Analyse dynamique des modèles économiques
La stabilité à l’ordre 2
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 7 : La stabilité à l’ordre 2
Le critère général
La phrase du chapitre 3, inchangée
Le critère de stabilité, à tout ordre
| Temps discret | Temps continu |
|---|---|
| toutes les racines de module < 1 | toutes les racines de partie réelle < 0 |
| |\lambda_i| < 1 | \mathrm{Re}(\lambda_i) < 0 |
Pourquoi « toutes »
La solution générale est une somme : C_1\lambda_1^{\,t}+C_2\lambda_2^{\,t}. Elle tend vers zéro si et seulement si chaque terme y tend.
Une seule racine hors du domaine suffit à faire diverger la trajectoire — sauf si la constante correspondante est nulle, cas exceptionnel qui ne survit à aucune perturbation.
Une seule racine mauvaise, et tout le modèle est instable.
La phrase du chapitre 3, inchangée (suite)
La racine dominante
En pratique, on ne regarde que la racine de plus grand module (discret) ou de plus grande partie réelle (continu) : c’est elle qui gouverne le long terme.
C’est aussi elle qui fixe la vitesse de convergence, donc la demi-vie du chapitre 3.
Le critère des coefficients
Éviter de calculer les racines
Le problème pratique
Calculer les racines demande un discriminant, une racine carrée, éventuellement des complexes. C’est lourd — surtout si l’on veut savoir comment la stabilité dépend des paramètres économiques.
On préfère donc des conditions portant directement sur a_1 et a_2. C’est possible, et le résultat est remarquablement simple.
Temps discret : les conditions de Schur
Pour y_{t+2}=a_1 y_{t+1}+a_2 y_t, toutes les racines sont de module inférieur à 1 si et seulement si
\left\{\begin{aligned} a_2 &< 1 - a_1\\ a_2 &< 1 + a_1\\ a_2 &> -1 \end{aligned}\right.
Éviter de calculer les racines (suite)
Temps continu : les conditions de Routh
Pour \ddot y + a_1\dot y + a_2 y = 0, toutes les racines sont de partie réelle négative si et seulement si
a_1 > 0 \qquad\text{et}\qquad a_2 > 0
La lecture géométrique
Deux régions, deux formes
La comparaison
| Discret | Continu | |
|---|---|---|
| Région stable | un triangle | un quart de plan |
| Sommets | (-2;-1), (2;-1), (0;1) | l’origine |
| Frontières | trois droites | deux demi-droites |
| Aire | finie | infinie |
Deux régions, deux formes (suite)
Ce que dit la finitude de l’aire
En temps discret, la région stable est bornée : au-delà d’une certaine intensité de réaction, quels que soient les signes, le système explose.
En temps continu, il suffit que les deux coefficients soient positifs, aussi grands soient-ils. Un amortissement très fort ne déstabilise jamais un système continu ; il peut déstabiliser un système discret.
Traduit en économie : une politique de stabilisation trop vigoureuse peut déstabiliser une économie qui réagit avec retard. C’est un résultat classique de la théorie du contrôle, et il tient tout entier dans la forme de ces deux figures.
La courbe des racines complexes
Où passe-t-on du monotone à l’oscillant
| Discret | Continu | |
|---|---|---|
| Discriminant | \Delta = a_1^2+4a_2 | \Delta = a_1^2-4a_2 |
| Racines complexes si | a_2 < -\dfrac{a_1^2}{4} | a_2 > \dfrac{a_1^2}{4} |
| Position | sous la parabole | au-dessus de la parabole |
La courbe des racines complexes (suite)
Attention au piège
Les deux paraboles sont symétriques l’une de l’autre, et les inégalités sont inversées. C’est une conséquence directe de la convention d’écriture du chapitre 6 : coefficients à droite en discret, à gauche en continu.
Le moyen sûr de ne pas se tromper : recalculer le discriminant plutôt que retenir le sens de l’inégalité.
Les quatre régimes
Croiser stabilité et nature des racines
Le tableau à double entrée
| Racines réelles | Racines complexes | |
|---|---|---|
| Stables | convergence monotone | oscillations amorties |
| Instables | explosion monotone | oscillations explosives |
Quatre régimes dans les deux langages
À l’ordre 2, le temps continu rattrape le temps discret : il connaît lui aussi les quatre régimes, oscillations comprises.
C’est la grande différence avec le chapitre 3. Deux dérivées suffisent à produire un cycle en temps continu, là où une seule ne le permettait jamais.
