Analyse dynamique des modèles économiques
Du déterminisme au hasard
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 11 : Du déterminisme au hasard
Ce qui manquait jusqu’ici
Le constat
Aucune série réelle ne ressemble à nos trajectoires
Nos solutions sont lisses : une exponentielle, une sinusoïde amortie, une sigmoïde. Une série économique observée est hachée.
Deux explications possibles, et le chapitre 9 en a donné une : le chaos déterministe. Voici la seconde, et c’est celle que retient l’économétrie : le modèle est juste, mais il est perturbé à chaque période.
La modification
\text{déterministe :}\quad y_t = a\,y_{t-1}+b \qquad\longrightarrow\qquad \text{stochastique :}\quad y_t = a\,y_{t-1}+b+\varepsilon_t
où \varepsilon_t est un choc imprévisible, de moyenne nulle.
Le constat (suite)
Ce que représente le choc
Tout ce que le modèle ne dit pas : la météo pour une récolte, une grève, une décision politique, une innovation, une erreur de mesure.
Le modélisateur ne prétend pas expliquer ces événements. Il prétend seulement que le mécanisme d’ajustement, lui, reste valable entre deux chocs.
L’AR(1)
La récurrence perturbée
Le modèle autorégressif d’ordre 1
y_t = a\,y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \text{ centré, de variance } \sigma^2, \text{ non corrélé}
C’est exactement l’équation du chapitre 2, à laquelle on a ajouté un terme aléatoire.
La récurrence perturbée (suite)
Ce que le hasard change, et ce qu’il ne change pas
Le tableau
| Question | Déterministe | Stochastique |
|---|---|---|
| Trajectoire | unique | une par tirage |
| Convergence | vers y^\star | vers une distribution |
| Condition | |a|<1 | |a|<1, la même |
| Long terme | un point | une moyenne et une variance |
Ce que le hasard change, et ce qu’il ne change pas (suite)
Le résultat essentiel
La condition de stabilité est inchangée. Tout ce que le cours a établi sur |a|<1 reste vrai mot pour mot.
Ce qui change, c’est la nature de la limite : au lieu de converger vers un nombre, la série converge vers un régime statistique — elle continue de bouger, mais autour d’un niveau et avec une amplitude qui, eux, se stabilisent.
Ce que le hasard change, et ce qu’il ne change pas (suite 2)
Le régime de long terme
Pour |a|<1 : \mathrm{E}(y_t) \longrightarrow 0 \qquad\qquad \mathrm{V}(y_t) \longrightarrow \frac{\sigma^2}{1-a^2}
On dit que le processus est stationnaire.
Lire la formule de la variance
\dfrac{\sigma^2}{1-a^2} explose quand a approche de 1.
Traduction : plus le système a de mémoire, plus les chocs s’accumulent avant de s’effacer, et plus la série s’éloigne de sa moyenne. Une économie très inerte est une économie très volatile — un résultat que le modèle déterministe ne pouvait pas donner.
Le cas a=1
La marche aléatoire
y_t = y_{t-1}+\varepsilon_t \qquad\Longleftrightarrow\qquad y_t = y_0 + \sum_{k=1}^{t}\varepsilon_k
\mathrm{E}(y_t)=y_0 \qquad\qquad \mathrm{V}(y_t)=t\,\sigma^2
Le cas frontière, revisité
Le chapitre 2 signalait déjà a=1 comme cas dégénéré : croissance linéaire, pas d’équilibre.
Avec du hasard, ce cas devient bien plus intéressant. La série n’a pas de niveau de référence, et sa variance croît sans limite : chaque choc est mémorisé pour toujours.
C’est la fameuse racine unitaire de l’économétrie des séries temporelles, et c’est pourquoi tout travail sur données macroéconomiques commence par la tester.
Le cas a=1 (suite)
Une question qui a occupé la profession pendant trente ans
Le PIB est-il un AR(1) avec a proche de 1, ou une marche aléatoire avec a=1 exactement ?
L’enjeu n’est pas statistique, il est théorique :
- a<1 : une récession est un écart temporaire à une tendance. L’économie y revient.
- a=1 : une récession déplace définitivement le niveau de production. Il n’y a rien à rattraper.
