Mathématiques pour la gestion

Variations et extremums

Mathématiques pour la gestion

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Chapitre 3 : Variations et extremums

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Signe et variations

Le théorème central du cours

Signe de la dérivée et sens de variation

Sur un intervalle I :

  • si f'(x) > 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I ;
  • si f'(x) < 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I ;
  • si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
Pourquoi c’est la clé de tout

Ce théorème transforme une question difficile — « comment se comporte f ? » — en une question facile : « quel est le signe de f' ? ».

Étudier le signe d’une expression, c’est résoudre une inéquation. C’est infiniment plus simple que d’examiner une fonction point par point.

L’illustration

Ce que la figure montre

Lire les deux courbes ensemble

La courbe du bas est la dérivée de celle du haut. Regardez leurs points remarquables se répondre :

  • là où la dérivée est au-dessus de l’axe, la fonction monte ;
  • là où elle est en dessous, la fonction descend ;
  • là où elle coupe l’axe, la fonction change de sens.

Les racines de f' sont exactement les abscisses des sommets et des creux de f.

Le tableau de variations

Construire le tableau, en cinq étapes

La méthode
  1. Déterminer l’ensemble de définition.
  2. Calculer f'(x).
  3. Résoudre f'(x) = 0 : ce sont les points critiques.
  4. Étudier le signe de f' entre ces points.
  5. Reporter dans un tableau : le signe de f' sur une ligne, le sens de variation de f sur la suivante.
Le tableau n’est pas une décoration

C’est un instrument de synthèse : il rassemble en cinq centimètres carrés tout ce qu’il y a à savoir sur la fonction — où elle monte, où elle descend, quelles valeurs elle atteint aux points remarquables.

Un correcteur y lit votre raisonnement d’un coup d’œil. Un dirigeant aussi.

Un exemple complet

Étudier une fonction cubique sur l’intervalle 0 à 5

Dérivée : f'(x) = x^2 - 4x + 3.

Points critiques : x^2 - 4x + 3 = 0. Discriminant \Delta = 16 - 12 = 4, donc \sqrt{\Delta}=2 et x = \frac{4 \pm 2}{2} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \ \text{ et } \ x_2 = 3

Signe : un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l’extérieur de ses racines, négatif entre elles.

Valeurs : f(0) = 2, f(1) = \tfrac43 + 2 = \tfrac{10}{3} \approx 3{,}33, f(3) = 9 - 18 + 9 + 2 = 2, f(5) = \tfrac{125}{3} - 50 + 17 \approx 8{,}67.

Le tableau

Tableau de variations
x 0 1 3 5
signe de f' + 0 - 0 +
variations de f 2 croît 3{,}33 décroît 2 croît 8{,}67
La lecture

La fonction monte jusqu’à x=1, redescend jusqu’à x=3, puis remonte.

Elle atteint donc un maximum local en x=1 et un minimum local en x=3.

Extremums locaux, globaux

Deux mots à distinguer soigneusement

Local et global
  • f admet un maximum local en a si f(a) \geq f(x) pour tout x proche de a.
  • f admet un maximum global en a si f(a) \geq f(x) pour tout x de l’ensemble de définition.
L’image de la montagne

Un maximum local est un sommet : le point le plus haut de son voisinage. Un maximum global est le point le plus haut de tout le massif.

Il peut y avoir plusieurs maximums locaux ; il n’y a au plus qu’une valeur maximale globale.

Deux mots à distinguer soigneusement (suite)

Sur l’exemple précédent

x=1 donne un maximum local (f(1) = 3{,}33), mais pas global : f(5) = 8{,}67 est plus élevé.

Le maximum global sur [0 ; 5] est atteint au bord, en x = 5.

Une erreur qui coûte cher

Confondre les deux revient à s’arrêter au premier sommet venu en croyant avoir atteint la meilleure solution. En gestion, cela signifie retenir un plan de production correct mais pas optimal.

Toujours comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes de l’intervalle.

La nature d’un point critique

Première méthode : le signe de la dérivée

Le critère du changement de signe

Soit a un point critique, c’est-à-dire f'(a) = 0.

