Mathématiques pour la gestion
La dérivée, ou la notion de marginal
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 1 : La dérivée, ou la notion de marginal
La question de la dérivée
Une question de gestionnaire, pas de mathématicien
La question
Votre entreprise produit 50 unités. On vous demande : « si on en produit une de plus, de combien le coût augmente-t-il ? »
Ce n’est pas le coût total qui vous intéresse. C’est ce que coûte la prochaine unité. Aucun gestionnaire ne décide sur le total ; tous décident sur le supplément.
Le mot que les économistes emploient
Ce supplément s’appelle le coût marginal. De la même manière, la recette marginale est ce que rapporte l’unité suivante, et la productivité marginale ce qu’apporte l’ouvrier suivant.
« Marginal » veut dire : à la marge, pour une unité de plus. La dérivée est l’outil mathématique qui calcule exactement cela.
Le raisonnement en une phrase
L’idée à retenir avant toute formule
La dérivée mesure la vitesse à laquelle une fonction change.
Elle répond à : quand x augmente d’un tout petit peu, de combien f(x) change-t-il ?
Du taux à la dérivée
Première étape : le taux d’accroissement
Taux d’accroissement
Entre a et a+h, le taux d’accroissement de f vaut
\tau = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
C’est la variation de f divisée par la variation de x.
C’est la pente de la corde
Numérateur : de combien on monte. Dénominateur : de combien on avance. Le rapport est une pente.
Géométriquement, c’est la pente de la droite qui joint les deux points de la courbe : la corde.
Deuxième étape : faire tendre h vers zéro
La définition
Nombre dérivé
Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d’accroissement quand h devient infiniment petit :
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
C’est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
Pourquoi passer à la limite
Le taux d’accroissement dépend de h : entre 50 et 60 unités on ne trouve pas la même chose qu’entre 50 et 51. Ce n’est pas une propriété du point a, c’est une propriété d’un intervalle.
En faisant tendre h vers zéro, on obtient un nombre qui ne dépend plus que de a : la pente au point a. C’est ce nombre qu’on appelle la dérivée.
Un calcul de dérivée, fait entièrement
La dérivée de f(x) = x^2 en a = 3
\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h
Quand h tend vers 0, ce taux tend vers 6. Donc f'(3) = 6.
Ce qu’il faut voir dans ce calcul
On simplifie par h avant de le faire tendre vers zéro. C’est tout le mécanisme : le h du dénominateur disparaît, et ce qui reste a un sens en h = 0.
Vous ne referez presque jamais ce calcul : le chapitre 2 donne les formules toutes faites. Mais il faut l’avoir vu une fois pour savoir d’où elles viennent.
La fonction dérivée
Fonction dérivée
En faisant ce calcul non pas en un point mais en tout point, on obtient une nouvelle fonction, notée f', qui à chaque x associe la pente de la tangente en x.
Pour f(x) = x^2, on trouve f'(x) = 2x — et l’on retrouve bien f'(3) = 6.
Deux objets à ne pas confondre
- f'(a) est un nombre : la pente en un point précis.
- f' est une fonction : la pente en tout point.
Toute la suite du cours travaille sur la fonction f', parce que c’est elle qui permet de chercher les points où la pente s’annule.
Lire le signe et la valeur
Ce que le signe de la dérivée raconte
Signe de la dérivée et sens de variation
| Si… | alors la tangente… | et f… |
|---|---|---|
| f'(x) > 0 | monte | croît |
| f'(x) < 0 | descend | décroît |
| f'(x) = 0 | est horizontale | marque un palier |
Ce que le signe de la dérivée raconte (suite)
Lecture immédiate en gestion
Un profit dont la dérivée est positive : produire une unité de plus augmente le profit. Il faut continuer.
Un profit dont la dérivée est négative : l’unité suivante coûte plus qu’elle ne rapporte. Il fallait s’arrêter avant.
Entre les deux, la dérivée s’annule : c’est là qu’est l’optimum. Tout le chapitre 4 tient dans cette phrase.
Ce que la valeur de la dérivée raconte
Un coût marginal, chiffré
Avec C(q) = 300 + 8q + 0{,}2q^2, on obtient (chapitre 2) C'(q) = 8 + 0{,}4q.
- C'(20) = 16 : à 20 unités, la 21^{\text{e}} coûte environ 16 dirhams.
- C'(100) = 48 : à 100 unités, la 101^{\text{e}} en coûte 48.
La décision qui en découle
Si le prix de vente est de 40 dirhams, produire la 21^{\text{e}} unité est rentable (16 < 40), produire la 101^{\text{e}} ne l’est pas (48 > 40).
Le coût marginal croît : c’est la traduction chiffrée de la saturation de l’appareil productif. C’est aussi pourquoi il existe une quantité optimale finie.
Une approximation très utile
L’approximation par la tangente
Pour une petite variation \Delta x :
f(a + \Delta x) \; \approx \; f(a) + f'(a)\,\Delta x
En pratique
C(50) = 300 + 400 + 500 = 1200 et C'(50) = 28.
Estimation de C(52) : 1200 + 28 \times 2 = 1256. Valeur exacte : 300 + 416 + 540{,}8 = 1256{,}8.
Erreur : moins de un dirham sur mille deux cent cinquante.
Une approximation très utile (suite)
Pourquoi cette formule est celle que vous utiliserez le plus
Elle dit : sur un petit intervalle, on peut remplacer la courbe par sa tangente. C’est ce que fait tout budget prévisionnel, toute étude de sensibilité, tout raisonnement « toutes choses égales par ailleurs ».
Elle cesse d’être fiable dès que \Delta x devient grand : la courbe s’écarte alors de sa tangente.
Les limites de l’outil
Quand une fonction n’est pas dérivable
Les deux cas à connaître
- La courbe présente un angle : les pentes à gauche et à droite diffèrent, il n’y a pas de tangente unique.
- La courbe présente un saut : la fonction n’est même pas continue.
Ce n’est pas un cas d’école
Un barème d’imposition par tranches présente des angles. Une grille tarifaire par paliers présente des sauts : le 101^{\text{e}} article passe le client dans une remise différente.
En gestion, ces fonctions existent. On les traite alors par morceaux : on dérive sur chaque intervalle où la règle ne change pas.
Dériver deux fois
Dérivée seconde
La dérivée de f' s’appelle la dérivée seconde, notée f''.
Si f' mesure la vitesse de f, alors f'' mesure la vitesse de f' : c’est l’accélération.
Un exemple qu’on lit tous les jours
« Le chiffre d’affaires continue de croître, mais moins vite qu’au trimestre précédent. »
En termes de dérivées : f' > 0 (il croît) et f'' < 0 (il ralentit). Deux informations distinctes, que seule la dérivée seconde permet de séparer.
Dériver deux fois (suite)
À quoi elle servira
La dérivée seconde décidera, au chapitre 3, si un point où f' s’annule est un maximum ou un minimum. C’est sa fonction principale dans ce cours.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- La dérivée est la limite du taux d’accroissement : f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
- Géométriquement, c’est la pente de la tangente.
- En gestion, c’est la notion marginale : coût marginal, recette marginale, productivité marginale.
- Son signe donne le sens de variation ; sa valeur donne l’effet d’une unité de plus.
- La dérivée seconde mesure l’accélération, et servira à trancher entre maximum et minimum.
La suite
Personne ne calcule une dérivée par la limite. Le chapitre 2 donne les huit formules et les quatre règles qui permettent de dériver toutes les fonctions de ce cours en quelques secondes.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)