Politique de relance ou politique de l’offre : la réponse dépend d’un coefficient, et de savoir s’il vaut 0{,}97 ou 1.
Vers le temps continu
Affiner le pas
La marche aléatoire à pas fin
Sur l’intervalle [0;1] découpé en n pas, on fait sauter la série de \pm \dfrac{1}{\sqrt n} à chaque pas.
Quand n \to \infty, la trajectoire converge vers un objet limite : le mouvement brownien.
Pourquoi la racine carrée
Si l’on veut que la variance à l’instant 1 reste égale à 1 quel que soit le découpage, il faut que la variance de chaque pas soit 1/n — donc que son écart-type soit 1/\sqrt n.
Le temps se divise, mais l’amplitude ne se divise que par sa racine carrée. Cette dissymétrie est la propriété fondamentale du hasard cumulé, et c’est elle qui explique la fameuse règle de la racine du temps en finance.
Affiner le pas (suite)
Les propriétés du mouvement brownien
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Point de départ | W_0 = 0 |
| Accroissements | indépendants |
| Loi | W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0\,;\,t-s) |
| Trajectoires | continues, nulle part dérivables |
Affiner le pas (fin)
La ligne qui pose problème
Continues mais nulle part dérivables : on ne peut pas écrire \dot W.
Or toute la partie « temps continu » de ce cours repose sur la dérivée. Le hasard en temps continu échappe donc au calcul différentiel ordinaire, et exige un calcul nouveau — le calcul stochastique, et le lemme d’Itô.
C’est l’objet d’un cours de Master. Vous savez maintenant d’où vient le problème.
Le tableau d’ensemble
Les quatre cases de l’analyse dynamique
| Déterministe | Stochastique | |
|---|---|---|
| Temps discret | récurrence | AR, ARMA — économétrie |
| Temps continu | équation différentielle | équation différentielle stochastique — finance |
Où mène chaque case
- Récurrence et équation différentielle : ce cours, et la macroéconomie dynamique.
- AR et ARMA : l’économétrie des séries temporelles, la prévision, les modèles de volatilité.
- Équations différentielles stochastiques : le mouvement brownien géométrique, Black et Scholes, l’évaluation des options.
Les quatre cases reposent sur les mêmes objets : un état, une loi de mouvement, une condition initiale, une question de stabilité. Ce cours a construit les deux cases de gauche ; il a rendu les deux autres lisibles.
Bilan du cours
Ce qu’il faut avoir compris
Ce qui se traduit d’un temps à l’autre
| Notion | Discret | Continu |
|---|---|---|
| Brique | a^{\,t} | \mathrm{e}^{at} |
| Équilibre | y^\star=f(y^\star) | f(y^\star)=0 |
| Ordre 2 | \lambda^2-a_1\lambda-a_2=0 | \lambda^2+a_1\lambda+a_2=0 |
| Systèmes | valeurs propres de A | valeurs propres de A |
| Stabilité | module <1 | partie réelle <0 |
Ce qu’il faut avoir compris (suite)
Ce qui ne se traduit pas
| Phénomène | Discret | Continu |
|---|---|---|
| Oscillation à l’ordre 1 | oui | jamais |
| Cycle de période 2 | oui | jamais |
| Chaos à une dimension | oui | jamais |
| Région stable bornée | oui | non |
Le mot de la fin
La leçon du face à face
Les deux représentations du temps donnent les mêmes équilibres et la même architecture de résolution. Sur ce plan, elles sont interchangeables, et c’est ce qui autorise l’économiste à passer de l’une à l’autre selon sa commodité.
Elles ne donnent pas les mêmes trajectoires. Le temps discret contient un délai que le temps continu ignore, et ce délai suffit à engendrer oscillations, cycles et chaos.
Ce qu’il faut en retenir pour la pratique
Le choix du temps est un choix de modélisation, jamais une commodité de calcul.
Si le phénomène étudié comporte un délai de décision — une récolte, un investissement, une révision de prix —, il doit être écrit en temps discret. L’écrire en continu ferait disparaître précisément ce qu’on veut expliquer.
À l’inverse, si l’ajustement est continu et que l’on cherche des propriétés analytiques, le temps continu est plus maniable.
Savoir lequel choisir, et savoir ce que l’on perd en choisissant : c’était l’objet de ce cours.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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