Analyse dynamique des modèles économiques
Quatre modèles classiques
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 10 : Quatre modèles classiques
Le programme
Quatre modèles, une même méthode
Les quatre
| Modèle | Question | Ordre |
|---|---|---|
| Toile d’araignée | pourquoi les prix agricoles oscillent-ils ? | 1, discret |
| Harrod-Domar | à quel rythme une économie peut-elle croître ? | 1 |
| Solow | pourquoi la croissance s’essouffle-t-elle ? | 1, non linéaire |
| Samuelson | d’où viennent les cycles ? | 2, discret |
Quatre modèles, une même méthode (suite)
La méthode, toujours la même
- Écrire les hypothèses de comportement.
- Les combiner en une équation dynamique.
- Chercher l’équilibre.
- Étudier la stabilité.
- Interpréter.
Aucune technique nouvelle dans ce chapitre : tout a été vu. Ce qui est nouveau, c’est le passage de l’énoncé littéraire à l’équation — et c’est là que se trouve la vraie difficulté.
La toile d’araignée
Le modèle
Le retard de production agricole
Un agriculteur décide en mars ce qu’il plantera, et vendra en septembre. Il décide donc sur le prix de la campagne précédente.
\text{demande : } q^d_t = a - b\,p_t \qquad\qquad \text{offre : } q^s_t = c + d\,p_{t-1}
L’équilibre du marché à chaque période, q^d_t = q^s_t, donne \boxed{\;p_t = \frac{a-c}{b} - \frac{d}{b}\,p_{t-1}\;}
Un coefficient négatif, par construction
Le coefficient est -d/b : il est nécessairement négatif, puisque b et d sont positifs.
Or le chapitre 3 nous a appris qu’un coefficient négatif engendre des oscillations. Le cycle des prix agricoles n’est donc pas un accident : il est inscrit dans la structure du marché avec délai.
Le diagramme
La condition de stabilité
Le résultat
\left|\frac{d}{b}\right| < 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad d < b
L’offre doit être moins sensible au prix que la demande.
Un exemple chiffré
a=20, b=2, c=-2, d=0{,}8 : \;p_t = 11 - 0{,}4\,p_{t-1}.
p^\star = \dfrac{11}{1{,}4}=7{,}86. Coefficient -0{,}4 : oscillations amorties.
En partant de p_0 = 4 : 9{,}4 ; 7{,}24 ; 8{,}10 ; 7{,}76 ; 7{,}90 ; 7{,}84 …
La condition de stabilité (suite)
Ce que le modèle explique
Trois régimes selon d/b :
- d<b : la toile se resserre, le marché se stabilise.
- d=b : cycle permanent — le fameux cycle du porc, observé en Allemagne dans les années 1920.
- d>b : divergence, le marché s’effondre ou s’emballe.
Et la conclusion de politique publique est immédiate : stabiliser le prix, c’est réduire d — par des contrats à terme, des prix garantis, des stocks régulateurs. Toute la politique agricole commune tient dans cette inégalité.
Le point de méthode
Ce modèle n’existe qu’en temps discret. Sa version continue, sans délai, converge sans jamais osciller : le phénomène disparaîtrait.
C’est l’illustration la plus nette du chapitre 3 : ici, le choix du temps n’est pas une commodité, il est le modèle.
Harrod-Domar
La croissance équilibrée
Les hypothèses
- Épargne proportionnelle au revenu : S_t = s\,Y_t.
- Investissement proportionnel à l’accroissement de production requis : I_t = v\,(Y_{t+1}-Y_t), où v est le coefficient de capital.
- Équilibre : S_t = I_t.
s\,Y_t = v\,(Y_{t+1}-Y_t) \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;Y_{t+1}=\left(1+\frac{s}{v}\right)Y_t\;}
La croissance équilibrée (suite)
Le face à face
| Discret | Continu |
|---|---|
| Y_{t+1}=\left(1+\dfrac{s}{v}\right)Y_t | \dot Y = \dfrac{s}{v}\,Y |
| Y_t = Y_0\left(1+\dfrac{s}{v}\right)^{t} | Y(t)=Y_0\,\mathrm{e}^{(s/v)t} |
La croissance équilibrée (suite)
Le taux de croissance garanti
g^w = \frac{s}{v}
Avec s=0{,}20 et v=4 : g^w = 5\,\% par an. C’est le seul rythme auquel l’économie peut croître sans accumuler ni pénurie ni surcapacité.
Le fil du rasoir
Pourquoi ce modèle est instable
Rien ne garantit que le taux effectif coïncide avec g^w. Et s’il s’en écarte, l’écart s’amplifie : croître trop vite crée une pénurie de capacité, donc encore plus d’investissement, donc encore plus vite.
Harrod parlait du fil du rasoir : l’équilibre existe mais il est instable, et rien ne ramène l’économie dessus.
Le point faible du modèle
s et v sont deux paramètres fixés de l’extérieur. Le taux garanti n’a donc aucune raison d’être égal au taux naturel — la croissance de la population plus le progrès technique.
