Mathématiques pour la gestion
Optimiser sous contrainte
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 7 : Optimiser sous contrainte
Le problème
Personne n’optimise librement
Trois situations, une même structure
- Maximiser la production avec un budget de 24\,000 dirhams à répartir entre travail et capital.
- Maximiser la satisfaction d’un client avec un revenu donné.
- Minimiser le coût de production en devant livrer une quantité contractuelle.
Dans chaque cas : une fonction à optimiser, et une équation que la solution doit obligatoirement vérifier.
Le problème sous contrainte
\text{optimiser } f(x,y) \qquad \text{sous la contrainte } \qquad g(x,y) = c
f est la fonction objectif, g(x,y) = c est la contrainte.
Une première méthode, souvent suffisante
La substitution
Si la contrainte permet d’exprimer y en fonction de x, on remplace y dans f : le problème devient une optimisation à une seule variable, traitée comme au chapitre 3.
Un exemple
Maximiser f(x,y) = xy sous 2x + 3y = 24.
De la contrainte : y = \dfrac{24 - 2x}{3}. Donc f(x) = x \cdot \frac{24-2x}{3} = \frac{24x - 2x^2}{3}
f'(x) = \frac{24 - 4x}{3} = 0 \ \Longrightarrow \ x = 6, \quad \text{puis } y = \frac{24-12}{3} = 4
f'' = -\dfrac43 < 0 : c’est bien un maximum. Valeur : f(6,4) = 24.
Une première méthode, souvent suffisante (suite)
Pourquoi ne pas s’en contenter
La substitution est excellente ici, et vous devez toujours l’essayer en premier.
Mais elle échoue dès que la contrainte ne se résout pas simplement — x^2 + y^2 = 100, ou une Cobb-Douglas à exposants quelconques — et elle ne se généralise pas à plusieurs contraintes.
Il faut donc une méthode qui n’exige jamais d’isoler une variable.
La méthode de Lagrange
L’idée géométrique
Ce que la figure établit
Le raisonnement, pas à pas
On se déplace le long de la contrainte, en cherchant à atteindre la courbe de niveau la plus élevée.
Tant que la droite traverse une courbe de niveau, on peut faire mieux : il suffit de glisser dans le bon sens.
On ne peut plus progresser au moment précis où la droite ne traverse plus : elle effleure. C’est le point de tangence.
La condition de tangence
À l’optimum contraint, la courbe de niveau de f et la contrainte sont tangentes : elles ont la même pente.
C’est exactement ce que la méthode de Lagrange traduit en équations.
Le lagrangien
Le lagrangien
On introduit une variable auxiliaire \lambda et l’on forme
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda\,\big(c - g(x,y)\big)
Les conditions du premier ordre
\left\{\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} &= f'_x - \lambda\, g'_x = 0\\[2pt] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &= f'_y - \lambda\, g'_y = 0\\[2pt] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &= c - g(x,y) = 0 \end{aligned}\right.
Le lagrangien (suite)
Ce que fait cette construction
Elle transforme un problème contraint à deux variables en un problème libre à trois variables — que l’on sait résoudre par la méthode du chapitre 6.
Et remarquez la troisième équation : dériver par rapport à \lambda redonne la contrainte. Elle ne peut donc pas être oubliée : le mécanisme la réintroduit de lui-même.
La méthode appliquée
Le même exemple, par Lagrange
Maximiser f(x,y) = xy sous 2x + 3y = 24.
\mathcal{L} = xy + \lambda(24 - 2x - 3y)
\left\{\begin{aligned} y - 2\lambda &= 0 &&\Longrightarrow\ y = 2\lambda\\ x - 3\lambda &= 0 &&\Longrightarrow\ x = 3\lambda\\ 2x + 3y &= 24 \end{aligned}\right.
En reportant : 2(3\lambda) + 3(2\lambda) = 24, soit 12\lambda = 24 et \lambda = 2.
D’où x = 6, y = 4, et f(6,4) = 24 — le résultat de la substitution, retrouvé.
La méthode appliquée (suite)
La technique de résolution qui marche presque toujours
Tirer \lambda des deux premières équations et les égaler : \frac{f'_x}{g'_x} = \frac{f'_y}{g'_y} \qquad \text{ici} \qquad \frac{y}{2} = \frac{x}{3}
On obtient une relation entre x et y, que l’on combine avec la contrainte. Deux équations, deux inconnues, et \lambda a disparu.
L’interprétation de lambda
Le multiplicateur n’est pas un artifice
Le sens économique de lambda
\lambda mesure de combien l’optimum augmenterait si la contrainte était relâchée d’une unité :
\lambda \approx \frac{\text{variation de } f^\star}{\text{variation de } c}
Vérification
Avec \lambda = 2 : porter le budget de 24 à 25 devrait faire passer l’optimum de 24 à environ 26.
