Mathématiques pour la gestion
Le langage des fonctions
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Introduction : Le langage des fonctions
Pourquoi ce cours ?
Deux objectifs
Ce que vous saurez faire à la fin
- Optimiser une fonction avec une ou plusieurs variables, libre ou sous contrainte:
- Trouver la quantité qui maximise un profit,
- Trouver la quantité qui minimise un coût.
- Résoudre un système d’équations linéaires :
- Répartir un budget,
- Équilibrer des flux,
- Calculer des quantités qui doivent satisfaire plusieurs conditions à la fois.
Tout le reste est un moyen
Les dérivées, les matrices, les déterminants ne sont pas des objectifs. Ce sont les outils qui permettent d’atteindre ces deux résultats. Chaque notion introduite dans ce cours l’est parce qu’elle sert à l’un des deux, jamais pour elle-même.
Le fil conducteur
Prérequis
Une inquiétude à lever tout de suite
Vous n’avez pas besoin d’être un scientifique
Un gestionnaire n’a pas à démontrer des théorèmes. Il a besoin de savoir lire une relation entre deux grandeurs, de savoir quel calcul répond à sa question, et de savoir interpréter le nombre qui en sort.
Ce cours est construit dans cet ordre : d’abord le sens, ensuite la technique, et toujours un exemple de gestion à côté de la formule.
Ce que ce cours suppose acquis
Aucun cours préalable
Le programme du baccalauréat, et rien de plus :
- Manipuler une expression algébrique,
- Résoudre une équation du second degré,
- Lire un graphique.
Les notions mobilisées
- Développer, factoriser, isoler une inconnue.
- Reconnaître une droite, une parabole.
- Savoir ce qu’est un repère.
Repris depuis le début
La fonction, la dérivée et la matrice sont introduites depuis leur définition. Aucune familiarité préalable n’est supposée.
La notion de fonction
Qu’est ce qu’une fonction ?
Fonction
Une fonction f est une règle qui, à chaque valeur d’une grandeur x, associe une seule valeur d’une autre grandeur, notée f(x).
On écrit f : x \mapsto f(x), qui se lit « f envoie x sur f(x) ».
Exemple: Fonction de coût
Le coût de production est une fonction de la quantité produite: C(q) = 0.2q^2 + 8q + 300
La condition « une seule valeur » est la seule vraie exigence : à une même quantité produite doit correspondre un seul coût, sinon la relation n’est pas une fonction.
Le vocabulaire
Les trois termes à retenir
- La variable x : ce qu’on fait varier (la quantité produite, le prix affiché, le nombre de vendeurs).
- L’image f(x) : ce qui en résulte (le coût, la recette, le profit).
- L’ensemble de définition \mathcal{D}_f: les valeurs de x pour lesquelles le calcul de f(x) a un sens.
L’ensemble de définition est une question de gestion, pas de mathématiques
- Pour un coût C(q), on impose q \geq 0 : une quantité négative n’existe pas.
- Pour un coût moyen C(q)/q, on impose q > 0 : on ne divise pas par zéro.
Dans ce cours, l’ensemble de définition est presque toujours dicté par la situation économique.
Trois façons de donner la même fonction
Une fonction, trois représentations
| Forme | Exemple | Ce qu’elle permet |
|---|---|---|
| Formule | C(q) = 300 + 8q + 0{,}2q^2 | calculer, dériver |
| Tableau | q = 10 \Rightarrow C = 400 | lire une valeur précise |
| Graphique | la courbe de C | voir la forme d’ensemble |
Passer de l’une à l’autre est l’essentiel du métier
La formule sert au calcul, le graphique sert à la décision. Un dirigeant ne lit pas une dérivée : il lit une courbe. Savoir traduire l’une dans l’autre est exactement ce qu’on vous demande.
Les fonctions usuelles
Quatre familles de fonctions
Ce que chaque famille modélise
La fonction affine
f(x) = ax + b
- a est la pente : de combien f augmente quand x augmente de 1 ;
- b est l’ordonnée à l’origine : la valeur de f quand x = 0.
Sa représentation est une droite.
En gestion
Le coût total à charges fixes : C(q) = 5000 + 30q. Les 5000 dirhams sont dus même sans produire (loyer, assurance) ; chaque unité produite coûte 30 dirhams de plus.
La recette d’un prix fixe : R(q) = 40q. La pente est le prix de vente.
La fonction quadratique
La fonction quadratique
f(x) = ax^2 + bx + c, avec a \neq 0.
