Analyse dynamique des modèles économiques
Stabilité — là où les deux temps divergent
- Présentation du cours
- Deux façons de représenter le temps
- Le vocabulaire commun
- L'ordre 1 linéaire, résolu des deux côtés
- Stabilité — là où les deux temps divergent
- Lire la dynamique sur un dessin
- Quand les coefficients changent
- L'ordre 2 et l'équation caractéristique
- La stabilité à l'ordre 2
- Les systèmes de deux variables
- Le non linéaire, et le chaos
- Quatre modèles classiques
- Du déterminisme au hasard
Analyse dynamique des modèles économiques
Chapitre 3 : Stabilité — là où les deux temps divergent
La question
Le chapitre pivot du cours
Ce qui change ici
Jusqu’à présent, le face à face n’a produit que des ressemblances : même architecture, même équilibre, mêmes formules à une traduction près.
Ce chapitre est celui où la symétrie se brise. Les conditions de stabilité ne sont pas les mêmes, et surtout le temps discret produit un comportement — l’oscillation d’une période à l’autre — dont le temps continu est incapable.
C’est le chapitre à comprendre si l’on n’en comprend qu’un.
La question de stabilité
L’état stationnaire y^\star est stable si toute trajectoire partie d’un point voisin y revient : y_t \longrightarrow y^\star \quad\text{ou}\quad y(t) \longrightarrow y^\star \qquad \text{quand } t \to \infty
Il est instable dans le cas contraire.
Le critère
Tout tient dans le facteur d’amortissement
Rappel du chapitre 2
y_t - y^\star = (y_0-y^\star)\,a^{\,t} \qquad\qquad y(t) - y^\star = (y_0-y^\star)\,\mathrm{e}^{a t}
L’écart à l’équilibre est l’écart initial multiplié par un facteur. Il converge vers zéro si et seulement si ce facteur converge vers zéro.
Tout tient dans le facteur d’amortissement (suite)
Les deux critères
| Temps discret | Temps continu | |
|---|---|---|
| Facteur | a^{\,t} | \mathrm{e}^{a t} |
| Stable si | \;|a| < 1 | \;a < 0 |
| Instable si | \;|a| > 1 | \;a > 0 |
| Cas limite | \;|a| = 1 | \;a = 0 |
Pourquoi ces deux critères ne se ressemblent pas
Une valeur absolue d’un côté, un signe de l’autre
En continu, \mathrm{e}^{at} est toujours positif. Seule sa croissance ou sa décroissance importe, donc seul le signe de a compte.
En discret, a^{\,t} peut changer de signe à chaque pas. Ce qui décide de la convergence n’est plus le signe mais le module : il faut que |a|<1 pour que les puissances s’écrasent.
Ce n’est pas une subtilité de notation. C’est la trace mathématique d’un phénomène économique bien réel : la sur-réaction.
La correspondance, rétablie
Avec a_{\text{discret}} = \mathrm{e}^{\,a_{\text{continu}}} :
a_{\text{continu}} < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 < a_{\text{discret}} < 1
La traduction fonctionne parfaitement — mais seulement pour a_{\text{discret}} positif. La moitié négative de l’axe discret n’a aucun antécédent en temps continu. Tout ce chapitre est dans cette phrase.
Les régimes
Quatre en discret, deux en continu
Le tableau complet
Les régimes du temps discret
| Valeur de a | Comportement |
|---|---|
| 0 < a < 1 | convergence monotone |
| -1 < a < 0 | convergence en oscillant |
| a > 1 | divergence monotone (explosion) |
| a < -1 | divergence en oscillant |
| a = 1 | croissance linéaire |
| a = -1 | cycle de période 2, sans amortissement |
Le tableau complet (suite)
Les régimes du temps continu
| Valeur de a | Comportement |
|---|---|
| a < 0 | convergence monotone |
| a > 0 | divergence monotone |
| a = 0 | croissance linéaire |
Le tableau complet (suite 2)
Le constat
Six régimes contre trois. Les trois régimes supplémentaires sont tous des oscillations, et ils sont propres au temps discret.
Ce que l’oscillation veut dire
La sur-réaction
a négatif signifie : un écart positif à l’équilibre engendre, à la période suivante, un écart négatif. Le système corrige — et corrige trop.
C’est le comportement d’un producteur agricole qui, voyant un prix élevé, plante massivement, provoque l’année suivante une surabondance et un prix effondré, plante alors trop peu, et ainsi de suite.
