, elles sont comprises entre -1 et +1 : tous les points tombent à l’intérieur d’un cercle de rayon 1.
Pourquoi un cercle, et pourquoi il est utile
Intuition
Le cercle n’est pas un ornement : c’est une borne, qui donne à la figure une échelle absolue.
Une variable proche du bord est bien représentée, une variable proche du centre ne l’est pas. Sans cette borne, on interpréterait des positions qui ne veulent rien dire.
Les trois lectures
La longueur : la qualité de représentation
La règle de prudence
Une variable proche du cercle est bien représentée dans le plan : sa position est fiable.
Une variable proche du centre est mal représentée : elle s’exprime sur des axes non retenus.
La faute la plus courante
Interpréter la direction d’une variable située près du centre.
Sa position y est instable et essentiellement arbitraire — le plan ne capte presque rien de cette variable. Il faut soit l’ignorer, soit examiner un autre plan factoriel où elle sortira.
On ne commente que les variables proches du bord. C’est la première discipline à acquérir.
L’angle : la corrélation entre variables
La lecture des angles
Pour deux variables bien représentées :
| Angle entre les deux flèches | Corrélation |
|---|---|
| Proche de 0° | fortement positive |
| Proche de 90° | nulle |
| Proche de 180° | fortement négative |
Pourquoi l’angle dit la corrélation
Intuition
Le cosinus de l’angle entre deux variables est leur coefficient de corrélation — c’est la traduction géométrique du chapitre 4.
Deux variables corrélées à 0{,}9 font un angle d’environ 26° ; deux variables non corrélées sont perpendiculaires.
Le cercle est une lecture visuelle de la matrice des corrélations, plus rapide qu’un parcours de ses cases.
La position : le sens des axes
Nommer un axe
Un axe se nomme en regardant quelles variables lui sont fortement corrélées, positivement et négativement.
Une lecture type, sur un fichier de satisfaction
| Axe | Variables du côté positif | Du côté négatif | Nom proposé |
|---|---|---|---|
| 1 | accueil, conseil, propreté, amabilité | — | qualité du service |
| 2 | prix, promotions | choix, nouveautés | arbitrage prix-offre |
Le premier axe met toutes les variables du même côté : c’est un niveau général. Le second en oppose deux groupes : c’est un arbitrage.
Deux configurations à reconnaître
Un premier axe où toutes les variables sont du même signe est un effet de taille : les individus se distinguent surtout par un niveau global.
Un axe qui oppose deux groupes de variables est un effet de forme : il distingue des profils, à niveau égal.
Le fil rouge
Deux variables, un cercle minuscule
Sur nos cinq clients
Avec deux variables corrélées à 0{,}9, le cercle est simple :
- accueil et fidélité sont toutes deux fortement corrélées au premier axe, du même côté — l’angle entre elles est faible, cohérent avec r = 0{,}9 ;
- le second axe, qui ne porte que 5\,\% d’inertie, les sépare à peine.
Le premier axe se nomme donc sans difficulté : satisfaction globale.
La limite du fil rouge, assumée
Avec deux variables, le cercle n’apprend rien qu’on ne sache déjà : il n’y a qu’une corrélation à lire.
Son intérêt apparaît à partir de six ou huit variables, quand la matrice des corrélations devient illisible et que la figure, elle, reste lisible. C’est précisément le problème de l’introduction, et le cercle en est une des réponses.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Les coordonnées d’une variable sont ses corrélations avec les axes — d’où un cercle de rayon 1.
- Longueur : proche du bord, la variable est bien représentée ; proche du centre, elle ne l’est pas.
- On ne commente que les variables proches du bord.
- Angle : son cosinus est la corrélation — 0° positive, 90° nulle, 180° négative.
- Un axe où toutes les variables sont du même côté est un effet de taille ; un axe qui les oppose, un effet de forme.
La suite
Les variables sont interprétées. Le chapitre 11 passe de l’autre côté du tableau et place les individus sur le même plan.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)