Analyse dynamique des modèles économiques
Le vocabulaire commun
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 1 : Le vocabulaire commun
Six mots, un seul sens
Le programme du chapitre
Un chapitre de langue, pas de calcul
Les six notions qui suivent — ordre, linéarité, coefficients constants, autonomie, solution générale, état stationnaire — ont exactement le même sens en temps discret et en temps continu.
C’est ce qui rend le face à face possible : une seule grammaire pour deux langages. Chaque définition est donc donnée une fois, avec ses deux traductions côte à côte.
L’ordre
La définition
Ordre d’une équation dynamique
L’ordre est le nombre de périodes, ou le rang de dérivation, dont il faut disposer pour déterminer la suite du mouvement.
| Ordre | Temps discret | Temps continu |
|---|---|---|
| 1 | y_{t+1}=f(y_t) | \dot y = f(y) |
| 2 | y_{t+2}=f(y_{t+1},y_t) | \ddot y = f(\dot y, y) |
| n | n retards | dérivée n-ième |
La définition (suite)
Comment le lire
En temps discret, l’ordre est l’écart entre l’indice le plus grand et le plus petit. Dans y_{t+2}=3y_{t+1}-2y_t, l’écart va de t à t+2 : ordre 2.
En temps continu, l’ordre est celui de la plus haute dérivée présente.
Ce que l’ordre commande
Ordre et conditions initiales
Une équation d’ordre n exige n conditions pour que la trajectoire soit unique.
- Ordre 1 : la seule donnée de y_0 suffit.
- Ordre 2 : il faut y_0 et y_1 en discret ; y(0) et \dot y(0) en continu.
Pourquoi l’économie a besoin de l’ordre 2
L’ordre 1 dit : l’état de demain dépend de l’état d’aujourd’hui. C’est un modèle sans mémoire longue.
L’ordre 2 dit : il dépend aussi de la vitesse à laquelle on y est arrivé. C’est précisément ce que fait l’accélérateur d’investissement — les entreprises investissent en fonction de la variation de la demande, pas de son niveau. D’où le modèle de Samuelson, au chapitre 10.
La linéarité
La définition (suite 2)
Équation linéaire
L’équation est linéaire si la grandeur et ses retards ou dérivées n’apparaissent qu’à la puissance 1, sans produit entre eux, ni racine, ni logarithme, ni exponentielle.
| Linéaire | Non linéaire |
|---|---|
| y_{t+1} = 0{,}8\,y_t + 5 | y_{t+1} = 3\,y_t(1-y_t) |
| \dot y = -0{,}5\,y + 4 | \dot y = r\,y\left(1-\dfrac{y}{K}\right) |
| \ddot y + 3\dot y + 2y = 0 | \ddot y + y^2 = 0 |
La définition (suite 2) (suite 2)
Pourquoi la distinction gouverne tout le cours
Une équation linéaire se résout : on dispose d’une formule explicite qui donne y_t ou y(t) en fonction de t.
Une équation non linéaire ne se résout presque jamais. On ne peut alors qu’étudier ses équilibres et leur stabilité — c’est l’objet du chapitre 9.
Les chapitres 2 à 8 traitent le cas linéaire, parce que c’est le seul où l’on obtient des réponses complètes.
Les coefficients
Coefficients constants ou variables
\underbrace{y_{t+1}=a\,y_t+b}_{\text{coefficients constants}} \qquad\qquad \underbrace{y_{t+1}=a_t\,y_t+b_t}_{\text{coefficients variables}}
Même distinction en continu : \dot y = a\,y+b contre \dot y = a(t)\,y + b(t).
Ce que « constant » veut dire en économie
Coefficients constants : le mécanisme est le même à toutes les dates. Un taux d’intérêt fixe, une propension à consommer stable.
Coefficients variables : le mécanisme lui-même change. Un taux indexé, une politique révisée chaque année, un salaire soumis à une grille évolutive.
L’essentiel du cours suppose les coefficients constants. Le chapitre 5 lève cette hypothèse.
L’autonomie
Une distinction subtile mais utile
Équation autonome
Une équation est autonome si le temps n’y figure pas explicitement — seulement à travers la grandeur elle-même.
\dot y = f(y) \quad \text{autonome} \qquad\qquad \dot y = f(y,t) \quad \text{non autonome}
L’image de la règle du jeu
Autonome : la règle est la même hier, aujourd’hui et demain. Seul l’état change. Deux trajectoires parties du même point à des dates différentes se superposent, simplement décalées.
Non autonome : la règle elle-même dépend du calendrier. Partir de y=10 en janvier n’est pas partir de y=10 en juillet.