Refaisons le calcul avec c = 25 : \dfrac{y}{2} = \dfrac{x}{3} donne toujours 3y = 2x, et la contrainte 2x + 3y = 25 devient 4x = 25, soit x = 6{,}25 et y = 25/6 \approx 4{,}17.
f = 6{,}25 \times 4{,}17 \approx 26{,}04. L’écart annoncé était de 2 ; l’écart réel est de 2{,}04.
Le multiplicateur n’est pas un artifice (suite)
Pourquoi ce nombre vaut de l’argent
\lambda est le prix implicite de la ressource contrainte, ce que les gestionnaires appellent le prix fictif ou shadow price.
Si un dirham de budget supplémentaire rapporte \lambda = 2 unités de production valant 3 dirhams pièce, il faut emprunter tant que le taux d’intérêt reste inférieur à 6 dirhams par dirham emprunté.
\lambda répond donc à la question : jusqu’à quel prix suis-je prêt à desserrer ma contrainte ? C’est souvent l’information la plus utile de tout le calcul.
Un problème de gestion complet
Répartir un budget entre travail et capital
L’énoncé
Production Q(L,K) = 10\,L^{0{,}5}K^{0{,}5}. Salaire w = 20 par unité de travail, coût du capital r = 40 par unité. Budget : B = 2000.
Contrainte : 20L + 40K = 2000, soit L + 2K = 100.
Le lagrangien et les conditions
\mathcal{L} = 10L^{0{,}5}K^{0{,}5} + \lambda(2000 - 20L - 40K)
\left\{\begin{aligned} 5L^{-0{,}5}K^{0{,}5} - 20\lambda &= 0\\ 5L^{0{,}5}K^{-0{,}5} - 40\lambda &= 0\\ 20L + 40K &= 2000 \end{aligned}\right.
La résolution
En divisant la première équation par la seconde
\frac{5L^{-0{,}5}K^{0{,}5}}{5L^{0{,}5}K^{-0{,}5}} = \frac{20\lambda}{40\lambda} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{K}{L} = \frac{1}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad L = 2K
En reportant dans la contrainte : 20(2K) + 40K = 2000, donc 80K = 2000 et K = 25, \qquad L = 50
Production obtenue : Q = 10\sqrt{50}\sqrt{25} = 10 \times 7{,}071 \times 5 \approx 353{,}6 unités.
La résolution (suite)
La règle d’or de l’allocation des ressources
La division des deux premières équations donne, dans le cas général,
\frac{Q'_L}{w} = \frac{Q'_K}{r}
Le dernier dirham dépensé doit rapporter autant, quel que soit le facteur sur lequel on le dépense.
S’il rapportait davantage en capital qu’en travail, il faudrait déplacer un dirham — donc on n’était pas à l’optimum. C’est le principe d’égalisation des productivités marginales pondérées par les prix, et il gouverne toute allocation de budget entre postes.
La valeur du multiplicateur
Le calcul de lambda
De la première équation : \lambda = \dfrac{5L^{-0{,}5}K^{0{,}5}}{20} = \dfrac{5 \times 5 / 7{,}071}{20} \approx 0{,}177.
La décision
Un dirham de budget supplémentaire apporterait environ 0{,}177 unité de production.
Si le prix de vente unitaire est de 12 dirhams, ce dirham rapporte 2{,}12 dirhams. L’entreprise a un intérêt évident à desserrer son budget — et elle sait désormais de combien.
Les limites de la méthode
Ce que ce cours ne traite pas
Trois restrictions assumées
- Une seule contrainte. Avec plusieurs, on introduit un \lambda par contrainte ; le principe est identique, les calculs plus lourds.
- Une contrainte d’égalité. Les contraintes d’inégalité (20L + 40K \leq 2000) relèvent des conditions de Kuhn et Tucker, hors programme.
- La condition du second ordre sous contrainte, qui exige un déterminant particulier, n’est pas exigée ici.
Comment conclure sans le second ordre
Sur les problèmes de ce cours, la nature de l’optimum se justifie par le contexte : maximiser une production concave sous un budget donne un maximum, minimiser un coût convexe donne un minimum.
Le bon sens économique remplace ici un calcul lourd — mais il faut savoir que ce calcul existe.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Essayer d’abord la substitution ; elle suffit souvent.
- Sinon, former le lagrangien \mathcal{L} = f + \lambda(c - g) et annuler ses trois dérivées partielles.
- La dérivée par rapport à \lambda redonne la contrainte.
- À l’optimum, courbe de niveau et contrainte sont tangentes ; en pratique, on égalise les deux expressions de \lambda.
- \lambda est le prix implicite de la contrainte : ce que vaut une unité de ressource supplémentaire.
La suite
Deux fois déjà, la solution est passée par la résolution d’un système d’équations : au chapitre 6 pour les points critiques, ici pour combiner tangence et contrainte.
Avec trois inconnues ou plus, la substitution ne tient plus. La partie III construit l’outil qui traite ces systèmes de façon systématique.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)