Mathématiques pour la gestion
Les matrices
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 9 : Les matrices
Ne garder que les nombres
L’idée
Ce que l’on recopie inutilement
Dans un système, les lettres x, y, z, les signes + et = reviennent à chaque ligne, toujours à la même place.
Seuls les nombres changent. Autant ne garder qu’eux.
Matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangés en lignes et en colonnes.
Une matrice à m lignes et n colonnes est dite de format m \times n. Le nombre situé à la ligne i et à la colonne j se note a_{ij}.
Du système à la matrice
L’atelier du chapitre 8
\left\{\begin{aligned} 2x + \phantom{3}y + \phantom{2}z &= 110\\ \phantom{2}x + 3y + 2z &= 190\\ \phantom{2}x + \phantom{3}y + 3z &= 170 \end{aligned}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 110\\ 190\\ 170\end{pmatrix}
Trois noms
- A est la matrice des coefficients ;
- b est le second membre ;
- x = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} est le vecteur des inconnues.
Le système s’écrit alors, en une seule ligne : \;A\,x = b.
Le vocabulaire minimal
Les matrices à connaître
| Nom | Description |
|---|---|
| Carrée | autant de lignes que de colonnes |
| Colonne (ou vecteur) | une seule colonne |
| Diagonale | carrée, tous les termes hors diagonale nuls |
| Identité I | diagonale, avec des 1 sur la diagonale |
| Triangulaire supérieure | tous les termes sous la diagonale sont nuls |
| Transposée A^{\mathsf{T}} | lignes et colonnes échangées |
Le vocabulaire minimal (suite)
Deux à retenir en priorité
L’identité joue pour les matrices le rôle du nombre 1 : A\,I = I\,A = A.
La forme triangulaire supérieure est l’objectif du pivot de Gauss : c’est la forme depuis laquelle un système se résout de proche en proche, sans effort.
Les opérations
Addition et multiplication par un nombre
Deux opérations sans difficulté
On additionne deux matrices de même format, terme à terme.
On multiplie une matrice par un nombre en multipliant chaque terme.
Un exemple de gestion
Ventes du premier trimestre et du deuxième, par magasin et par produit :
T_1 = \begin{pmatrix} 120 & 80\\ 90 & 150\end{pmatrix}, \quad T_2 = \begin{pmatrix} 140 & 70\\ 110 & 160\end{pmatrix}, \quad T_1 + T_2 = \begin{pmatrix} 260 & 150\\ 200 & 310\end{pmatrix}
Et une hausse uniforme de 10\% s’écrit 1{,}1 \times T_1.
Le produit de matrices
La règle : ligne par colonne
Le produit AB n’existe que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.
Le terme situé à la ligne i et à la colonne j de AB s’obtient en parcourant simultanément la ligne i de A et la colonne j de B, en multipliant les termes deux à deux et en additionnant :
(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}\, b_{kj}
Le contrôle de format, à faire systématiquement
(m \times n) \times (n \times p) = (m \times p)
Les deux n du milieu doivent coïncider ; ils disparaissent. Ce qui reste donne le format du résultat.
Faire ce contrôle avant tout calcul évite la moitié des erreurs.
Le produit, en pratique
Un calcul de coût, entièrement détaillé
Quantités produites par atelier (lignes) et par article (colonnes) : Q = \begin{pmatrix} 10 & 20\\ 30 & 40\end{pmatrix}
Coût unitaire de chaque article, en matières et en main-d’œuvre : P = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
QP = \begin{pmatrix} 10\times 5 + 20\times 3 & 10\times 2 + 20\times 4\\ 30\times 5 + 40\times 3 & 30\times 2 + 40\times 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 110 & 100\\ 270 & 220\end{pmatrix}
Le produit, en pratique (suite)
Lecture du résultat
La première ligne concerne l’atelier 1 : il consomme 110 dirhams de matières et 100 dirhams de main-d’œuvre.
Un seul produit matriciel remplace quatre calculs séparés. C’est exactement ce que fait un tableur avec la fonction de produit matriciel — et pourquoi la comptabilité de gestion l’emploie.
Deux pièges du produit
Le produit n’est pas commutatif
En général, AB \neq BA. L’ordre des facteurs a un sens et ne peut pas être modifié.
Vérification
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{mais} \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}
Deux pièges du produit (suite)
Un produit nul sans facteur nul
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
Avec des nombres, un produit nul impose qu’un facteur soit nul. Pas avec des matrices. C’est la raison profonde pour laquelle on ne peut pas « diviser » par une matrice quelconque — d’où la notion d’inverse, au chapitre 11.
L’écriture matricielle
Vérifier que l’écriture est correcte
Le produit A x
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y + z\\ x + 3y + 2z\\ x + y + 3z\end{pmatrix}
Écrire Ax = b redonne bien, ligne à ligne, les trois équations de départ.
Ce que cette écriture apporte
Le système ressemble maintenant à une équation du premier degré a\,x = b, dont la solution serait x = b/a.
Toute la fin du cours consiste à donner un sens à cette division — c’est-à-dire à construire A^{-1} tel que x = A^{-1} b.
La matrice augmentée
Matrice augmentée
On accole le second membre à droite de la matrice des coefficients :
[A \mid b] = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 110\\ 1 & 3 & 2 & 190\\ 1 & 1 & 3 & 170 \end{array}\right)
C’est l’objet sur lequel travaille le chapitre 10
Tout le système tient dans ce tableau de douze nombres. Résoudre reviendra à le transformer, ligne par ligne, jusqu’à ce que la solution se lise directement.
Le trait vertical n’a aucune valeur mathématique : il rappelle simplement où finissent les coefficients et où commence le second membre.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Une matrice est un tableau de nombres ; un système s’écrit A x = b.
- Addition et multiplication par un nombre se font terme à terme.
- Le produit se fait ligne par colonne, et n’existe que si les formats s’accordent : (m \times n)(n \times p) = (m \times p).
- Le produit n’est pas commutatif, et un produit peut être nul sans qu’aucun facteur le soit.
- La matrice augmentée [A \mid b] contient tout le système.
La suite
L’écriture est en place. Le chapitre 10 donne la méthode : transformer la matrice augmentée jusqu’à une forme triangulaire, puis remonter.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)