Analyse dynamique des modèles économiques
Les systèmes de deux variables
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 8 : Les systèmes de deux variables
Pourquoi les systèmes
Deux raisons, l’une théorique, l’autre pratique
Raison économique : les modèles ont plusieurs variables
Un modèle de croissance suit le capital et le travail. Un modèle de conjoncture suit le revenu et le taux d’intérêt. Un modèle proies-prédateurs suit deux populations.
Ces grandeurs s’influencent mutuellement : on ne peut pas les traiter séparément.
Raison mathématique : tout ordre 2 est un système
y_{t+2}=a_1 y_{t+1}+a_2 y_t se réécrit, en posant z_t = y_{t+1} :
\left\{\begin{aligned} y_{t+1} &= z_t\\ z_{t+1} &= a_1 z_t + a_2 y_t\end{aligned}\right. \qquad\text{soit}\qquad \begin{pmatrix} y_{t+1}\\ z_{t+1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1\\ a_2 & a_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_t\\ z_t\end{pmatrix}
Deux raisons, l’une théorique, l’autre pratique (suite)
La conséquence
Le chapitre 8 contient les chapitres 6 et 7 comme cas particuliers. Ce qu’on va établir pour les systèmes redonnera exactement l’équation caractéristique et les conditions de stabilité de l’ordre 2.
C’est le point de vue le plus général du cours.
L’écriture matricielle
Le face à face
\textbf{Discret :}\quad Y_{t+1} = A\,Y_t \qquad\qquad \textbf{Continu :}\quad \dot Y = A\,Y
avec Y=\begin{pmatrix} y\\ z\end{pmatrix} et A une matrice carrée de taille 2.
La ressemblance avec l’ordre 1
Comparez à y_{t+1}=a\,y_t et \dot y = a\,y. La seule différence est que le nombre a est devenu une matrice A.
Toute la théorie qui suit consiste à donner un sens matriciel aux objets du chapitre 2 : que devient a^{\,t} ? que devient \mathrm{e}^{at} ? que devient la condition |a|<1 ?
Les valeurs propres
Le nombre qui remplace a
Valeur propre
\lambda est une valeur propre de A s’il existe un vecteur V non nul tel que A\,V = \lambda\,V
Sur ce vecteur, la matrice agit comme un simple nombre.
Comment les calculer
Les valeurs propres sont les racines de \det(A-\lambda I)=0
Pour une matrice 2\times 2, cela donne \boxed{\;\lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0\;} où \mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22} est la trace.
Le nombre qui remplace a (suite)
Encore un trinôme
Comme au chapitre 6, tout se ramène à une équation du second degré. Les deux coefficients sont maintenant la trace et le déterminant — deux nombres qui se lisent directement sur la matrice, sans aucun calcul.
C’est ce qui rend l’analyse des systèmes 2\times 2 si commode.
Les solutions
Le résultat, dans les deux langages
Si A possède deux valeurs propres distinctes \lambda_1,\lambda_2 de vecteurs propres V_1,V_2 :
| Discret | Continu |
|---|---|
| Y_t = C_1\lambda_1^{\,t}V_1 + C_2\lambda_2^{\,t}V_2 | Y(t)=C_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}V_1 + C_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t}V_2 |
La même formule qu’à l’ordre 2
Comparez au chapitre 6 : C_1\lambda_1^{\,t}+C_2\lambda_2^{\,t}.
Seuls les vecteurs propres sont nouveaux. Ils disent dans quelle direction du plan chaque mode agit ; les valeurs propres disent à quelle vitesse.
Les solutions (suite)
Un calcul complet, en continu
A = \begin{pmatrix} -3 & 1\\ 2 & -2\end{pmatrix}
\mathrm{tr}(A)=-5, \det(A)=6-2=4. Caractéristique : \lambda^2+5\lambda+4=0.
\Delta = 25-16=9, donc \lambda=\dfrac{-5\pm 3}{2} : \lambda_1=-1 et \lambda_2=-4.
Les deux parties réelles sont négatives : système stable.
Le critère de stabilité
La phrase, une dernière fois
Le critère, inchangé depuis le chapitre 3
| Discret | Continu |
|---|---|
| toutes les valeurs propres de module <1 | toutes de partie réelle <0 |
Sur la trace et le déterminant
Temps continu, pour une matrice 2\times 2 : \mathrm{tr}(A) < 0 \qquad\text{et}\qquad \det(A) > 0
Temps discret : |\det(A)| < 1 \qquad\text{et}\qquad |\mathrm{tr}(A)| < 1 + \det(A)
La phrase, une dernière fois (suite)
Deux nombres suffisent
Aucun besoin de calculer les valeurs propres : la trace et le déterminant se lisent sur la matrice.
