Analyse dynamique des modèles économiques
L’ordre 2 et l’équation caractéristique
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 6 : L’ordre 2 et l’équation caractéristique
Pourquoi deux retards
Ce que l’ordre 1 ne sait pas faire
L’accélérateur d’investissement
Les entreprises n’investissent pas en fonction du niveau de la demande, mais de sa variation :
I_t = v\,(Y_{t-1}-Y_{t-2})
Cette seule ligne fait apparaître deux retards. Dès qu’un modèle contient une réaction à une variation, il est d’ordre 2.
Et ce que cela apporte
L’ordre 1 en temps continu ne peut pas osciller ; l’ordre 1 en temps discret n’oscille que d’une période sur l’autre — une alternance mécanique, de période exactement 2.
L’ordre 2 apporte des cycles de période quelconque, dans les deux langages. C’est le premier niveau où le temps continu sait produire des oscillations, et c’est pourquoi tous les modèles de cycle économique sont d’ordre 2 au minimum.
Les deux équations
Le face à face
\textbf{Discret :}\quad y_{t+2} = a_1\,y_{t+1} + a_2\,y_t + b
\textbf{Continu :}\quad \ddot y + a_1\,\dot y + a_2\,y = b
Deux conditions initiales sont nécessaires : y_0 et y_1 en discret, y(0) et \dot y(0) en continu.
Attention aux signes
Par tradition, l’équation discrète s’écrit avec les coefficients à droite et l’équation continue avec les coefficients à gauche. Les signes ne se correspondent donc pas terme à terme.
Ce n’est pas une coquetterie : c’est ce qui donne au triangle de stabilité du chapitre 7 sa forme habituelle. Retenez l’écriture, pas la correspondance des signes.
L’équation caractéristique
La même idée dans les deux langages
Chercher une solution exponentielle
| On essaie | On obtient | |
|---|---|---|
| Discret | y_t = \lambda^{\,t} | \lambda^2 = a_1\lambda + a_2 |
| Continu | y(t)=\mathrm{e}^{\lambda t} | \lambda^2 + a_1\lambda + a_2 = 0 |
La même idée dans les deux langages (suite)
La dérivation, en discret
On injecte y_t=\lambda^{\,t} dans y_{t+2}=a_1 y_{t+1}+a_2 y_t :
\lambda^{\,t+2} = a_1\lambda^{\,t+1}+a_2\lambda^{\,t}
On divise par \lambda^{\,t} (non nul) :
\boxed{\;\lambda^2 - a_1\lambda - a_2 = 0\;}
La même idée dans les deux langages (suite)
La dérivation, en continu
On injecte y=\mathrm{e}^{\lambda t}, dont les dérivées sont \lambda\,\mathrm{e}^{\lambda t} et \lambda^2\mathrm{e}^{\lambda t} :
\lambda^2\mathrm{e}^{\lambda t}+a_1\lambda\,\mathrm{e}^{\lambda t}+a_2\mathrm{e}^{\lambda t}=0
On divise par \mathrm{e}^{\lambda t} (jamais nul) :
\boxed{\;\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0\;}
Le point commun, essentiel
Dans les deux cas, résoudre une équation dynamique d’ordre 2 revient à résoudre un trinôme du second degré.
Toute la difficulté est ramenée à un calcul de discriminant, que vous savez faire depuis le lycée. C’est cette réduction qui rend l’ordre 2 accessible.
Les trois cas
Selon le discriminant
Cas 1 : deux racines réelles distinctes
Discriminant strictement positif
| Discret | Continu |
|---|---|
| y_t = C_1\lambda_1^{\,t}+C_2\lambda_2^{\,t} | y(t)=C_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+C_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t} |
Un exemple discret
y_{t+2}=1{,}25\,y_{t+1}-0{,}36\,y_t. Équation caractéristique : \lambda^2-1{,}25\lambda+0{,}36=0.
\Delta = 1{,}5625-1{,}44=0{,}1225, donc \sqrt{\Delta}=0{,}35 et \lambda = \frac{1{,}25\pm 0{,}35}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 0{,}8, \ \ \lambda_2=0{,}45
y_t = C_1\,0{,}8^{\,t}+C_2\,0{,}45^{\,t}
Cas 1 : deux racines réelles distinctes (suite)
La racine dominante
0{,}45^{\,t} s’écrase bien plus vite que 0{,}8^{\,t}. Au bout de quelques périodes, la trajectoire est entièrement gouvernée par la plus grande racine en module.
C’est un principe général : c’est toujours la racine dominante qui décide du comportement de long terme. On peut souvent négliger les autres.
Cas 2 : racine double
Discriminant nul
| Discret | Continu |
|---|---|
| y_t=(C_1+C_2\,t)\,\lambda^{\,t} | y(t)=(C_1+C_2\,t)\,\mathrm{e}^{\lambda t} |
Pourquoi ce facteur t
Une équation d’ordre 2 a besoin de deux solutions indépendantes pour engendrer toutes les trajectoires. Une seule racine n’en fournit qu’une.
