Analyse dynamique des modèles économiques
Deux façons de représenter le temps
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Introduction : Deux façons de représenter le temps
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Les cours qui précèdent
Analyse mathématique et Algèbre linéaire.
Les notions mobilisées
Dériver et intégrer. Résoudre une équation du second degré, y compris à racines complexes. Calculer les valeurs propres d’une matrice 2 \times 2.
Ces trois points sont employés sans être redémontrés : ce sont eux qui décident de la nature d’une trajectoire.
Ce que le cours établit lui-même
Repris depuis le début
Les équations aux différences et les équations différentielles sont construites ici, ainsi que la notion de stabilité.
Les nombres complexes ne sont pas un ornement : ce sont eux qui produisent les oscillations, et le cours explique pourquoi avant de s’en servir.
L’objet du cours
Une question, deux langages
L’objet de ce cours
Un modèle économique dynamique décrit comment une grandeur se transforme d’une période à la suivante : un capital, une population, un prix, un revenu national.
La question est toujours la même : connaissant la loi de mouvement et l’état initial, où la grandeur va-t-elle ?
Mais il y a deux manières de dire le temps
- Le temps discret : les données arrivent par paquets. Un bilan par exercice, un salaire par mois, une cotation par jour. On écrit y_0, y_1, y_2, \dots
- Le temps continu : la grandeur est censée évoluer à chaque instant, sans à-coups. On écrit y(t).
Ce cours traite les deux en face à face, chapitre par chapitre. C’est le seul moyen de voir ce qu’elles ont en commun — beaucoup — et ce qui les sépare — l’essentiel.
Le fil conducteur du cours
Pourquoi ce parti pris
Le choix du temps n’est pas une commodité de calcul
Un économètre travaille sur des séries discrètes : il n’a rien d’autre que des observations datées. Un théoricien de la croissance écrit ses modèles en temps continu : les équations différentielles se manipulent plus commodément.
Le même phénomène est donc décrit dans deux langages selon la personne qui l’étudie. Un économiste doit savoir passer de l’un à l’autre — et savoir quand la traduction est fidèle et quand elle ne l’est pas.
L’annonce du résultat le plus important du cours
La traduction est presque toujours fidèle quant aux équilibres : les mêmes états stationnaires, obtenus par les mêmes calculs.
Elle ne l’est pas quant aux trajectoires. Le temps discret produit des comportements — oscillations d’une période à l’autre, cycles, chaos — que le temps continu à une dimension ne peut pas produire. Ce point revient à chaque chapitre.
Suite ou fonction
Deux objets mathématiques
Les définitions
En temps discret : une suite
La variable de temps t prend les valeurs 0, 1, 2, \dots et l’on note y_t la valeur de la grandeur à la date t.
L’objet mathématique est une suite (y_t)_{t \in \mathbb{N}}.
En temps continu : une fonction
La variable t parcourt un intervalle de \mathbb{R} et l’on note y(t) la valeur à l’instant t.
L’objet mathématique est une fonction de la variable réelle t.
Les définitions (suite)
La différence n’est pas cosmétique
Une suite n’a pas de valeur entre t et t+1 : la question « que vaut y à la date 3{,}5 ? » n’a aucun sens.
Une fonction, elle, est définie partout. On peut la dériver, l’intégrer, parler de sa tangente. C’est ce qui rend le temps continu si commode — et c’est aussi ce qui l’empêche de représenter certains phénomènes.
Comment mesurer une variation
Le taux d’accroissement contre la dérivée
En temps discret : la différence première
\Delta y_t = y_{t+1} - y_t
C’est la variation effectivement observée entre deux dates consécutives. Aucune limite n’intervient : c’est une simple soustraction.
En temps continu : la dérivée
\dot y(t) \;=\; \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{y(t+h)-y(t)}{h}
C’est la vitesse de variation à l’instant t. Une limite intervient, et c’est elle qui rend l’objet manipulable.
Le taux d’accroissement contre la dérivée (suite)
La notation à retenir
En dynamique économique, on note traditionnellement la dérivée par rapport au temps avec un point : \dot y plutôt que y'. Le point est réservé au temps ; le prime reste disponible pour les dérivées par rapport à une autre variable, comme f'(k) dans le modèle de Solow.
