Analyse dynamique des modèles économiques
Quand les coefficients changent
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 5 : Quand les coefficients changent
Lever l’hypothèse de constance
Le nouveau problème
Les deux équations du chapitre
\textbf{Discret :}\quad y_{t+1} = a_t\,y_t + b_t
\textbf{Continu :}\quad \dot y = a(t)\,y + b(t)
Les coefficients dépendent maintenant de la date.
Trois situations économiques qui l’imposent
- Un taux d’intérêt variable : le capital ne croît pas au même rythme chaque année.
- Un flux saisonnier : les recettes d’un commerce ne sont pas les mêmes en décembre et en février.
- Une politique révisée : un taux de subvention modifié à chaque loi de finances.
Dans ces trois cas, a ou b change, et les formules du chapitre 2 ne s’appliquent plus.
Le nouveau problème (suite)
Ce qu’on perd, ce qu’on garde
On perd l’état stationnaire : une cible qui bouge n’est plus une cible.
On garde l’architecture : sans second membre d’abord, solution particulière ensuite. Simplement, la « brique » cesse d’être a^{\,t} ou \mathrm{e}^{at}.
Sans second membre
Le cas discret : un produit
Résolution de y_{t+1}=a_t,y_t
On itère, comme au chapitre 2 :
y_1 = a_0\,y_0, \qquad y_2 = a_1 a_0\,y_0, \qquad y_3 = a_2 a_1 a_0\,y_0
\boxed{\;y_t = y_0 \prod_{k=0}^{t-1} a_k\;}
La puissance devient un produit
a^{\,t} n’était rien d’autre que le produit de t facteurs tous égaux. Dès qu’ils diffèrent, on garde le produit et l’on renonce à la puissance.
Rien de nouveau n’est requis : c’est la même itération, écrite avec un symbole \prod.
Le cas continu : une intégrale
Résolution de \dot y = a(t),y
Séparation des variables, comme au chapitre 2 :
\frac{\mathrm{d}y}{y}=a(t)\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \int_0^t a(s)\,\mathrm{d}s + C
\boxed{\;y(t)=y_0\,\exp\!\left(\int_0^t a(s)\,\mathrm{d}s\right)\;}
Le cas continu : une intégrale (suite)
La correspondance, prolongée
| Coefficients constants | Coefficients variables |
|---|---|
| y_0\,a^{\,t} | y_0 \prod_{k<t} a_k |
| y_0\,\mathrm{e}^{at} | y_0\,\exp\!\left(\int_0^t a\right) |
Produit et intégrale se répondent, exactement comme somme et intégrale. C’est la dernière ligne du dictionnaire de l’introduction.
Le cas continu : une intégrale (suite)
Un taux qui monte régulièrement
Un capital placé au taux instantané a(t)=0{,}02+0{,}003\,t :
\int_0^t (0{,}02+0{,}003\,s)\,\mathrm{d}s = 0{,}02\,t + 0{,}0015\,t^2
K(t)=K_0\,\mathrm{e}^{0{,}02t+0{,}0015t^2}
Après dix ans, le facteur vaut \mathrm{e}^{0{,}2+0{,}15}=\mathrm{e}^{0{,}35}=1{,}419, contre \mathrm{e}^{0{,}2}=1{,}221 à taux fixe.
Avec second membre
Le facteur intégrant
La méthode du temps continu
Pour \dot y - a(t)\,y = b(t), on pose
\mu(t)=\exp\!\left(-\int_0^t a(s)\,\mathrm{d}s\right)
En multipliant l’équation par \mu, le membre de gauche devient la dérivée d’un produit :
\big(\mu(t)\,y(t)\big)' = \mu(t)\,b(t)
Il ne reste qu’à intégrer.
Ce que fait cette astuce
Elle transforme une équation différentielle en un simple calcul de primitive. Le facteur \mu n’a pas de contenu économique : c’est un multiplicateur choisi pour faire apparaître la dérivée d’un produit.
À retenir : le facteur intégrant est l’inverse de la solution sans second membre.
Le facteur intégrant (suite)
Application à coefficients constants
\dot y = a\,y + b. Ici \mu = \mathrm{e}^{-at}, et
\big(\mathrm{e}^{-at}y\big)' = b\,\mathrm{e}^{-at} \ \Longrightarrow\ \mathrm{e}^{-at}y = -\frac{b}{a}\mathrm{e}^{-at}+C \ \Longrightarrow\ y(t)=-\frac{b}{a}+C\,\mathrm{e}^{at}
On retrouve exactement la formule du chapitre 2. La méthode générale contient bien le cas particulier.
