Analyse dynamique des modèles économiques
Lire la dynamique sur un dessin
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 4 : Lire la dynamique sur un dessin
Deux outils graphiques
Pourquoi dessiner
Le dessin n’est pas un supplément d’agrément
Trois raisons de le maîtriser :
- Il donne la réponse avant le calcul : on voit la convergence, on la démontre ensuite.
- Il fonctionne encore quand le calcul échoue — c’est-à-dire dès que l’équation est non linéaire, au chapitre 9.
- C’est le langage dans lequel les modèles économiques sont présentés : le diagramme de Solow, la toile d’araignée, le portrait de phase d’un modèle de croissance.
Pourquoi dessiner (suite)
Un outil pour chaque temps
| Temps discret | Temps continu |
|---|---|
| diagramme en escalier | diagramme de phase |
| on trace y_{t+1} contre y_t | on trace \dot y contre y |
| l’équilibre est sur la bissectrice | l’équilibre est sur l’axe |
Le diagramme en escalier
La construction
La méthode, en quatre gestes
Construire l’escalier
- Tracer la droite y_{t+1}=a\,y_t+b dans le plan (y_t\,;\,y_{t+1}).
- Tracer la bissectrice y_{t+1}=y_t. Leur intersection est l’état stationnaire.
- Partir de y_0 sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la droite : on lit y_1.
- Reporter y_1 sur l’axe horizontal en se déplaçant horizontalement jusqu’à la bissectrice. Recommencer.
Le rôle de la bissectrice
Elle sert d’appareil de recopie : elle transforme une ordonnée en abscisse.
Sans elle, on ne pourrait pas enchaîner les itérations sur un même graphique — c’est pour cela qu’elle figure sur tous les diagrammes en escalier de la littérature économique.
Ce que la pente décide
Lecture de la pente
| Pente a | Figure obtenue | Conclusion |
|---|---|---|
| 0<a<1 | escalier régulier vers le point fixe | convergence monotone |
| a>1 | escalier qui s’éloigne | divergence |
| -1<a<0 | spirale qui se resserre | oscillations amorties |
| a<-1 | spirale qui s’élargit | oscillations explosives |
Ce que la pente décide (suite)
Le critère graphique
La droite est plus plate que la bissectrice : on converge. Elle est plus raide : on diverge.
« Plus plate » signifie exactement |a|<1. Le critère du chapitre 3 se lit donc à l’œil nu, sans calcul.
Et quand la pente est négative, l’escalier devient une spirale : c’est la traduction visuelle de l’oscillation.
Le diagramme de phase
La construction (suite 2)
La méthode, en trois gestes
Construire le diagramme de phase
- Tracer \dot y en fonction de y — pour \dot y = a\,y+b, c’est une droite.
- Les intersections avec l’axe horizontal sont les états stationnaires.
- Porter des flèches sur l’axe : vers la droite là où \dot y > 0, vers la gauche là où \dot y < 0.
Ce qu’on lit sur les flèches
Le temps a disparu du dessin. Il ne reste qu’une règle de déplacement sur l’axe des y, ce qui est possible précisément parce que l’équation est autonome.
Si les flèches convergent vers un équilibre, il est stable. Si elles s’en écartent, il est instable.
La méthode, en trois gestes (suite)
Le critère graphique du temps continu
La courbe coupe l’axe en descendant : équilibre stable. La courbe coupe l’axe en montant : équilibre instable.
Ce qui revient à dire : la pente de f au point d’équilibre est négative — c’est-à-dire a<0.
Deux critères, une même idée
Le parallèle exact
| Discret | Continu | |
|---|---|---|
| Ce qu’on trace | y_{t+1}=f(y_t) | \dot y = f(y) |
| Référence | la bissectrice | l’axe horizontal |
| Équilibre | intersection avec la bissectrice | intersection avec l’axe |
| Stable si | pente comprise entre -1 et 1 | pente négative |
Dans les deux cas : c’est la pente de f à l’équilibre qui décide. Seul le seuil change — et le chapitre 9 montrera que ce critère graphique reste valable pour les équations non linéaires.
La forme des trajectoires
Un troisième dessin, plus familier
La trajectoire temporelle
On peut aussi tracer simplement y en fonction de t : c’est le chronogramme.
C’est le dessin le moins riche des trois — il ne montre qu’une trajectoire, celle qui part de y_0 — mais c’est celui que lira un décideur.
Ce que chaque dessin apporte
| Dessin | Montre | Ne montre pas |
|---|---|---|
| Chronogramme | une trajectoire, datée | les autres points de départ |
| Escalier / phase | toutes les trajectoires à la fois | les dates |
Les deux se complètent : le premier répond à « quand », les seconds à « vers quoi ».
L’exemple complet
Un marché du logement
Le loyer s’ajuste selon L_{t+1} = -0{,}6\,L_t + 4000, avec L_0 = 3000.
Équilibre : L^\star = \dfrac{4000}{1{,}6}=2500.
Escalier : la pente -0{,}6 est négative et de module inférieur à 1 : spirale qui se resserre. Oscillations amorties.
Trajectoire : L_t = 2500 + 500\times(-0{,}6)^t, soit 3000, 2200, 2680, 2392, 2565, 2461, …
La lecture pour un observateur du marché
Le loyer d’équilibre est 2500. Mais un observateur qui relèverait seulement les trois premières valeurs — 3000, 2200, 2680 — conclurait à un marché « erratique » ou « spéculatif ».
Il n’en est rien : c’est un ajustement parfaitement déterministe qui dépasse sa cible à chaque fois, parce que les bailleurs réagissent au loyer de l’année précédente.
Confondre oscillation d’ajustement et instabilité est l’erreur d’interprétation la plus courante en analyse conjoncturelle.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Temps discret : diagramme en escalier dans le plan (y_t\,;\,y_{t+1}), avec la bissectrice comme appareil de recopie.
- Temps continu : diagramme de phase, \dot y contre y, avec des flèches sur l’axe.
- Dans les deux cas, c’est la pente de f à l’équilibre qui décide de la stabilité ; seul le seuil diffère.
- Pente négative en discret : l’escalier devient une spirale, c’est l’oscillation.
- Le chronogramme complète, il ne remplace pas : il montre une trajectoire, pas toutes.
La suite
Tout cela suppose a et b constants. Que se passe-t-il quand le mécanisme lui-même change avec le temps — taux indexé, politique révisée, saisonnalité ?
C’est le chapitre 5, et il clôt l’ordre 1.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)