Sa représentation est une parabole : tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Pourquoi elle est partout en gestion
C’est la fonction la plus simple qui possède un sommet : un minimum si elle est tournée vers le haut, un maximum sinon.
Or toute la partie « analyse » de ce cours cherche des maximums et des minimums. La parabole est le cas d’école : le profit qui monte puis redescend, le coût moyen qui baisse puis remonte.
La racine et le logarithme
Deux fonctions qui ralentissent
- La racine : f(x) = a\sqrt{x}, définie pour x \geq 0, croissante mais de plus en plus lentement.
- Le logarithme : f(x) = a\ln(x), défini pour x > 0, même comportement, encore plus lent.
Les rendements décroissants
Doubler le nombre d’ouvriers ne double pas la production : le deuxième atelier gêne le premier, les machines saturent. Une production Q(L) = 20\sqrt{L} traduit exactement cela.
C’est la forme la plus courante des fonctions de production en gestion.
L’exponentielle
La fonction exponentielle
f(x) = a\,\mathrm{e}^{rx} — croissance à taux constant : chaque période, la grandeur est multipliée par le même facteur.
La capitalisation
Un capital K_0 placé au taux continu r vaut K(t) = K_0\,\mathrm{e}^{rt} après t années.
C’est aussi la forme de la croissance d’un chiffre d’affaires à taux constant, ou d’un encours de crédit qui court.
L’exponentielle (suite)
Exponentielle et logarithme sont l’aller et le retour
L’exponentielle transforme une durée en un capital. Le logarithme fait l’inverse : il répond à « combien de temps pour atteindre ce montant ». Chacune défait ce que l’autre fait.
Lire une fonction en gestion
Le triptyque coût, recette, profit
Ce que le graphique dit déjà
Les trois fonctions de base
| Fonction | Définition | Lecture |
|---|---|---|
| Coût | C(q) | ce que produire q unités coûte |
| Recette | R(q) = p \cdot q | ce que vendre q unités rapporte |
| Profit | \Pi(q) = R(q) - C(q) | la différence |
Ce que le graphique dit déjà (suite)
Sans aucun calcul, on voit déjà trois choses
- En dessous d’une certaine quantité, le profit est négatif : les charges fixes ne sont pas couvertes.
- Il existe un seuil de rentabilité, là où la courbe de profit coupe l’axe.
- Le profit monte puis redescend : produire toujours plus n’est pas la bonne réponse.
C’est ce troisième point qui rend l’optimisation nécessaire — et c’est l’objet des quatre chapitres suivants.
Le seuil de rentabilité, à la main
Un calcul complet
Avec R(q) = 40q et C(q) = 300 + 8q + 0{,}2q^2 :
\Pi(q) = 40q - 300 - 8q - 0{,}2q^2 = -0{,}2q^2 + 32q - 300
Le seuil de rentabilité est la solution de \Pi(q) = 0, c’est-à-dire 0{,}2q^2 - 32q + 300 = 0.
Discriminant : \Delta = 32^2 - 4 \times 0{,}2 \times 300 = 1024 - 240 = 784, donc \sqrt{\Delta} = 28.
q = \frac{32 \pm 28}{0{,}4} \quad \Longrightarrow \quad q_1 = 10 \ \text{ et } \ q_2 = 150
Ce que ces deux nombres signifient
Ce que ces deux nombres signifient
En dessous de 10 unités, l’entreprise perd de l’argent : trop peu de volume pour absorber les 300 dirhams de charges fixes. Au-delà de 150 unités, elle en perd de nouveau : les coûts croissent plus vite que la recette.
La zone de profit est un intervalle, pas une demi-droite. C’est une idée que les étudiants n’anticipent presque jamais.
Ce que le graphique ne dit pas
La question qui reste
On voit que le profit passe par un maximum. On voit à peu près où. Mais « à peu près » ne permet pas de décider d’un plan de production.
Il faut un instrument qui donne la valeur exacte de la quantité optimale, et qui fonctionne pour n’importe quelle fonction, pas seulement pour une parabole.
Cet instrument est la dérivée. C’est le chapitre 1.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Quatre points
- Une fonction est une règle qui associe une seule image à chaque valeur de la variable.
- Quatre familles suffisent en gestion : affine, quadratique, racine et logarithme, exponentielle.
- Le triptyque coût, recette, profit se lit graphiquement : seuil de rentabilité, zone de profit, maximum.
- La lecture graphique donne les idées ; elle ne donne pas les nombres. D’où la suite.
Le mot d’ordre
Avant de calculer, dessiner. Une courbe mal comprise donne un calcul juste et une décision fausse.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)