Analyse dynamique des modèles économiques
L’ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 2 : L’ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
Les deux équations
Le face à face
Les deux problèmes du chapitre
\textbf{Discret :}\quad y_{t+1} = a\,y_t + b, \quad y_0 \text{ donné}
\textbf{Continu :}\quad \dot y = a\,y + b, \quad y(0) \text{ donné}
Dans les deux cas a et b sont des constantes, et l’on cherche une formule explicite donnant la trajectoire.
Une même architecture en trois temps
- Résoudre l’équation sans second membre (b=0) : c’est la partie qui décrit la dynamique pure.
- Trouver une solution particulière : ici, l’état stationnaire.
- Additionner les deux, puis caler la constante sur la condition initiale.
Cette architecture vaut pour les deux langages, et elle vaudra encore à l’ordre 2 et pour les systèmes. C’est la méthode du cours tout entier.
Étape 1 : sans second membre
Le cas discret
Résolution de y_{t+1}=a,y_t
On remonte de proche en proche :
y_1 = a\,y_0, \qquad y_2 = a\,y_1 = a^2 y_0, \qquad y_3 = a^3 y_0, \ \dots
\boxed{\,y_t = y_0\,a^{\,t}\,}
C’est une suite géométrique de raison a.
Aucune technique, seulement de la patience
La solution s’obtient par simple itération. C’est le grand avantage pratique du temps discret : on peut toujours calculer numériquement, même quand aucune formule n’existe.
Le tableur fait cela tout seul : une colonne, une formule, on tire vers le bas.
Le cas continu
Résolution de \dot y = a,y
On sépare les variables :
\frac{\mathrm{d}y}{y} = a\,\mathrm{d}t \quad \Longrightarrow \quad \ln|y| = a\,t + C \quad \Longrightarrow \quad |y| = \mathrm{e}^{C}\,\mathrm{e}^{a t}
\boxed{\,y(t) = y_0\,\mathrm{e}^{a t}\,}
La méthode de séparation des variables
Rassembler tous les y d’un côté, tous les t de l’autre, puis intégrer les deux membres. C’est la seule technique d’intégration exigée dans ce cours, et elle suffit à tout l’ordre 1.
Le passage de \ln|y| à y absorbe le signe et la constante dans le seul y_0.
La correspondance
Les deux briques élémentaires
y_t = y_0\,a^{\,t} \qquad\qquad\longleftrightarrow\qquad\qquad y(t)=y_0\,\mathrm{e}^{a t}
Puisque a^{\,t}=\mathrm{e}^{t\ln a}, la correspondance exacte est a_{\text{discret}} = \mathrm{e}^{\,a_{\text{continu}}}
Le taux annuel et le taux continu, une dernière fois
a_{\text{discret}} = 1{,}05 correspond à a_{\text{continu}} = \ln 1{,}05 = 0{,}0488.
Un placement à 5\,\% actuariel équivaut à un placement à 4{,}88\,\% continu. Toute la finance de marché est écrite en taux continus, précisément parce que \mathrm{e}^{rt} se manipule mieux que (1+i)^t.
Étape 2 : une solution
L’état stationnaire fait l’affaire
Chercher une solution constante
On essaie y_t = y^\star constant, ou y(t)=y^\star constant.
| Discret | Continu |
|---|---|
| y^\star = a\,y^\star + b | 0 = a\,y^\star + b |
| y^\star = \dfrac{b}{1-a}, si a\neq 1 | y^\star = -\dfrac{b}{a}, si a\neq 0 |
Pourquoi c’est légitime
La théorie des équations linéaires dit : solution générale = solution générale sans second membre + une solution particulière quelconque.
« Quelconque » : n’importe laquelle fait l’affaire. Autant prendre la plus simple, et la plus simple est la constante. C’est aussi la plus intéressante économiquement, puisque c’est l’équilibre de long terme.
Étape 3 : la solution complète
Les deux formules du chapitre
Le résultat à connaître par cœur
Temps discret, pour a \neq 1 : \boxed{\;y_t = y^\star + (y_0 - y^\star)\,a^{\,t}, \qquad y^\star=\frac{b}{1-a}\;}
Temps continu, pour a \neq 0 : \boxed{\;y(t) = y^\star + (y_0 - y^\star)\,\mathrm{e}^{a t}, \qquad y^\star=-\frac{b}{a}\;}
Les deux formules du chapitre (suite)
La même phrase dans les deux cas
\text{trajectoire} \;=\; \underbrace{\text{équilibre de long terme}}_{y^\star} \;+\; \underbrace{\text{écart initial}}_{y_0-y^\star} \times \underbrace{\text{facteur d'amortissement}}_{a^{\,t} \text{ ou } \mathrm{e}^{at}}
L’écart initial ne disparaît pas : il est multiplié à chaque instant par le même facteur. Toute la question de la stabilité tient dans le comportement de ce facteur — chapitre 3.
