Mathématiques pour la gestion
Déterminant, inverse et formules de Cramer
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 11 : Déterminant, inverse et formules de Cramer
Le déterminant
Un nombre qui décide
La question à laquelle il répond
Avant même de résoudre, on aimerait savoir si le système Ax = b a une solution unique.
Le déterminant de A est un nombre qui répond à cette question à lui seul : s’il est différent de zéro, la solution est unique ; s’il est nul, elle ne l’est pas.
Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2
\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc
Un nombre qui décide (suite)
Un premier calcul
\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2\times 3 - 1 \times 1 = 5
L’ordre 3 : la règle de Sarrus
La règle de Sarrus
On recopie les deux premières colonnes à droite du tableau, puis on additionne les trois produits des diagonales descendantes et l’on retranche les trois produits des diagonales montantes :
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}
Le déterminant de l’atelier
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}
Descendantes : 2\cdot3\cdot3 = 18, \;1\cdot2\cdot1 = 2, \;1\cdot1\cdot1 = 1. Somme : 21.
Montantes : 1\cdot3\cdot1 = 3, \;2\cdot2\cdot1 = 4, \;1\cdot1\cdot3 = 3. Somme : 10.
\det A = 21 - 10 = 11
L’ordre 3 : la règle de Sarrus (suite)
Une mise en garde
La règle de Sarrus ne vaut que pour les matrices d’ordre 3. Elle est fausse à l’ordre 4, où il faut développer selon une ligne ou une colonne.
Dans ce cours, on s’arrête à l’ordre 3.
Ce que le déterminant signifie
Le critère
\det A \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \text{le système } Ax = b \text{ admet une solution unique}
On dit alors que A est inversible, ou régulière.
Pourquoi un déterminant nul est un signal
Un déterminant nul signifie qu’une équation est une combinaison des autres : elle n’apporte rien.
Selon que le second membre est ou non cohérent avec cette dépendance, on retrouve les deux cas du chapitre 8 : aucune solution, ou une infinité.
Ce que le déterminant signifie (suite)
La lecture de gestion
\det A = 11 \neq 0 : les trois postes de l’atelier imposent trois contraintes réellement distinctes. Le plan de production est déterminé.
Si le déterminant avait été nul, cela aurait voulu dire qu’un poste ne fait que reproduire l’information des deux autres — et qu’il fallait revoir la modélisation.
La matrice inverse
L’idée
Matrice inverse
La matrice A^{-1} est celle qui vérifie A\,A^{-1} = A^{-1}A = I
Elle n’existe que si \det A \neq 0.
Ce qu’elle permet
Ax = b \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}Ax = A^{-1}b \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\,x = A^{-1}b\,}
C’est enfin la « division » annoncée au chapitre 9.
Attention à l’ordre : on multiplie à gauche, des deux côtés. Le produit n’étant pas commutatif, écrire x = b\,A^{-1} n’a même pas de sens du point de vue des formats.
L’inverse d’une matrice d’ordre 2
La formule à retenir
A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}
On échange les termes de la diagonale, on change le signe des deux autres, et l’on divise par le déterminant.
L’inverse d’une matrice d’ordre 2 (suite)
Un calcul et sa vérification
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad \det A = 5, \quad A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}
Vérification : A\,A^{-1} = \frac15\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \frac15\begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix} = I
L’inverse à l’ordre 3
Deux voies
- Par les cofacteurs : calculer les neuf mineurs, appliquer la règle des signes, transposer, diviser par le déterminant. Long et propice aux erreurs.
- Par Gauss-Jordan : écrire [A \mid I] et appliquer le pivot jusqu’à obtenir [I \mid A^{-1}]. C’est la méthode à retenir.
L’inverse de la matrice de l’atelier
A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 7 & -2 & -1\\ -1 & 5 & -3\\ -2 & -1 & 5\end{pmatrix}
L’inverse à l’ordre 3 (suite)
La solution, par simple produit
x = A^{-1}b = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 7 & -2 & -1\\ -1 & 5 & -3\\ -2 & -1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 110\\ 190\\ 170\end{pmatrix}
Première ligne : \dfrac{7(110) - 2(190) - 170}{11} = \dfrac{770 - 380 - 170}{11} = \dfrac{220}{11} = 20.
Deuxième : \dfrac{-110 + 950 - 510}{11} = \dfrac{330}{11} = 30. Troisième : \dfrac{-220 - 190 + 850}{11} = \dfrac{440}{11} = 40.
On retrouve (20 ; 30 ; 40).
Quand l’inverse est vraiment utile
Le second membre qui change
Calculer A^{-1} coûte plus cher que d’appliquer Gauss une fois. Pour un système isolé, l’inverse n’a aucun intérêt.
Il devient précieux quand la matrice reste la même et que le second membre change : les capacités varient d’une semaine à l’autre, la demande change de mois en mois.
On calcule A^{-1} une seule fois, puis chaque nouveau plan s’obtient par un simple produit — quelques secondes au lieu d’une résolution complète.
