Introduction à l’analyse des données
L’inertie, ou l’information d’un nuage
- Présentation du cours
- Voir en deux dimensions ce qui en a beaucoup
- De la statistique descriptive à l'analyse des données
- Rappels sur une variable : centrer et réduire
- La covariance, généralisation de la variance
- La corrélation linéaire
- Le tableau de données et le nuage
- L'inertie, ou l'information d'un nuage
- L'idée de l'analyse en composantes principales
- Axes, valeurs propres et inertie expliquée
- Combien d'axes retenir
- Le cercle des corrélations
- Le plan des individus
- Du khi-deux à l'analyse des correspondances
- Lire un plan de correspondances, et la suite
Introduction à l’analyse des données
Chapitre 6 : L’inertie, ou l’information d’un nuage
Mesurer l’information
Ce qui manque encore
La question laissée en suspens à l’introduction
Le photographe cherche l’angle qui perd le moins d’information. Encore faut-il savoir la mesurer : sans quoi on ne peut ni comparer deux angles, ni dire qu’une représentation est bonne.
L’idée
Un nuage dont tous les points seraient confondus ne contiendrait aucune information : tous les individus seraient identiques.
Un nuage très dispersé en contient beaucoup : les individus diffèrent, et ces différences sont précisément ce qu’on veut décrire.
L’information d’un nuage, c’est donc sa dispersion.
Ce qui manque encore, en image
La définition
Inertie totale
I = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d^2(i, G)
C’est la moyenne des carrés des distances des individus au centre de gravité.
Le mot vient de la mécanique
En physique, le moment d’inertie mesure la difficulté à faire tourner un corps autour d’un axe : plus la masse est éloignée de l’axe, plus l’inertie est grande.
Ici, plus les individus sont éloignés du centre, plus l’inertie est grande. Le vocabulaire est emprunté, la notion est la même.
Le résultat qui relie tout
L’inertie est une somme de variances
Le théorème
I = \sum_{j=1}^{p} V(x_j)
L’inertie totale du nuage est la somme des variances des variables.
Pourquoi c’est immédiat
La distance au carré d’un individu au centre est, par Pythagore, la somme sur les p variables des écarts au carré à chaque moyenne.
Moyenner sur les individus donne, variable par variable, exactement la variance. L’inertie est donc la dispersion totale, tous critères confondus — la dispersion du chapitre 2 est la taille du nuage du chapitre 5.
Sur le fil rouge, données brutes
Exemple
I = V(x) + V(y) = 8 + 32 = 40
La fidélité pèse quatre fois plus que l’accueil dans cette inertie — uniquement parce qu’elle est notée avec plus de dispersion.
Le cas des données réduites
Le résultat décisif
Après réduction, chaque variable a une variance de 1. Donc
\boxed{\,I = p\,}
L’inertie totale d’un tableau réduit est égale au nombre de variables.
Sur le fil rouge
Deux variables réduites : I = 1 + 1 = 2.
L’accueil et la fidélité pèsent désormais autant l’une que l’autre, ce qui était bien l’intention du chapitre 2.
Pourquoi ce résultat est si commode
Il donne un étalon : si l’inertie totale vaut p, dire qu’un axe en porte 1{,}9 sur 2 signifie immédiatement 95\,\%.
Sans lui, « 1{,}9 » ne voudrait rien dire. C’est ce qui rendra lisibles les pourcentages du chapitre 9.
Décomposer l’inertie
Ce qu’une projection conserve
Le théorème de Pythagore, appliqué au nuage
Projeter le nuage sur un axe décompose l’inertie en deux parts :
\underbrace{I}_{\text{totale}} \;=\; \underbrace{I_{\text{projetée}}}_{\text{conservée}} \;+\; \underbrace{I_{\text{résiduelle}}}_{\text{perdue}}
Le chameau, enfin chiffré
L’inertie projetée est ce que la photographie conserve ; l’inertie résiduelle est ce qu’elle écrase.
Un bon angle est celui qui rend l’inertie projetée maximale. Le problème du photographe devient donc un problème d’optimisation, et il a une solution exacte.
Le programme de l’analyse en composantes principales
\text{trouver l'axe qui \textbf{maximise} l'inertie projetée}
C’est tout. Les cinq chapitres qui suivent ne font que résoudre ce problème et lire sa solution.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- L’information d’un nuage est sa dispersion : un nuage concentré ne dit rien.
- L’inertie est la moyenne des carrés des distances au centre de gravité.
- Elle est égale à la somme des variances — le pont entre géométrie et statistique.
- Sur données réduites, I = p : ici I = 2. C’est l’étalon qui rend les pourcentages lisibles.
- Une projection décompose l’inertie en une part conservée et une part perdue.
La suite
Le problème est posé, et il est bien posé : maximiser l’inertie projetée. Le chapitre 7 explique comment on le résout.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)