Ce phénomène a un nom : le cycle du porc, ou modèle de la toile d’araignée. Il est étudié au chapitre 10.
Pourquoi le temps continu ne peut pas le produire
En temps continu, la grandeur ne peut pas « sauter » de l’autre côté de l’équilibre : elle doit passer par y^\star. Or si elle atteint y^\star, sa vitesse y est nulle par définition, donc elle s’y arrête.
Une équation différentielle autonome d’ordre 1 ne peut donc jamais franchir son équilibre. Aucune oscillation n’est possible.
L’oscillation exige le délai : il faut que la réaction soit décidée sur une information périmée. Le temps discret contient ce délai par construction.
La lecture géométrique
Résumé graphique
| Discret | Continu | |
|---|---|---|
| Zone stable | intervalle ]-1;1[ | demi-droite ]-\infty;0[ |
| Frontière | deux points, -1 et +1 | un point, 0 |
| Oscillations | moitié gauche de l’intervalle | jamais |
La lecture géométrique (suite)
La formule mnémotechnique
Discret : module inférieur à un. Continu : partie réelle négative.
Retenez-la sous cette forme : à l’ordre 2 et pour les systèmes, elle restera vraie mot pour mot, avec \lambda à la place de a. C’est le seul énoncé de stabilité de tout le cours.
La vitesse de convergence
Combien de temps pour y arriver
La demi-vie
La demi-vie est le temps au bout duquel l’écart initial est réduit de moitié.
| Discret | Continu |
|---|---|
| \tau = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln|a|} | \tau = \dfrac{\ln 0{,}5}{a} = -\dfrac{0{,}693}{a} |
Combien de temps pour y arriver (suite)
Trois valeurs
| a (discret) | demi-vie | interprétation |
|---|---|---|
| 0{,}5 | 1{,}0 période | très rapide |
| 0{,}8 | 3{,}1 périodes | rapide |
| 0{,}95 | 13{,}5 périodes | lent |
| 0{,}99 | 69 périodes | quasi permanent |
Combien de temps pour y arriver (suite 2)
Une notion qui a une portée réelle
Deux économies peuvent avoir le même équilibre de long terme et des demi-vies très différentes. La première absorbe un choc en un an, la seconde en vingt.
C’est toute la différence entre une récession et une décennie perdue. La stabilité dit si l’on y arrive ; la demi-vie dit si l’on y arrive de son vivant.
Et l’on comprend pourquoi les macroéconomistes s’écharpent sur la valeur estimée de a : proche de 0{,}9 ou proche de 0{,}99, ce n’est pas le même monde.
Un exercice complet
Le même modèle, deux valeurs de a
Ajustement des prix sur un marché
p_{t+1} = a\,p_t + 30, avec p_0 = 100.
Équilibre : p^\star = \dfrac{30}{1-a}.
Cas 1, a = 0{,}7 : p^\star = 100. Or p_0 = 100 : le marché est déjà à l’équilibre, il y reste.
Cas 2, a = -0{,}7 : p^\star = \dfrac{30}{1{,}7}=17{,}6. Écart initial 82{,}4. p_t = 17{,}6 + 82{,}4\times(-0{,}7)^t p_1 = 17{,}6-57{,}7 = -40{,}1 — négatif.
Ce que ce résultat aberrant enseigne
Un prix négatif n’existe pas. Le modèle est mathématiquement correct et économiquement absurde.
C’est un rappel utile : la résolution ne dispense pas de vérifier que la trajectoire reste dans le domaine admissible. Une sur-réaction violente (|a| proche de 1 et écart initial important) sort du domaine dès la première période.
En pratique, on ajoute alors une contrainte de positivité — et le modèle devient non linéaire, ce qui nous amène au chapitre 9.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Stabilité discrète : |a|<1. Stabilité continue : a<0. Module contre partie réelle.
- Le temps discret a six régimes, le temps continu trois : les trois de plus sont des oscillations.
- Une équation différentielle autonome d’ordre 1 ne peut jamais osciller : elle ne peut pas franchir son équilibre.
- L’oscillation naît du délai de réaction, que le temps discret contient par construction.
- La demi-vie chiffre la vitesse de retour à l’équilibre, et c’est souvent ce qui intéresse le décideur.
La suite
Ces résultats se lisent aussi, et beaucoup mieux, sur un dessin. Le chapitre 4 présente les deux outils graphiques du cours : le diagramme en escalier et le diagramme de phase.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)