Une distinction subtile mais utile (suite)
Trois équations
| Équation | Autonome ? |
|---|---|
| \dot y = 0{,}05\,y | oui |
| \dot y = 0{,}05\,y + 100 | oui — la constante ne dépend pas de t |
| \dot y = 0{,}05\,y + 100\,\mathrm{e}^{0{,}02t} | non |
Une distinction subtile mais utile (fin)
Pourquoi cela compte
Les diagrammes de phase du chapitre 4 et les portraits du chapitre 8 n’existent que pour les équations autonomes : le temps n’y figure pas, ce qui permet justement de le faire disparaître du dessin.
Presque tous les modèles économiques classiques sont autonomes. Ceux qui ne le sont pas — croissance de la population imposée de l’extérieur, choc pétrolier daté — se ramènent souvent à un cas autonome en ajoutant une variable.
Résoudre, ce que ça veut dire
Solution générale et solution particulière
Les deux mots
- La solution générale est la famille de toutes les trajectoires compatibles avec l’équation. Elle contient autant de constantes arbitraires que l’ordre de l’équation.
- La solution particulière est celle qui vérifie en outre les conditions initiales. Elle est unique.
Sur l’exemple le plus simple
y_{t+1}=0{,}8\,y_t \ \Longrightarrow\ y_t = C\times 0{,}8^{\,t} \qquad\qquad \dot y = -0{,}22\,y \ \Longrightarrow\ y(t)=C\,\mathrm{e}^{-0{,}22\,t}
Dans les deux cas, une constante C : l’ordre est 1.
Avec y_0 = 50 : C=50 des deux côtés. On obtient y_t = 50\times 0{,}8^{\,t} et y(t)=50\,\mathrm{e}^{-0{,}22t}.
Solution générale et solution particulière (suite)
La lecture économique
La solution générale décrit le mécanisme : ce que le modèle autorise.
La solution particulière décrit l’histoire : ce qui se produit effectivement, étant donné le point de départ.
Un modèle sans condition initiale ne prédit rien. C’est pourquoi tout exercice commence par « sachant que y_0 = \dots ».
L’état stationnaire
La notion centrale du cours
État stationnaire (ou point fixe, ou équilibre de long terme)
C’est la valeur y^\star que la grandeur, une fois atteinte, ne quitte plus.
| Temps discret | Temps continu |
|---|---|
| y^\star = f(y^\star) | f(y^\star)=0 |
| l’état se reproduit | la vitesse s’annule |
La notion centrale du cours (suite)
Le calcul, dans les deux langages
Discret. y_{t+1}=a\,y_t+b. On pose y^\star = a\,y^\star + b, d’où y^\star(1-a)=b \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\,y^\star = \frac{b}{1-a}\,} \quad (a \neq 1)
Continu. \dot y = a\,y+b. On pose a\,y^\star + b = 0, d’où \boxed{\,y^\star = -\frac{b}{a}\,} \quad (a \neq 0)
La notion centrale du cours (suite)
Deux formules différentes, une même idée
Les expressions ne se ressemblent pas — 1-a d’un côté, -a de l’autre. C’est normal : le rôle de a n’est pas le même. En discret, a multiplie l’état ; en continu, il multiplie la vitesse.
La correspondance exacte est a_{\text{discret}} \leftrightarrow 1+a_{\text{continu}}, et l’on retrouve alors la même formule. Cette translation de 1 explique aussi pourquoi le seuil de stabilité sera |a|<1 d’un côté et a<0 de l’autre.
Un exemple économique
Le revenu national avec multiplicateur
Y_{t+1} = c\,Y_t + I, où c=0{,}8 est la propension à consommer et I = 200 l’investissement autonome.
Y^\star = \frac{200}{1-0{,}8} = 1000
Le facteur \dfrac{1}{1-c}=5 est le multiplicateur keynésien. Il apparaît ici comme un simple état stationnaire — et l’on voit du même coup ce que le calcul statique du multiplicateur laisse de côté : le temps que met l’économie à l’atteindre.
Deux questions distinctes, à ne jamais confondre
- Où va-t-on ? C’est l’état stationnaire. Il se calcule en une ligne.
- Y va-t-on vraiment, et comment ? C’est la stabilité, et c’est bien plus difficile.
Un état stationnaire peut parfaitement exister sans être jamais atteint. Toute la partie II est consacrée à la seconde question.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six définitions
- Ordre : nombre de retards, ou rang de la plus haute dérivée. Il fixe le nombre de conditions initiales.
- Linéaire : puissance 1, sans produit. Seul cas où l’on obtient une formule explicite.
- Coefficients constants : le mécanisme ne change pas de date en date.
- Autonome : le temps ne figure pas explicitement. Condition d’existence des diagrammes de phase.
- Solution générale (avec constantes) contre solution particulière (fixée par les conditions initiales).
- État stationnaire : y^\star=f(y^\star) en discret, f(y^\star)=0 en continu.
La suite
Le vocabulaire est posé, et il est commun. La partie II attaque le cas le plus simple et le plus utile : l’ordre 1 linéaire à coefficients constants, résolu dans les deux langages au chapitre 2.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)