Le second usage, plus important encore
A^{-1} donne directement la sensibilité de la solution : le terme de la ligne i et de la colonne j indique de combien l’inconnue i varie lorsque la ressource j augmente d’une unité.
Ici, \dfrac{7}{11} \approx 0{,}64 : une heure de découpe supplémentaire permet 0{,}64 article A de plus.
C’est le pendant, en algèbre linéaire, du multiplicateur de Lagrange du chapitre 7.
Les formules de Cramer
L’énoncé
Formules de Cramer
Si \det A \neq 0, l’unique solution de Ax = b est donnée par
x_i = \frac{\det A_i}{\det A}
où A_i est la matrice A dans laquelle la colonne i a été remplacée par le second membre b.
Ce qui plaît dans cette formule
Chaque inconnue s’obtient indépendamment des autres. Si le problème ne demande qu’une seule des trois quantités, on ne calcule que celle-là.
Aucune autre méthode ne permet cela.
Cramer sur l’atelier
Les trois déterminants
\det A = 11, et en remplaçant tour à tour chaque colonne par b = (110 ; 190 ; 170) :
\det A_1 = \det\begin{pmatrix} 110 & 1 & 1\\ 190 & 3 & 2\\ 170 & 1 & 3\end{pmatrix} = 220
\det A_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & 110 & 1\\ 1 & 190 & 2\\ 1 & 170 & 3\end{pmatrix} = 330, \qquad \det A_3 = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 110\\ 1 & 3 & 190\\ 1 & 1 & 170\end{pmatrix} = 440
La solution
x = \frac{220}{11} = 20, \qquad y = \frac{330}{11} = 30, \qquad z = \frac{440}{11} = 40
Troisième méthode, troisième fois le même résultat.
Le détail d’un de ces déterminants
Le calcul de \det A_1 par Sarrus
\det A_1 = \det\begin{pmatrix} 110 & 1 & 1\\ 190 & 3 & 2\\ 170 & 1 & 3\end{pmatrix}
Descendantes : 110\cdot3\cdot3 = 990, \;1\cdot2\cdot170 = 340, \;1\cdot190\cdot1 = 190. Somme : 1520.
Montantes : 1\cdot3\cdot170 = 510, \;110\cdot2\cdot1 = 220, \;1\cdot190\cdot3 = 570. Somme : 1300.
\det A_1 = 1520 - 1300 = 220
Les limites de Cramer
Une méthode élégante et impraticable
| n | Opérations avec Gauss | Opérations avec Cramer |
|---|---|---|
| 3 | une dizaine | quelques dizaines |
| 10 | environ 300 | des dizaines de millions |
| 20 | environ 2\,700 | hors de portée |
Cramer exige de calculer n+1 déterminants d’ordre n, dont le coût croît comme n!.
Les limites de Cramer (suite)
À quoi elle sert donc
Trois usages réels :
- les petits systèmes, à deux ou trois inconnues, faits à la main ;
- le calcul d’une seule inconnue dans un système d’ordre 3 ;
- les raisonnements théoriques, où l’on veut une expression littérale de la solution en fonction des données — ce que Gauss ne fournit pas.
Pour tout le reste : Gauss.
Bilan de la partie III
Trois méthodes, un même problème
Quand employer laquelle
| Méthode | À utiliser quand… |
|---|---|
| Gauss | cas général ; c’est la méthode par défaut |
| Inverse | la matrice est fixe et le second membre change souvent |
| Cramer | petit système, ou une seule inconnue cherchée |
Trois méthodes, un même problème (suite)
Le contrôle commun
Quelle que soit la méthode, la vérification est la même : reporter la solution dans le système de départ.
Trois égalités qui tombent juste valent toutes les relectures de calcul.
Bilan du cours
Ce que vous savez faire
Les deux objectifs, atteints
Objectif 1 — optimiser
| Situation | Condition |
|---|---|
| Une variable | f'(x) = 0, puis signe de f'' |
| Deux variables, sans contrainte | f'_x = f'_y = 0, puis signe de \Delta |
| Deux variables, sous contrainte | lagrangien, tangence, et lecture de \lambda |
Les deux objectifs, atteints (suite)
Objectif 2 — résoudre
| Situation | Méthode |
|---|---|
| Cas général | pivot de Gauss |
| Second membre variable | matrice inverse |
| Petit système | formules de Cramer |
Le mot de la fin
Ce que ces deux compétences ont en commun
Les deux parties se sont rejointes en cours de route : chercher un optimum à plusieurs variables conduit à résoudre un système linéaire.
Ce n’est pas un hasard de programme. C’est la structure même des problèmes de décision : on écrit ce que l’on veut optimiser, on dérive, et l’on tombe sur un système.
Et ce qui reste vrai en dehors du calcul
La difficulté d’un problème de gestion n’a presque jamais été de dériver ou de pivoter. Elle a été d’écrire la bonne fonction et de poser les bonnes équations.
Ces trente heures vous ont donné les outils. Le jugement, lui, s’exerce sur des cas — et c’est l’objet des travaux dirigés.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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