Mathématiques pour la gestion
Les systèmes d’équations linéaires
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 8 : Les systèmes d’équations linéaires
Pourquoi cette partie
Une dette contractée deux fois
Le besoin est déjà apparu
Au chapitre 6, trouver un point critique exigeait de résoudre \left\{\begin{aligned} 2x + y &= 40\\ x + 2y &= 60 \end{aligned}\right.
Au chapitre 7, la méthode de Lagrange conduisait au même type de système.
Avec deux inconnues, la substitution suffit. Avec quatre ou cinq, elle devient impraticable. Cette partie construit la méthode générale.
L’objectif de la partie III
Savoir résoudre, de manière systématique et sûre, un système de n équations à n inconnues — et savoir reconnaître les cas où il n’a pas de solution unique.
La définition
Équation linéaire
Une équation est linéaire si les inconnues n’y apparaissent qu’à la puissance 1, sans être multipliées entre elles, ni placées sous une racine, un logarithme ou un exposant.
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = b
La définition (suite)
Linéaire ou non
| Équation | Linéaire ? |
|---|---|
| 3x + 5y = 20 | oui |
| x^2 + y = 4 | non, à cause de x^2 |
| xy = 12 | non, produit d’inconnues |
| 2x + 3y - z = 0 | oui |
| \sqrt{x} + y = 7 | non |
Mettre en équations
Un problème de production
L’énoncé
Un atelier fabrique trois articles A, B et C. Chacun passe par trois postes, dont les capacités hebdomadaires sont saturées.
| Poste | A | B | C | Heures disponibles |
|---|---|---|---|---|
| Découpe | 2 | 1 | 1 | 110 |
| Assemblage | 1 | 3 | 2 | 190 |
| Finition | 1 | 1 | 3 | 170 |
Combien produire de chaque article pour utiliser exactement toute la capacité ?
Un problème de production (suite)
Le système
En notant x, y et z les quantités des trois articles :
\left\{\begin{aligned} 2x + \phantom{3}y + \phantom{2}z &= 110\\ \phantom{2}x + 3y + 2z &= 190\\ \phantom{2}x + \phantom{3}y + 3z &= 170 \end{aligned}\right.
Ce que la mise en équation demande
Trois réflexes
- Une inconnue par décision, jamais par donnée. Ici, les quantités produites.
- Une équation par contrainte, jamais par ligne du tableau lue au hasard. Ici, une par poste.
- Vérifier l’homogénéité : chaque terme d’une équation doit s’exprimer dans la même unité — ici des heures.
Le contrôle d’unités
Ligne 1 : 2 heures par unité de A, multiplié par x unités, donne des heures. Idem pour y et z. Le membre de droite, 110, est en heures.
Ce contrôle élémentaire détecte l’essentiel des erreurs de mise en équation, avant même de commencer à calculer.
D’autres situations de gestion
Le même outil, quatre usages
| Situation | Inconnues | Équations |
|---|---|---|
| Plan de production | quantités par article | capacités des postes |
| Mélange, incorporation | proportions des composants | teneurs à respecter |
| Répartition d’un budget | montants par poste | total, ratios imposés |
| Répartition de charges indirectes | charges par section | prestations réciproques |
Ce dernier cas — les prestations croisées entre sections en comptabilité analytique — est le problème pour lequel un comptable de gestion a besoin de savoir résoudre un système.
Les trois cas possibles
Ce qu’un système peut donner
La lecture géométrique
Trois issues, et trois seulement
Un système linéaire admet :
- une solution unique — les droites se coupent en un point ;
- aucune solution — les droites sont parallèles distinctes ; le système est dit incompatible ;
- une infinité de solutions — les droites sont confondues ; le système est indéterminé.
Il n’y a pas de quatrième cas
Deux droites ne peuvent pas se couper en exactement deux points. Cette propriété, évidente sur un dessin, reste vraie avec dix inconnues, où l’on ne peut plus rien dessiner.