Multiplier par t produit la seconde, et l’on vérifie qu’elle satisfait bien l’équation. La formule est identique dans les deux langages, au remplacement de \lambda^{\,t} par \mathrm{e}^{\lambda t} près.
Cas 2 : racine double (suite)
Un exemple continu
\ddot y + 4\dot y + 4y = 0. Caractéristique : \lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2=0, racine double \lambda=-2.
y(t)=(C_1+C_2\,t)\,\mathrm{e}^{-2t}
Le facteur t croît, mais \mathrm{e}^{-2t} décroît bien plus vite : la trajectoire tend vers zéro, après un éventuel dépassement.
Cas 3 : racines complexes
Discriminant strictement négatif
Les racines s’écrivent \lambda = \alpha \pm i\beta. On les met alors sous forme trigonométrique.
| Discret | Continu |
|---|---|
| \lambda = r(\cos\theta \pm i\sin\theta) | \lambda = \alpha\pm i\beta |
| y_t = r^{\,t}\big(C_1\cos\theta t + C_2\sin\theta t\big) | y(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\big(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t\big) |
| r = \sqrt{\alpha^2+\beta^2} : module | \alpha : partie réelle |
| \theta = \arctan(\beta/\alpha) : argument | \beta : pulsation |
Cas 3 : racines complexes (suite)
Lire ces deux formules
Chacune est le produit de deux choses :
- une enveloppe qui grandit ou rétrécit : r^{\,t} ou \mathrm{e}^{\alpha t} ;
- une oscillation de période fixe : \cos et \sin.
D’où le vocabulaire : r ou \alpha décide de l’amplitude (amortie, entretenue, explosive) ; \theta ou \beta décide de la période du cycle.
Cas 3 : racines complexes (suite 2)
Un exemple discret avec cycle
y_{t+2}=y_{t+1}-0{,}5\,y_t. Caractéristique : \lambda^2-\lambda+0{,}5=0, \Delta=1-2=-1.
\lambda = \frac{1\pm i}{2}=0{,}5\pm 0{,}5\,i
Module : r=\sqrt{0{,}25+0{,}25}=0{,}707. Argument : \theta=\arctan(1)=\pi/4.
y_t = 0{,}707^{\,t}\left(C_1\cos\frac{\pi t}{4}+C_2\sin\frac{\pi t}{4}\right)
Cas 3 : racines complexes (suite 3)
La période du cycle
\text{période} = \frac{2\pi}{\theta} = \frac{2\pi}{\pi/4}=8 \text{ périodes}
Si la période élémentaire est le trimestre, le modèle engendre un cycle de deux ans, dont l’amplitude est divisée par deux tous les deux ans environ (0{,}707^{\,4}=0{,}25).
Voilà comment une équation à deux coefficients produit un cycle économique complet — avec sa durée et son amortissement.
Caler les constantes
Les conditions initiales
Deux inconnues, deux équations
| Discret | Continu |
|---|---|
| écrire y_0 et y_1 | écrire y(0) et \dot y(0) |
| système 2\times 2 en C_1,C_2 | système 2\times 2 en C_1,C_2 |
Les conditions initiales (suite)
Sur le premier exemple
y_t = C_1\,0{,}8^{\,t}+C_2\,0{,}45^{\,t}, avec y_0 = 100 et y_1 = 60.
\left\{\begin{aligned} C_1+C_2 &= 100\\ 0{,}8\,C_1+0{,}45\,C_2 &= 60\end{aligned}\right.
De la première : C_2 = 100-C_1. En reportant : 0{,}8\,C_1 + 45 - 0{,}45\,C_1 = 60 \ \Longrightarrow\ 0{,}35\,C_1 = 15 \ \Longrightarrow\ C_1 = 42{,}86
d’où C_2 = 57{,}14 et y_t = 42{,}86\times 0{,}8^{\,t}+57{,}14\times 0{,}45^{\,t}
Les conditions initiales (suite 2)
Un système linéaire, encore
Comme pour l’optimisation à deux variables, l’étape finale est la résolution d’un système 2\times 2.
Avec les systèmes du chapitre 8, ce sera un système n\times n — et l’algèbre linéaire deviendra indispensable.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- L’ordre 2 apparaît dès qu’un modèle réagit à une variation — l’accélérateur d’investissement.
- Dans les deux langages, on essaie une solution exponentielle et l’on tombe sur un trinôme du second degré.
- Trois cas : racines réelles distinctes, racine double avec facteur t, racines complexes.
- Racines complexes : enveloppe (r^{\,t} ou \mathrm{e}^{\alpha t}) multipliée par une oscillation de période 2\pi/\theta ou 2\pi/\beta.
- Les deux constantes se calent sur les deux conditions initiales, par un système 2\times 2.
La suite
On sait résoudre. Reste à savoir quand cela converge : à l’ordre 2, la condition n’est plus une inégalité simple mais une région du plan des coefficients.
C’est le chapitre 7, et c’est là que le triangle de stabilité apparaît.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)