Le passage de l’un à l’autre
La correspondance fondamentale
Si l’on découpe le temps en pas de longueur h et que l’on note y_t = y(th), alors
\frac{y_{t+1}-y_t}{h} \;\xrightarrow[h \to 0]{}\; \dot y(t)
Le taux d’accroissement est la version discrète de la dérivée. Avec h=1, la différence première \Delta y_t tient lieu de \dot y.
La même loi, écrite dans les deux langages
« Le capital croît de 5\,\% par an. »
- Temps discret, pas annuel : K_{t+1} - K_t = 0{,}05\,K_t, soit K_{t+1} = 1{,}05\,K_t.
- Temps continu : \dot K = 0{,}05\,K.
Solutions : K_t = K_0 \times 1{,}05^{\,t} d’un côté, K(t) = K_0\,\mathrm{e}^{0{,}05\,t} de l’autre.
Le passage de l’un à l’autre (suite)
Deux nombres qui ne sont pas les mêmes
Après un an : 1{,}05 contre \mathrm{e}^{0{,}05} = 1{,}0513. L’écart est de treize points de base — négligeable ici.
Après trente ans : 1{,}05^{30} = 4{,}32 contre \mathrm{e}^{1{,}5} = 4{,}48. L’écart atteint 3{,}7\,\%.
C’est exactement la distinction, familière au banquier, entre taux actuariel et taux continu. Le choix de la représentation du temps est donc, dès le premier chapitre, une question de chiffres.
Le tableau de correspondance
L’outil qui servira tout le semestre
Le dictionnaire discret et continu
| Notion | Temps discret | Temps continu |
|---|---|---|
| Objet | suite (y_t) | fonction y(t) |
| Variation | \Delta y_t = y_{t+1}-y_t | \dot y = \mathrm{d}y/\mathrm{d}t |
| Loi de mouvement | équation de récurrence | équation différentielle |
| Croissance à taux constant | y_t = y_0\,a^{\,t} | y(t)=y_0\,\mathrm{e}^{rt} |
| Brique élémentaire | la puissance a^{\,t} | l’exponentielle \mathrm{e}^{rt} |
| Cumul | somme \sum | intégrale \int |
L’outil qui servira tout le semestre (suite)
Comment s’en servir
Ce tableau se lit dans les deux sens. Il permet de deviner la forme d’un résultat dans un langage à partir de l’autre — et l’intuition est juste dans neuf cas sur dix.
Les chapitres suivants le prolongent ligne par ligne. Le dixième cas, celui où l’intuition trompe, fera l’objet des chapitres 3 et 9.
La ligne la plus importante
Puissance et exponentielle
a^{\,t} = \mathrm{e}^{\,t\ln a}
Une puissance est une exponentielle. C’est pourquoi les deux théories se ressemblent tant.
Mais la correspondance a une faille
\mathrm{e}^{rt} est toujours positif, quel que soit r réel.
a^{\,t} change de signe à chaque pas dès que a est négatif : (-0{,}6)^0 = 1, (-0{,}6)^1 = -0{,}6, (-0{,}6)^2 = 0{,}36…
Et \ln a n’existe pas pour a < 0. La traduction s’arrête là. Toutes les oscillations propres au temps discret viennent de cette impossibilité — c’est le sujet du chapitre 3.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Un modèle dynamique donne une loi de mouvement et un état initial, et l’on cherche la trajectoire.
- Temps discret : une suite, une équation de récurrence, la différence première \Delta y_t.
- Temps continu : une fonction, une équation différentielle, la dérivée \dot y.
- La brique élémentaire est la puissance a^{\,t} d’un côté, l’exponentielle \mathrm{e}^{rt} de l’autre — et a^{\,t}=\mathrm{e}^{t\ln a} les relie.
- La correspondance échoue lorsque a<0 : c’est de là que naîtront les oscillations.
La suite
Avant de résoudre quoi que ce soit, il faut un vocabulaire commun : ordre, linéarité, autonomie, solution générale, état stationnaire.
Ces six mots ont exactement le même sens dans les deux mondes. C’est le chapitre 1.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)