Mathématiques pour la gestion
Les fonctions de deux variables
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 5 : Les fonctions de deux variables
Pourquoi deux variables
Une entreprise ne choisit jamais une seule grandeur
Trois décisions réelles
- Un producteur choisit une quantité de travail L et une quantité de capital K.
- Un commerçant fixe un prix p et un budget de publicité a.
- Une entreprise multi-produits décide des quantités x et y de deux articles.
Dans chaque cas, le résultat dépend de deux décisions prises ensemble. Une fonction d’une seule variable ne peut pas représenter cela.
La bonne nouvelle
Tout ce que vous savez faire va se transposer presque à l’identique.
Dériver, annuler la dérivée, vérifier avec la dérivée seconde : la démarche du chapitre 3 reste valable. Il y aura simplement deux dérivées au lieu d’une, et deux équations à résoudre au lieu d’une.
La définition
Fonction de deux variables
Une fonction de deux variables est une règle qui, à chaque couple (x, y), associe un nombre unique f(x,y).
On écrit f : (x, y) \mapsto f(x,y).
La définition (suite)
Trois exemples de gestion
| Fonction | Nom | Signification |
|---|---|---|
| Q(L,K) = 10\,L^{0{,}5}K^{0{,}5} | production | Cobb-Douglas |
| \Pi(x,y) = 40x + 60y - x^2 - y^2 - xy | profit | deux produits |
| C(x,y) = 2x^2 + 3y^2 + 100 | coût | deux ateliers |
Fonction de deux variables
La surface
Ce que la surface change
Du fil de fer au paysage
Une fonction d’une variable est une courbe : un fil tendu au-dessus d’un axe.
Une fonction de deux variables est une surface : un paysage au-dessus d’un plan. Chaque point du sol est un couple (x, y) ; l’altitude au-dessus de ce point est f(x,y).
Chercher un maximum revient alors à chercher le sommet de ce paysage.
La limite pratique
Une surface est difficile à dessiner et impossible à lire précisément. Et au-delà de deux variables, on ne peut plus rien dessiner du tout.
D’où l’intérêt d’une seconde représentation, plate celle-là, et beaucoup plus commode.
Les courbes de niveau
La définition et son usage
Courbe de niveau
La courbe de niveau c de f est l’ensemble des couples (x,y) tels que f(x,y) = c
C’est la trace, dans le plan, de tous les points où la fonction prend la même valeur.
La carte de randonnée
Une carte topographique représente un relief en trois dimensions sur une feuille plate, au moyen de lignes d’altitude constante.
Les courbes de niveau font exactement cela pour une fonction. Et comme sur une carte : des courbes resserrées signalent une pente raide, des courbes espacées une zone plate.
La définition et son usage (suite)
Les deux noms qu’elles portent en gestion
- Pour une fonction de production, une courbe de niveau s’appelle une isoquante : toutes les combinaisons de travail et de capital qui donnent la même production.
- Pour une fonction d’utilité ou de satisfaction, on parle de courbe d’indifférence.
Ces deux objets, que vous rencontrez en microéconomie, ne sont rien d’autre que des courbes de niveau.
Les dérivées partielles
L’idée : figer une variable
La définition (suite 2)
Dérivées partielles
La dérivée partielle de f par rapport à x, notée \dfrac{\partial f}{\partial x} ou f'_x, s’obtient en dérivant f par rapport à x en traitant y comme une constante.
Symétriquement pour \dfrac{\partial f}{\partial y}, en traitant x comme une constante.
Toutes choses égales par ailleurs
Une dérivée partielle répond à : « si je fais varier cette seule grandeur, l’autre restant fixe, de combien le résultat change-t-il ? »
C’est la traduction mathématique exacte de l’expression toutes choses égales par ailleurs, que vous employez déjà en économie. Vous connaissiez le raisonnement ; voici son instrument.
Le calcul, en pratique
Un premier calcul
f(x,y) = 3x^2y + 5x - 2y^3 + 7
Par rapport à x — on traite y comme un nombre fixe :
- 3x^2y : le facteur 3y est constant, donc la dérivée est 3y \times 2x = 6xy ;
- 5x donne 5 ;
- -2y^3 et 7 ne contiennent pas x : ce sont des constantes, donc 0.