Toute la question de la croissance devient : peut-on faire varier v ? Si le coefficient de capital s’ajuste, l’économie peut se corriger d’elle-même.
C’est exactement la réponse de Solow, et c’est pourquoi le modèle suivant a remplacé celui-ci.
Le modèle de Solow
Le modèle (suite 2)
Les hypothèses, 1956
- Fonction de production à rendements décroissants : Y = F(K,L), soit par tête y = f(k) avec f(k)=k^{\alpha}, 0<\alpha<1.
- Épargne : sY, entièrement investie.
- Le capital se déprécie au taux \delta, la population croît au taux n.
\boxed{\;\dot k = s\,f(k) - (n+\delta)\,k\;}
Lire l’équation
Le capital par tête augmente de ce qui est épargné et diminue de ce qu’il faut pour remplacer l’usure et pour équiper les nouveaux venus.
C’est une équation d’ordre 1, autonome et non linéaire : elle relève du chapitre 9.
Le diagramme (suite 2)
L’analyse
L’équilibre
s\,k^{\alpha}=(n+\delta)k donne k^\star = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}
Avec s=0{,}3, n+\delta = 0{,}1, \alpha = 0{,}5 : k^\star = 3^2 = 9, et y^\star = 3.
La stabilité, par linéarisation
g(k)=s\,k^{\alpha}-(n+\delta)k, donc g'(k)=s\,\alpha\,k^{\alpha-1}-(n+\delta).
En k^\star = 9 : g'(9)=0{,}3\times 0{,}5\times 9^{-0{,}5}-0{,}1 = 0{,}05-0{,}1 = -0{,}05 < 0.
Équilibre stable, et la demi-vie est \dfrac{\ln 0{,}5}{-0{,}05}=13{,}9 années.
L’analyse (suite)
Les trois enseignements du modèle
- La croissance par accumulation s’épuise. Les rendements décroissants font que sf(k) finit toujours par être rattrapé par (n+\delta)k.
- Un pays pauvre rattrape un pays riche — la convergence — car il est loin de son k^\star et croît donc plus vite.
- Épargner davantage relève le niveau, pas le taux de croissance de long terme. Doubler s multiplie k^\star par 4 ici, mais à terme la croissance par tête redevient nulle.
D’où la conclusion : la croissance durable ne peut venir que du progrès technique, exogène dans ce modèle. C’est ce vide que la théorie de la croissance endogène a entrepris de combler.
La version discrète
k_{t+1}=\frac{s\,f(k_t)+(1-\delta)k_t}{1+n}
Même équilibre, même diagramme. Mais avec une épargne très élevée et une dépréciation forte, la pente au point fixe peut descendre sous -1 : le modèle discret peut osciller, voire diverger, là où le continu converge toujours.
Le résultat du chapitre 9, sur un modèle que tout le monde croit inoffensif.
Samuelson, en résumé
Le rappel
Le modèle du chapitre 7
Y_t = 1 + c(1+v)\,Y_{t-1} - c\,v\,Y_{t-2}
Stabilité \iff c\,v<1. Racines complexes \iff c < \dfrac{4v}{(1+v)^2}.
Le rappel (suite)
Ce que les quatre modèles ont en commun
Le bilan de la méthode
| Modèle | Équation | Résultat |
|---|---|---|
| Toile d’araignée | ordre 1, coefficient <0 | oscillations ; stables si d<b |
| Harrod-Domar | ordre 1, coefficient >1 | croissance à s/v, instable |
| Solow | ordre 1 non linéaire | équilibre stable, croissance qui s’épuise |
| Samuelson | ordre 2 | quatre régimes selon c et v |
Aucun de ces modèles ne demande plus que ce que contient ce cours. Ce qu’ils demandent, c’est de savoir traduire un énoncé économique en équation — puis de savoir relire le résultat en économie.
Ce que les quatre modèles ont en commun (suite)
Le conseil pour l’examen, et pour la suite
Trois questions à se poser devant tout modèle dynamique :
- Quelle est la variable d’état ? Celle dont on suit l’évolution.
- Quelle est la loi de mouvement ? Une seule équation, obtenue en substituant les hypothèses.
- Quel est le signe de la pente à l’équilibre ? Elle donne stabilité et oscillations d’un coup.
Ces trois questions suffisent à traiter n’importe quel modèle du programme.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Toile d’araignée : le délai de production engendre des oscillations ; stables si l’offre est moins élastique que la demande.
- Harrod-Domar : croissance garantie s/v, équilibre instable — le fil du rasoir.
- Solow : les rendements décroissants créent un équilibre stable ; la croissance par accumulation s’épuise.
- Samuelson : l’ordre 2 engendre des cycles endogènes, sans cause extérieure.
- La difficulté n’est jamais la technique : c’est la mise en équation et la relecture économique.
La suite
Tous ces modèles sont déterministes : même point de départ, même histoire. Or aucune série économique observée ne ressemble à cela.
Le chapitre 11 ajoute le hasard — et ouvre la porte de l’économétrie et de la finance.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)