Analyse dynamique des modèles économiques
Le non linéaire, et le chaos
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 9 : Le non linéaire, et le chaos
Renoncer à la formule
Le changement de programme
Les deux équations du chapitre
\textbf{Discret :}\quad y_{t+1}=f(y_t) \qquad\qquad \textbf{Continu :}\quad \dot y = f(y)
où f est une fonction quelconque, non linéaire.
Ce qu’on abandonne
Il n’existe aucune formule générale. On ne saura pas écrire y_t en fonction de t.
Ce n’est pas un aveu d’impuissance passager : on démontre que ces solutions n’ont, en général, aucune expression analytique.
Le changement de programme (suite)
Ce qu’on cherche à la place
- Les équilibres : les valeurs qui se reproduisent.
- Leur stabilité locale : que se passe-t-il si l’on s’en écarte un peu ?
- Le comportement global, lu sur le diagramme du chapitre 4.
Ces trois questions ont des réponses complètes — et ce sont celles qui intéressent l’économiste.
Pourquoi tout modèle sérieux est non linéaire
Une fonction de production a des rendements décroissants : f(k)=k^{0{,}5}. Une population sature : elle ne peut pas croître indéfiniment. Un prix ne peut pas être négatif. Une propension à consommer diffère selon le niveau de revenu.
La linéarité est une approximation de travail, pas une propriété du monde.
Les équilibres
Les trouver
La condition d’équilibre
| Discret | Continu |
|---|---|
| y^\star = f(y^\star) | f(y^\star)=0 |
| point fixe de f | zéro de f |
| intersection avec la bissectrice | intersection avec l’axe |
Les trouver (suite)
Une nouveauté : il peut y en avoir plusieurs
Une équation linéaire a un équilibre, ou aucun. Une équation non linéaire peut en avoir deux, trois, une infinité.
C’est un fait économique majeur : un modèle non linéaire peut avoir un équilibre de pauvreté et un équilibre de prospérité, et le point de départ décide vers lequel on converge.
Cette idée — les équilibres multiples, les trappes à pauvreté — est inaccessible à un modèle linéaire.
Les trouver (suite 2)
Deux équilibres
\dot y = y(1-y)(y-0{,}2).
Les zéros sont y^\star \in \{0\;;\;0{,}2\;;\;1\} : trois équilibres.
Le diagramme de phase montre que 0 et 1 sont stables, tandis que 0{,}2 est instable : c’est un seuil. En dessous, on s’effondre vers 0 ; au-dessus, on converge vers 1.
La linéarisation
L’idée
Approcher f par sa tangente
Au voisinage de y^\star, on remplace f par son développement au premier ordre : f(y) \approx f(y^\star) + f'(y^\star)\,(y-y^\star)
En posant l’écart u_t = y_t - y^\star, le modèle devient linéaire :
| Discret | Continu |
|---|---|
| u_{t+1} \approx f'(y^\star)\,u_t | \dot u \approx f'(y^\star)\,u |
Le tour de force
On retombe exactement sur l’équation du chapitre 2, avec a = f'(y^\star).
Toute la théorie linéaire redevient applicable — à condition de rester au voisinage de l’équilibre.
L’idée (suite)
Le critère de stabilité locale
| Discret | Continu |
|---|---|
| |f'(y^\star)|<1 : stable | f'(y^\star)<0 : stable |
| |f'(y^\star)|>1 : instable | f'(y^\star)>0 : instable |
| |f'(y^\star)|=1 : indéterminé | f'(y^\star)=0 : indéterminé |
La lecture graphique
C’est le critère du chapitre 4, mot pour mot
En discret : la courbe f coupe la bissectrice avec une pente comprise entre -1 et 1.
En continu : la courbe f coupe l’axe en descendant.
Rien n’a changé — sauf que f n’est plus une droite, donc la pente diffère d’un équilibre à l’autre. C’est précisément ce qui permet à un même modèle d’avoir des équilibres stables et d’autres instables.
La lecture graphique (suite)
Vérification sur l’exemple à trois équilibres
f(y)=y(1-y)(y-0{,}2) = -y^3+1{,}2y^2-0{,}2y, donc f'(y)=-3y^2+2{,}4y-0{,}2.
| y^\star | f'(y^\star) | Conclusion |
|---|---|---|
| 0 | -0{,}2 | stable |
| 0{,}2 | +0{,}16 | instable |
| 1 | -0{,}8 | stable |
Le calcul confirme la lecture graphique.
Le mot d’avertissement
Local veut dire local
La linéarisation ne dit rien de ce qui se passe loin de l’équilibre. Elle ne dit pas jusqu’où s’étend le bassin d’attraction, ni ce qui arrive à une trajectoire partie de très loin.
Dans le modèle à trois équilibres, la linéarisation autour de 0 dit « stable » — mais elle ne dit pas que le bassin s’arrête à 0{,}2. Il faut le diagramme de phase pour cela.
Analyse locale et analyse globale sont complémentaires ; ni l’une ni l’autre ne suffit.
Le modèle logistique
Le modèle le plus étudié de la discipline
Le face à face
\textbf{Continu :}\quad \dot y = r\,y\left(1-\frac{y}{K}\right) \qquad\qquad \textbf{Discret :}\quad x_{t+1}=\mu\,x_t(1-x_t)
Croissance proportionnelle au niveau, freinée par la saturation.
Où on la rencontre
- Croissance d’une population limitée par ses ressources (Verhulst, 1838).