\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 5
Par rapport à y — on traite x comme un nombre fixe :
\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 6y^2
Le calcul, en pratique (suite)
Le seul réflexe à acquérir
Il n’y a aucune règle nouvelle à apprendre. Ce sont les formules du chapitre 2, appliquées en considérant l’autre lettre comme un simple nombre.
Le piège est là : voir y comme une lettre et non comme une constante. Dans 3x^2y, le nombre 3y joue exactement le rôle du 0{,}2 de 0{,}2q^2.
Un exemple de gestion
La fonction de production de Cobb-Douglas
Q(L,K) = 10\,L^{0{,}5}K^{0{,}5}
\frac{\partial Q}{\partial L} = 10 \times 0{,}5\,L^{-0{,}5}K^{0{,}5} = \frac{5K^{0{,}5}}{L^{0{,}5}}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{5L^{0{,}5}}{K^{0{,}5}}
En L = 100 et K = 25 : \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{5 \times 5}{10} = 2{,}5, \qquad \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{5 \times 10}{5} = 10
La décision qui en découle
Ces deux nombres sont les productivités marginales : un ouvrier de plus apporte 2{,}5 unités, une machine de plus en apporte 10.
Si les deux facteurs coûtent le même prix, il faut manifestement investir en capital plutôt qu’en travail. La comparaison des dérivées partielles est un outil d’arbitrage immédiat.
Remarquez aussi que \partial Q/\partial L diminue quand L augmente : c’est la loi des rendements décroissants, lisible directement dans la formule.
Les dérivées d’ordre deux
Quatre dérivées secondes
Les notations
En dérivant à nouveau chacune des deux dérivées partielles, on obtient quatre expressions :
f''_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f''_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f''_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}, \quad f''_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}
Théorème de Schwarz
Pour toutes les fonctions rencontrées en gestion, f''_{xy} = f''_{yx}
L’ordre de dérivation est sans importance : il n’y a donc que trois dérivées secondes distinctes à calculer.
Ce que chacune signifie
Trois nombres, trois questions
- f''_{xx} : la courbure dans la direction x. Le profit ralentit-il quand on augmente x ?
- f''_{yy} : la même chose dans la direction y.
- f''_{xy} : l’interaction. Est-ce que y modifie l’effet de x ?
Le terme croisé est le plus riche
Si f''_{xy} > 0, les deux variables se renforcent : plus de publicité rend chaque baisse de prix plus efficace. Les facteurs sont complémentaires.
Si f''_{xy} < 0, elles se concurrencent : les deux produits se cannibalisent, augmenter les ventes de l’un réduit l’apport de l’autre.
Aucune dérivée d’une fonction d’une variable ne peut exprimer cela. C’est l’apport propre des deux variables.
Un calcul complet
Les trois dérivées secondes
\Pi(x,y) = 40x + 60y - x^2 - y^2 - xy
Dérivées premières : \Pi'_x = 40 - 2x - y, \qquad \Pi'_y = 60 - 2y - x
Dérivées secondes : \Pi''_{xx} = -2, \qquad \Pi''_{yy} = -2, \qquad \Pi''_{xy} = -1
Lecture
Les deux courbures sont négatives : le profit plafonne dans chaque direction, ce qui est le comportement attendu.
Le terme croisé -1 indique que les deux produits se gênent légèrement : vendre plus du premier réduit le rendement du second. Deux articles d’une même gamme, par exemple.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Une fonction de deux variables se représente par une surface, ou plus commodément par ses courbes de niveau.
- Isoquante et courbe d’indifférence sont des courbes de niveau.
- Une dérivée partielle se calcule en traitant l’autre variable comme une constante : aucune règle nouvelle.
- Les dérivées partielles sont les grandeurs marginales de chaque facteur ; leur comparaison guide l’arbitrage.
- Trois dérivées secondes distinctes, dont la croisée f''_{xy} qui mesure l’interaction entre les deux variables.
La suite
Vous savez calculer les pentes dans les deux directions. Le chapitre 6 s’en sert pour trouver le sommet du paysage : annuler les deux dérivées partielles à la fois.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)