C’est une des raisons pour lesquelles on préfère les modèles linéaires : leur comportement est entièrement prévisible.
Les trois cas, sur des exemples
Une solution unique
\left\{\begin{aligned} x + y &= 4\\ x - y &= 2 \end{aligned}\right.
En additionnant : 2x = 6, donc x = 3 et y = 1. Solution unique (3 ; 1).
Aucune solution
\left\{\begin{aligned} x + y &= 4\\ 2x + 2y &= 10 \end{aligned}\right.
La seconde équation dit x + y = 5. Or la première dit x + y = 4. Contradiction : aucun couple ne peut vérifier les deux.
Les trois cas, sur des exemples (suite)
Une infinité de solutions
\left\{\begin{aligned} x + y &= 4\\ 2x + 2y &= 8 \end{aligned}\right.
La seconde équation est le double de la première : elle n’apporte aucune information nouvelle. Tous les couples (x ; 4-x) conviennent.
Ce que chaque cas signifie en gestion
L’interprétation professionnelle
| Cas | Signification |
|---|---|
| Solution unique | le plan est déterminé : une seule façon de saturer les capacités |
| Aucune solution | les contraintes sont incompatibles entre elles ; il faut en relâcher une |
| Infinité de solutions | une contrainte est redondante ; il reste une marge de manœuvre |
Ce que chaque cas signifie en gestion (suite)
Aucun de ces cas n’est un échec
Un système sans solution n’est pas une erreur de calcul : c’est une information. Il vous dit que le cahier des charges est contradictoire, et il faut retourner voir le donneur d’ordre.
Un système indéterminé signale une liberté résiduelle : parmi toutes les solutions, on pourra choisir la moins coûteuse. C’est le point de départ de la programmation linéaire.
Les méthodes élémentaires
Substitution et combinaison
Deux techniques scolaires
- Substitution : tirer une inconnue d’une équation, la reporter dans les autres.
- Combinaison linéaire : additionner ou soustraire des multiples d’équations pour éliminer une inconnue.
Le système du chapitre 6, par combinaison
\left\{\begin{aligned} 2x + \phantom{2}y &= 40 \quad (L_1)\\ \phantom{2}x + 2y &= 60 \quad (L_2)\end{aligned}\right.
Calculons L_1 - 2L_2 : (2x - 2x) + (y - 4y) = 40 - 120 \ \Longrightarrow \ -3y = -80 \ \Longrightarrow \ y = \frac{80}{3}
Puis 2x = 40 - \dfrac{80}{3} = \dfrac{40}{3}, donc x = \dfrac{20}{3}. On retrouve bien l’optimum du chapitre 6.
Pourquoi il faut aller plus loin
Le problème d’échelle
Sur le système à trois inconnues de l’atelier, la substitution reste possible — mais elle produit des expressions de plus en plus lourdes, et chaque report est une occasion d’erreur.
Avec cinq inconnues, personne n’aboutit de manière fiable. Et surtout : on ne sait jamais par où commencer.
Ce qu’il nous faut
Une méthode qui soit :
- systématique — la même suite d’opérations, quel que soit le système ;
- sûre — chaque étape se vérifie ;
- conclusive — elle détecte d’elle-même les cas sans solution ou à solutions multiples.
Cette méthode existe : c’est le pivot de Gauss, chapitre 10. Elle a besoin d’une écriture adaptée, que le chapitre 9 met en place.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Quatre points
- Une équation est linéaire si les inconnues y sont à la puissance 1 et non multipliées entre elles.
- La mise en équation obéit à trois règles : une inconnue par décision, une équation par contrainte, contrôle des unités.
- Un système linéaire a une solution, aucune, ou une infinité — jamais autre chose.
- Chacun de ces trois cas a une signification de gestion : plan déterminé, contraintes contradictoires, contrainte redondante.
La suite
Écrire trois fois « x », « y », « z » et le signe « = » à chaque ligne est une perte de temps : seuls les nombres comptent.
Le chapitre 9 introduit l’objet qui ne garde que les nombres : la matrice.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)