- Diffusion d’une innovation : elle démarre lentement, s’accélère, puis sature quand le marché est équipé.
- Adoption d’un produit, pénétration d’un marché, courbe d’apprentissage.
C’est le modèle de référence de toute croissance bornée.
Le cas continu : sans surprise
Ce que donne le temps continu
La solution explicite
C’est l’une des rares équations non linéaires qui se résout : y(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{y_0}-1\right)\mathrm{e}^{-rt}}
C’est la fameuse courbe en S.
Les équilibres
f(y)=ry(1-y/K)=0 donne y^\star = 0 et y^\star = K.
f'(y)=r-\dfrac{2ry}{K}, donc f'(0)=r>0 : instable, et f'(K)=-r<0 : stable.
Ce que donne le temps continu (suite)
Et c’est tout
Quelle que soit la valeur de r, la trajectoire est une sigmoïde qui monte vers K. r change la vitesse, jamais la forme.
Le temps continu à une dimension ne réserve aucune surprise : c’est le théorème du chapitre 3, une trajectoire ne peut pas franchir son équilibre.
Le chaos
Le cas discret : tout change
Les équilibres de la logistique discrète
x^\star = \mu x^\star(1-x^\star) donne x^\star=0 et x^\star = 1-\dfrac{1}{\mu}.
f'(x)=\mu(1-2x), donc au second équilibre f'\!\left(1-\frac1\mu\right)=\mu\left(2/\mu-1\right)=2-\mu
Stable si |2-\mu|<1, c’est-à-dire \;1<\mu<3.
Le seuil de 3
Pour \mu légèrement supérieur à 3, l’équilibre devient instable. Mais la trajectoire ne part pas à l’infini : elle reste bornée dans [0;1].
Que fait-elle alors ? Elle se met à alterner entre deux valeurs : un cycle de période 2. Puis, à \mu \approx 3{,}45, entre quatre valeurs. Puis huit. Puis…
Le diagramme de bifurcation
La cascade
Le doublement de période
| \mu | Comportement |
|---|---|
| 1<\mu<3 | point fixe stable |
| 3<\mu<3{,}449 | cycle de période 2 |
| 3{,}449<\mu<3{,}544 | cycle de période 4 |
| 3{,}544<\mu<3{,}564 | période 8, puis 16, 32… |
| \mu > 3{,}5699 | chaos |
La cascade (suite)
Chaos déterministe
Une trajectoire est chaotique lorsqu’elle est engendrée par une règle parfaitement déterministe, reste bornée, ne se répète jamais, et dépend de manière extrêmement sensible de sa condition initiale.
La cascade (suite 2)
La sensibilité aux conditions initiales
Avec \mu=3{,}9, partez de x_0=0{,}2000 et de x_0=0{,}2001. Les deux trajectoires restent indiscernables une quinzaine de périodes, puis divergent complètement.
Deux points de départ que rien ne distingue à la précision de la mesure conduisent à deux histoires sans rapport. La prévision à long terme est impossible, alors même que le modèle ne contient aucun hasard.
Ce que cela change pour l’économiste
Une série économique erratique n’est pas nécessairement la trace de chocs aléatoires. Elle peut être engendrée par un mécanisme déterministe et parfaitement simple.
Deux conséquences :
- On ne peut pas conclure d’une série irrégulière que le monde est aléatoire.
- La prévision de long terme peut être impossible même avec un modèle exact et des données parfaites.
La leçon du face à face
Le résultat central du cours
Ce que le temps discret peut et que le temps continu ne peut pas
| Dimension | Temps continu | Temps discret |
|---|---|---|
| 1 | convergence monotone seulement | oscillations, cycles, chaos |
| 2 | oscillations, cycles limites | tout ce qui précède |
| 3 et plus | chaos possible | chaos possible |
Le résultat central du cours (suite)
Pourquoi cette dissymétrie
Une trajectoire continue à une dimension est prisonnière de l’axe réel : elle avance sans jamais pouvoir sauter par-dessus un équilibre. Cette contrainte de continuité interdit toute complexité.
Une suite, elle, saute. Elle n’a aucune obligation de passer par les valeurs intermédiaires. C’est cette liberté qui engendre cycles et chaos.
Discrétiser n’est pas approximer : c’est changer la nature de ce qui peut arriver.
Le résultat central du cours (suite 2)
La conséquence méthodologique
Un modèle théorique écrit en temps continu, puis simulé en temps discret avec un pas mal choisi, peut produire des cycles ou du chaos qui n’existent pas dans le modèle d’origine.
C’est un piège classique de la simulation numérique. Le pas de discrétisation n’est pas un détail technique : il fait partie du modèle.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Non linéaire : pas de formule. On cherche les équilibres et leur stabilité locale.
- Il peut y avoir plusieurs équilibres — d’où les trappes à pauvreté et les seuils.
- Linéariser : remplacer f par sa tangente, avec a=f'(y^\star), puis appliquer la théorie linéaire.
- Critère : |f'(y^\star)|<1 en discret, f'(y^\star)<0 en continu.
- La logistique continue donne toujours une sigmoïde ; la logistique discrète donne point fixe, cycles, puis chaos.
- Le chaos déterministe rend la prévision de long terme impossible sans qu’aucun hasard n’intervienne.
La suite
Le chapitre 10 met tout cela à l’épreuve sur quatre modèles économiques classiques, traités en face à face.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)