La formule complète, en discret
Le pendant discret
y_t \;=\; y_0\prod_{k=0}^{t-1} a_k \;+\; \sum_{j=0}^{t-1} b_j \prod_{k=j+1}^{t-1} a_k
Comment lire cette formule intimidante
Elle dit simplement ceci : chaque apport b_j est ensuite multiplié par tous les coefficients qui le suivent.
Un versement fait à la date j est capitalisé de j jusqu’à t, et rien d’autre. La somme totalise ces contributions.
C’est le raisonnement d’un tableau d’amortissement, écrit en une ligne.
La formule complète, en discret (suite)
À coefficients constants
Avec a_k=a et b_j=b : y_t = y_0\,a^{\,t} + b\,\frac{1-a^{\,t}}{1-a}
et l’on retrouve, après réarrangement, y_t = y^\star + (y_0-y^\star)a^{\,t} avec y^\star=b/(1-a).
Un cas économique complet
Le plan d’épargne à versements croissants
L’énoncé
Un épargnant verse V_t = 1000\times 1{,}03^{\,t} dirhams en fin d’année t — ses versements suivent l’inflation. Le capital est rémunéré au taux fixe 5\,\%.
K_{t+1}=1{,}05\,K_t + 1000\times 1{,}03^{\,t}, \qquad K_0 = 0
Coefficient a constant, second membre variable.
La résolution
On cherche une solution particulière de la forme K_t = \alpha\times 1{,}03^{\,t} :
\alpha\,1{,}03^{\,t+1} = 1{,}05\,\alpha\,1{,}03^{\,t} + 1000\times 1{,}03^{\,t}
En divisant par 1{,}03^{\,t} : \;1{,}03\,\alpha = 1{,}05\,\alpha + 1000, donc -0{,}02\,\alpha = 1000 et \alpha = -50\,000.
Solution générale : K_t = C\times 1{,}05^{\,t} - 50\,000\times 1{,}03^{\,t}.
Condition K_0=0 : C = 50\,000.
\boxed{\;K_t = 50\,000\left(1{,}05^{\,t}-1{,}03^{\,t}\right)\;}
Le plan d’épargne à versements croissants (suite)
La lecture
K_{10}=50\,000(1{,}629-1{,}344)=14\,250 dirhams. K_{20}=50\,000(2{,}653-1{,}806)=42\,350 dirhams. K_{30}=50\,000(4{,}322-2{,}427)=94\,750 dirhams.
Le capital est la différence de deux exponentielles : celle du placement et celle des versements. Il croît d’autant plus vite que l’écart entre le taux servi et le taux d’indexation est grand.
Si les deux taux étaient égaux, la méthode échouerait — c’est le cas de résonance, où la solution particulière doit être cherchée sous la forme \alpha\,t\,a^{\,t}. La même exception existe en temps continu.
La méthode des coefficients indéterminés
Une technique qui sert dans les deux langages
Quand le second membre a une forme simple, on cherche une solution particulière de la même forme, avec un coefficient à déterminer.
| Second membre | Essayer |
|---|---|
| constante | constante |
| r^{\,t} ou \mathrm{e}^{rt} | \alpha\,r^{\,t} ou \alpha\,\mathrm{e}^{rt} |
| polynôme de degré n | polynôme de degré n |
| \cos ou \sin | combinaison des deux |
Exception : si la forme essayée est déjà solution sans second membre, multiplier par t.
La méthode des coefficients indéterminés (suite)
Le conseil pratique
Cette méthode est plus rapide que le facteur intégrant et que la somme générale — et elle couvre la quasi-totalité des exercices.
Réservez les formules générales aux cas où le second membre n’a aucune forme reconnaissable.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Coefficients variables : la puissance devient un produit, l’exponentielle devient l’exponentielle d’une intégrale.
- En continu, le facteur intégrant \mu=\exp(-\int a) ramène l’équation à un calcul de primitive.
- En discret, chaque apport b_j est capitalisé par tous les coefficients postérieurs.
- La méthode des coefficients indéterminés est la plus rapide en pratique — attention au cas de résonance.
- Il n’y a plus d’état stationnaire : la notion de stabilité doit être remplacée par une comparaison de vitesses de croissance.
La suite
L’ordre 1 est clos. Il ne permet pas de représenter l’accélérateur d’investissement, ni les cycles économiques — pour cela il faut deux retards.
La partie III passe à l’ordre 2, puis aux systèmes.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)