Mathématiques pour la gestion
Calculer une dérivée
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 2 : Calculer une dérivée
Le principe
Un chapitre purement technique, et c’est voulu
Ce qu’on va faire
Le chapitre 1 a donné le sens de la dérivée. Celui-ci donne la mécanique.
Il tient en deux listes : huit dérivées de référence, quatre règles de combinaison. Toute fonction de ce cours se dérive en assemblant ces douze éléments.
Pourquoi ne pas s’en dispenser
Un gestionnaire dispose d’un tableur et d’un logiciel. Mais un logiciel ne vous dit pas quelle dérivée demander, ni si le résultat est plausible.
Savoir dériver à la main un coût, une recette, une fonction de production prend cinq minutes à apprendre et évite des erreurs de raisonnement bien plus coûteuses.
Les dérivées de référence
Le tableau à connaître
Huit formules
| f(x) | f'(x) | Condition |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | |
| x | 1 | |
| x^n | n\,x^{n-1} | n entier ou réel |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | x > 0 |
| \dfrac{1}{x} | -\dfrac{1}{x^2} | x \neq 0 |
| \ln x | \dfrac{1}{x} | x > 0 |
| \mathrm{e}^x | \mathrm{e}^x | |
| a^x | a^x \ln a | a > 0 |
Trois remarques sur ce tableau
La ligne la plus rentable
x^n \mapsto n\,x^{n-1} couvre à elle seule presque tout le cours.
Elle vaut pour tout exposant : \sqrt{x} = x^{1/2} donne \tfrac12 x^{-1/2}, et 1/x = x^{-1} donne -x^{-2}. Les lignes 4 et 5 du tableau ne sont donc que des cas particuliers de la ligne 3.
Retenez la règle de la puissance ; le reste suit.
La règle en trois mots
On descend l’exposant devant, et on retire un à l’exposant.
Trois remarques sur ce tableau (suite)
Quatre applications immédiates
x^3 \to 3x^2 ; x^{10} \to 10x^9 ; x^{1/2} \to \tfrac12 x^{-1/2} ; x^{-1} \to -x^{-2}.
L’exponentielle, un cas à part
La seule fonction égale à sa dérivée
(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x. La fonction et sa vitesse de croissance sont le même objet.
C’est précisément ce qui définit une croissance à taux constant : plus la grandeur est grande, plus elle croît vite, exactement dans la même proportion. D’où sa place naturelle en finance.
Les quatre règles
Somme et multiplication par un nombre
Les deux règles faciles
(u + v)' = u' + v' \qquad\qquad (k\,u)' = k\,u'
Le coût total du fil conducteur
C(q) = 300 + 8q + 0{,}2q^2
On dérive terme à terme : 300 \to 0, 8q \to 8, 0{,}2q^2 \to 0{,}2 \times 2q = 0{,}4q.
\boxed{C'(q) = 8 + 0{,}4q}
Somme et multiplication par un nombre (suite)
Lecture
Les charges fixes disparaissent à la dérivation : elles n’influencent pas la décision marginale. Ce résultat, obtenu en une ligne de calcul, est un principe de gestion à part entière : les coûts déjà engagés ne doivent pas entrer dans le choix de la quantité à produire.
Le produit
Règle du produit
(u\,v)' = u'\,v + u\,v'
Pourquoi ce n’est pas u' v'
Un rectangle de côtés u et v a pour aire uv. Si les deux côtés s’allongent un peu, l’aire gagne deux bandes : une de hauteur v due à l’allongement de u, une de largeur u due à l’allongement de v.
D’où la somme des deux termes. L’erreur classique consiste à n’en compter qu’un.
Le produit (suite)
Une recette à prix variable
Si le prix baisse quand on vend plus : p(q) = 50 - 0{,}1q, alors R(q) = q\,p(q).
R'(q) = 1 \times (50 - 0{,}1q) + q \times (-0{,}1) = 50 - 0{,}2q
La recette marginale décroît deux fois plus vite que le prix. Vendre une unité de plus oblige à baisser le prix sur toutes les autres.
Le quotient
Règle du quotient
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}
Deux repères pour ne pas se tromper
Le numérateur ressemble à la règle du produit, mais avec un moins — et l’ordre compte : c’est toujours u'v d’abord.
Le dénominateur est v^2, jamais v.