Et l’on retrouve bien le chapitre 7 : pour la matrice compagnon de l’ordre 2, \mathrm{tr}(A)=a_1 et \det(A)=-a_2, et les inégalités ci-dessus sont les conditions de Schur.
Les portraits de phase
Les quatre comportements
La classification
Selon les valeurs propres, en temps continu
| Valeurs propres | Nom | Comportement |
|---|---|---|
| réelles, même signe négatif | nœud stable | tout converge |
| réelles, même signe positif | nœud instable | tout diverge |
| réelles, signes opposés | col (point selle) | converge dans une direction, diverge dans l’autre |
| complexes, partie réelle <0 | foyer stable | spirale rentrante |
| complexes, partie réelle >0 | foyer instable | spirale sortante |
| complexes, partie réelle nulle | centre | orbites fermées |
La classification (suite)
Le col mérite une mention spéciale
Un col est instable — sauf pour les trajectoires qui partent exactement sur la direction stable, la droite portée par le vecteur propre associé à \lambda<0. Celles-là convergent ; toutes les autres finissent par s’échapper.
Cette direction stable porte un nom en économie : le sentier de selle.
La classification (suite 2)
Pourquoi le sentier de selle est partout en macroéconomie
Dans les modèles à anticipations rationnelles — Ramsey, Dornbusch, la plupart des modèles monétaires — l’équilibre est un col.
L’interprétation est la suivante : le capital est prédéterminé, mais la consommation ou le taux de change est une variable de saut. Les agents la choisissent précisément de manière à se placer sur le sentier de selle, car toute autre valeur conduirait à une trajectoire explosive, incompatible avec la rationalité.
C’est ainsi que l’instabilité mathématique devient un argument de détermination économique. Un résultat que l’on ne peut pas comprendre sans le portrait de phase.
Un modèle complet
Proies et prédateurs, version linéarisée
Deux secteurs qui s’influencent
Deux régions dont les revenus y et z s’entraînent mutuellement, avec un ajustement propre :
\left\{\begin{aligned} \dot y &= -3y + z\\ \dot z &= 2y - 2z \end{aligned}\right.
C’est la matrice de l’exemple précédent, de valeurs propres -1 et -4.
Les directions propres
Pour \lambda_1=-1 : (A+I)V=0 donne -2v_1+v_2=0, soit V_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.
Pour \lambda_2=-4 : (A+4I)V=0 donne v_1+v_2=0, soit V_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
Y(t)=C_1\mathrm{e}^{-t}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+C_2\mathrm{e}^{-4t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
Proies et prédateurs, version linéarisée (suite)
La lecture
Deux valeurs propres négatives : nœud stable, les deux régions convergent vers l’équilibre.
Mais elles n’y convergent pas de la même façon. Le mode rapide (\mathrm{e}^{-4t}, direction (1;-1)) est celui où les deux revenus s’écartent en sens contraire : les déséquilibres entre régions se résorbent vite.
Le mode lent (\mathrm{e}^{-t}, direction (1;2)) est celui où les deux évoluent dans le même sens : un choc commun met quatre fois plus de temps à s’effacer.
Les vecteurs propres disent quelle combinaison de variables s’ajuste vite et laquelle s’ajuste lentement. C’est l’information la plus utile que fournisse l’analyse spectrale d’un modèle.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Toute équation d’ordre n se réécrit comme un système de n équations d’ordre 1.
- Y_{t+1}=A\,Y_t et \dot Y = A\,Y : le nombre a est devenu une matrice.
- Les valeurs propres remplacent a ; elles sont racines de \lambda^2-\mathrm{tr}(A)\lambda+\det(A)=0.
- Critère de stabilité inchangé : module <1 en discret, partie réelle <0 en continu — et il se lit sur la trace et le déterminant.
- Quatre portraits : nœud, col, foyer, centre.
- Le col et son sentier de selle sont la structure de presque tous les modèles à anticipations rationnelles.
La suite
Tout ce qui précède suppose la linéarité. Or aucun modèle économique sérieux n’est linéaire : la production a des rendements décroissants, les populations saturent, les prix ne peuvent pas être négatifs.
La partie IV aborde le non linéaire — et c’est là que le temps discret révèle son comportement le plus spectaculaire.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)