La raison est la même des deux côtés : il faut au moins deux « degrés de liberté » pour qu’un système puisse dépasser sa cible et revenir.
Un cas frontière important
Le cycle non amorti
| Discret | Continu |
|---|---|
| |\lambda|=1 exactement | \mathrm{Re}(\lambda)=0 exactement |
| a_2 = -1 | a_1 = 0 |
| oscillations d’amplitude constante | oscillations d’amplitude constante |
Un cas frontière important (suite)
Le cycle parfait n’existe pas
Ce cas engendre un cycle qui ne s’amortit ni ne s’amplifie — le cycle économique « pur » que cherchaient les premiers théoriciens.
Mais c’est une frontière de mesure nulle : la moindre perturbation d’un paramètre fait basculer d’un côté ou de l’autre. Un modèle linéaire ne peut donc pas produire un cycle durable de façon robuste.
C’est l’une des raisons pour lesquelles la théorie moderne du cycle recourt soit à des chocs aléatoires répétés — voir le chapitre 11 — soit à des modèles non linéaires — voir le chapitre 9.
Application : Samuelson
Le modèle
Multiplicateur et accélérateur, 1939
C_t = c\,Y_{t-1}, \qquad I_t = v\,(C_t - C_{t-1}), \qquad Y_t = C_t + I_t + G
En substituant, avec G normalisé à 1 :
Y_t = 1 + c(1+v)\,Y_{t-1} - c\,v\,Y_{t-2}
Dans les notations du cours : a_1 = c(1+v) et a_2 = -c\,v.
Les conditions de stabilité, appliquées
- a_2 > -1 donne \;c\,v < 1.
- a_2 < 1-a_1 donne \;-cv < 1-c-cv, soit c<1 : toujours vrai.
- a_2 < 1+a_1 donne \;-cv<1+c+cv : toujours vrai.
\boxed{\;\text{stabilité} \iff c\,v < 1\;}
Le modèle (suite)
Et la nature des racines
\Delta = a_1^2+4a_2 = c^2(1+v)^2-4cv. Les racines sont complexes si
c < \frac{4v}{(1+v)^2}
La carte des régimes
La lecture économique
Ce que la carte enseigne
| Zone | Régime | Situation |
|---|---|---|
| A | convergence monotone | accélérateur faible, économie amortie |
| B | oscillations amorties | le cycle conjoncturel ordinaire |
| C | oscillations explosives | accélérateur fort, économie instable |
| D | explosion monotone | croissance emballée |
La zone B est celle où l’économie oscille autour d’une tendance sans exploser. C’est le régime que Samuelson considérait comme représentatif — et il montre que le cycle n’a pas besoin d’une cause extérieure : il naît de la seule interaction entre consommation et investissement.
La lecture économique (suite)
Le résultat qui a fait la célébrité du modèle
c et v sont deux paramètres de comportement, stables et mesurables. Or une variation modeste de v fait passer de la zone B à la zone C — c’est-à-dire d’un cycle amorti à un cycle explosif.
La frontière entre une économie qui se stabilise et une économie qui s’emballe est une simple courbe dans le plan des paramètres. C’est le premier modèle à l’avoir montré aussi clairement, et c’est pourquoi on l’enseigne encore.
La lecture économique (suite 2)
Une vérification numérique
c = 0{,}8 et v = 1 : cv = 0{,}8 < 1, stable. Et 4v/(1+v)^2 = 1 > 0{,}8 : racines complexes. Zone B, oscillations amorties.
c = 0{,}8 et v = 2 : cv = 1{,}6 > 1, instable. Et 4v/(1+v)^2 = 8/9 = 0{,}889 > 0{,}8 : complexes. Zone C, oscillations explosives.
Doubler la sensibilité de l’investissement à la demande a suffi à faire basculer l’économie.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Critère universel : toutes les racines de module <1 en discret, de partie réelle <0 en continu.
- Conditions sur les coefficients : trois inégalités (triangle) en discret, deux (quart de plan) en continu.
- La région stable est bornée en discret : trop réagir déstabilise. Elle ne l’est pas en continu.
- À l’ordre 2, les deux langages connaissent les quatre régimes, oscillations comprises.
- Samuelson : stabilité \iff cv<1, et quatre zones dans le plan (v\,;\,c).
La suite
Une équation d’ordre 2 se réécrit comme un système de deux équations d’ordre 1. Ce changement de point de vue ouvre la porte à un nombre quelconque de variables — et c’est là que l’algèbre linéaire entre en scène.
C’est le chapitre 8.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)