Le quotient (suite)
Le coût moyen
CM(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{300 + 8q + 0{,}2q^2}{q}
Deux voies, un seul résultat.
Voie 1, la règle du quotient avec u = 300 + 8q + 0{,}2q^2 et v = q :
CM'(q) = \frac{(8 + 0{,}4q)\,q - (300 + 8q + 0{,}2q^2)}{q^2} = \frac{0{,}2q^2 - 300}{q^2}
Le quotient (fin)
Le coût moyen, seconde voie
En simplifiant d’abord : CM(q) = 300q^{-1} + 8 + 0{,}2q, donc
CM'(q) = -300q^{-2} + 0{,}2 = 0{,}2 - \frac{300}{q^2}
La leçon de méthode
Les deux expressions sont identiques. La seconde est obtenue en trois fois moins de temps.
Simplifiez toujours l’écriture avant de dériver. La règle du quotient est un dernier recours, pas un réflexe.
La composée
Règle de la chaîne
Si f(x) = u\big(v(x)\big), alors
f'(x) = u'\big(v(x)\big) \times v'(x)
Deux engrenages
Une fonction composée est un empilement : on calcule d’abord v, puis on lui applique u.
Si v va deux fois plus vite et u trois fois plus vite, l’ensemble va six fois plus vite. Les vitesses se multiplient. D’où le produit dans la formule.
La composée (suite)
Les trois cas utiles en gestion
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| \mathrm{e}^{u(x)} | u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)} |
| \ln\big(u(x)\big) | \dfrac{u'(x)}{u(x)} |
| \big(u(x)\big)^n | n\,u'(x)\,\big(u(x)\big)^{n-1} |
La chaîne, en pratique
Trois dérivées
K(t) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}05t} : ici u(t) = 0{,}05t, donc u'(t) = 0{,}05 et K'(t) = 1000 \times 0{,}05 \times \mathrm{e}^{0{,}05t} = 50\,\mathrm{e}^{0{,}05t}
f(x) = \ln(3x + 2) : f'(x) = \frac{3}{3x+2}
f(x) = (2x - 5)^4 : f'(x) = 4 \times 2 \times (2x-5)^3 = 8(2x-5)^3
Ce que dit le premier
K'(t) = 0{,}05 \times K(t) : les intérêts produits à chaque instant sont proportionnels au capital.
C’est la définition même de la capitalisation continue — et on la retrouve par simple dérivation.
S’organiser
La méthode en trois temps
Avant de dériver, toujours
- Simplifier l’écriture : développer, réduire, transformer les racines et les quotients en puissances.
- Reconnaître la structure : somme ? produit ? quotient ? composée ?
- Appliquer la règle correspondante, terme par terme.
Les trois erreurs qui reviennent chaque année
- Dériver un produit comme u'v' au lieu de u'v + uv'.
- Oublier le facteur v' dans une composée : \big(\mathrm{e}^{3x}\big)' = 3\mathrm{e}^{3x}, pas \mathrm{e}^{3x}.
- Écrire v au lieu de v^2 au dénominateur du quotient.
Un exercice complet
Dériver le profit avec prix variable
\Pi(q) = \underbrace{q(50 - 0{,}1q)}_{\text{recette}} - \underbrace{(300 + 8q + 0{,}2q^2)}_{\text{coût}}
Étape 1 — simplifier : \Pi(q) = 50q - 0{,}1q^2 - 300 - 8q - 0{,}2q^2 = -0{,}3q^2 + 42q - 300
Étape 2 — reconnaître : une somme de trois termes simples. Aucune règle compliquée n’est nécessaire.
Étape 3 — dériver : \Pi'(q) = -0{,}6q + 42
Ce que le résultat annonce
\Pi'(q) = 0 donne q = 70. C’est la quantité qui maximise le profit — mais il reste à justifier que c’est bien un maximum.
Ce sera l’objet du chapitre 3.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Quatre points
- La règle de la puissance x^n \to n x^{n-1} couvre presque tout.
- Quatre règles : somme, produit, quotient, composée.
- Simplifier avant de dériver fait gagner plus de temps que toutes les astuces réunies.
- Une constante additive disparaît : les charges fixes n’entrent pas dans le calcul marginal.
La suite
Vous savez maintenant produire la fonction f'. Le chapitre 3 montre ce qu’on en fait : lire les variations et localiser les extremums.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)