Les trajectoires
Un calcul complet, en discret
Le revenu national
Y_{t+1}=0{,}8\,Y_t + 200, avec Y_0 = 400.
Équilibre : Y^\star = \dfrac{200}{1-0{,}8}=1000.
Écart initial : Y_0 - Y^\star = 400-1000 = -600.
Trajectoire : Y_t = 1000 - 600\times 0{,}8^{\,t}
Y_1 = 1000-480=520, Y_5 = 1000-196{,}6=803{,}4, Y_{20}=1000-6{,}9=993{,}1.
Ce que le calcul apprend au-delà du multiplicateur
Le multiplicateur keynésien annonce 1000. Il ne dit rien du délai.
Le calcul dynamique, lui, chiffre ce délai : après cinq périodes, 67\,\% du chemin est parcouru ; après vingt, 99\,\%. Si la période est le trimestre, le plein effet d’une relance demande cinq ans.
C’est exactement le genre d’information qui manque à un décideur et que l’analyse dynamique fournit.
Le même calcul, en continu
La version en temps continu
\dot Y = -0{,}2\,Y + 200, avec Y(0)=400.
Équilibre : Y^\star = -\dfrac{200}{-0{,}2}=1000. Le même.
Trajectoire : Y(t)=1000-600\,\mathrm{e}^{-0{,}2\,t}
Y(1)=508{,}7, Y(5)=779{,}3, Y(20)=989{,}0.
Le même calcul, en continu (suite)
Comparer les deux colonnes
| t | discret, a=0{,}8 | continu, a=-0{,}2 |
|---|---|---|
| 1 | 520{,}0 | 508{,}7 |
| 5 | 803{,}4 | 779{,}3 |
| 20 | 993{,}1 | 989{,}0 |
Les valeurs diffèrent, la conclusion est identique : même équilibre, même vitesse d’approche, même diagnostic économique. C’est le cas général quand a est positif en discret.
L’exact équivalent continu de a=0{,}8 serait \ln 0{,}8 = -0{,}223 ; les deux colonnes coïncideraient alors aux arrondis près.
Les cas particuliers
Quand la formule ne s’applique pas
Les deux cas dégénérés
| Discret, a=1 | Continu, a=0 | |
|---|---|---|
| Équation | y_{t+1}=y_t+b | \dot y = b |
| Solution | y_t = y_0 + b\,t | y(t)=y_0+b\,t |
| Comportement | croissance linéaire | croissance linéaire |
| y^\star | n’existe pas | n’existe pas |
Quand la formule ne s’applique pas (suite)
Le seul cas où les deux formules coïncident exactement
Ici, discret et continu donnent le même résultat, au sens strict : une droite.
C’est aussi la frontière entre convergence et divergence. En économétrie, cette situation porte un nom : la marche aléatoire avec dérive, y_t = y_{t-1}+b+\varepsilon_t. Le chapitre 11 y revient.
Quand la formule ne s’applique pas (suite 2)
Un cas économiquement important
a=1 signifie que le choc d’aujourd’hui se transmet intégralement et pour toujours. Aucun retour à l’équilibre : le niveau atteint devient le nouveau point de départ.
C’est la propriété qui distingue, en macroéconomie, un choc transitoire d’un choc permanent.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Même méthode en trois temps : sans second membre, puis solution particulière, puis condition initiale.
- Sans second membre : y_0\,a^{\,t} en discret, y_0\,\mathrm{e}^{at} en continu — deux écritures du même objet.
- Solution particulière : l’état stationnaire, b/(1-a) ou -b/a.
- Formule complète : y^\star + (y_0-y^\star)\times facteur d’amortissement.
- Cas dégénérés a=1 et a=0 : croissance linéaire, pas d’équilibre.
La suite
On sait résoudre. On ne sait pas encore si la trajectoire converge, ni comment.
C’est le chapitre 3 — et c’est là que les deux langages cessent de dire la même chose.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)