  • Si f' passe de + à - : maximum local.
  • Si f' passe de - à + : minimum local.
  • Si f' ne change pas de signe : ni l’un ni l’autre (simple palier).
Attention au troisième cas

f(x) = x^3 vérifie f'(0) = 0, mais f'(x) = 3x^2 reste positif de part et d’autre. La fonction ne fait que ralentir sans s’inverser.

Une dérivée nulle ne suffit donc pas à conclure. C’est une condition nécessaire, pas suffisante.

Seconde méthode : la dérivée seconde

Le critère de la dérivée seconde

Soit a tel que f'(a) = 0.

  • Si f''(a) < 0 : la courbe est concave, le point est un maximum.
  • Si f''(a) > 0 : la courbe est convexe, le point est un minimum.
  • Si f''(a) = 0 : le critère ne conclut pas ; revenir au signe de f'.

Seconde méthode : la dérivée seconde (suite)

Comment retenir le sens

Un moyen mnémotechnique

f'' > 0 : la courbe est tournée vers le haut, comme un récipient qui retient l’eau. Le fond du récipient est un minimum.

f'' < 0 : la courbe est tournée vers le bas, comme une colline. Le sommet est un maximum.

Le signe de f'' et la nature de l’extremum sont inversés : c’est le point que les étudiants confondent le plus souvent.

Vérification sur l’exemple

f'(x) = x^2 - 4x + 3, donc f''(x) = 2x - 4.

  • f''(1) = -2 < 0 : maximum en x = 1, conforme au tableau.
  • f''(3) = +2 > 0 : minimum en x = 3, conforme au tableau.

Les deux méthodes concordent, comme toujours.

Laquelle employer

En pratique
Situation Méthode conseillée
f' est un trinôme, un produit, une expression facile à signer signe de f'
f' est compliquée mais f'' se calcule bien dérivée seconde
f''(a) = 0 retour obligatoire au signe de f'

Laquelle employer (suite)

Un avantage décisif de la dérivée seconde

Elle donne la réponse par un simple calcul de nombre, sans étude de signe.

Et surtout : c’est la seule des deux méthodes qui se généralise aux fonctions de plusieurs variables — c’est elle que l’on retrouvera au chapitre 6.

La méthode complète

Optimiser : la marche à suivre

Les cinq étapes, à appliquer telles quelles
  1. Écrire la fonction et son ensemble de définition (dicté par la situation).
  2. Calculer f'.
  3. Résoudre f'(x) = 0 : les points critiques.
  4. Déterminer leur nature (signe de f' ou signe de f'').
  5. Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes ; conclure.
L’étape que tout le monde oublie

La cinquième. Un point critique n’est pas nécessairement l’optimum : sur un intervalle fermé, l’optimum peut être atteint à une borne.

En gestion, les bornes sont partout : capacité maximale de l’atelier, budget disponible, quantité minimale contractuelle.

Un cas où l’optimum est à la borne

Une capacité de production limitée

\Pi(q) = -0{,}3q^2 + 42q - 300 sur [0 ; 50], car l’atelier ne peut pas dépasser 50 unités.

\Pi'(q) = -0{,}6q + 42 = 0 donne q = 70 — hors de l’intervalle.

Sur [0 ; 50], \Pi' reste positive (\Pi'(50) = 12 > 0) : le profit est croissant sur tout l’intervalle.

La conclusion de gestion

L’optimum est q = 50 : il faut saturer la capacité. Et le fait que \Pi'(50) = 12 > 0 chiffre l’intérêt d’un investissement : chaque unité de capacité supplémentaire rapporterait encore 12 dirhams.

C’est un argument d’investissement obtenu par une dérivée.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Cinq points
  1. Le signe de f' donne le sens de variation : c’est le théorème central du cours.
  2. Le tableau de variations synthétise l’étude en cinq étapes.
  3. f'(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisant pour un extremum.
  4. La nature du point se lit sur le changement de signe de f' ou sur le signe de f'' — attention à l’inversion : f'' < 0 donne un maximum.
  5. Toujours comparer les points critiques et les bornes.
La suite

L’outil est complet. Le chapitre 4 ne fera que l’appliquer, entièrement, à des problèmes de gestion réels.

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Ressources du chapitre