Mathématiques pour la gestion
Optimiser sans contrainte
- Présentation du cours
- Le langage des fonctions
- La dérivée, ou la notion de marginal
- Calculer une dérivée
- Variations et extremums
- Optimiser en gestion
- Les fonctions de deux variables
- Optimiser sans contrainte
- Optimiser sous contrainte
- Les systèmes d'équations linéaires
- Les matrices
- Le pivot de Gauss
- Déterminant, inverse et formules de Cramer
Mathématiques pour la gestion
Chapitre 6 : Optimiser sans contrainte
La condition du premier ordre
Le sommet d’un paysage
L’idée, en une image
Au sommet d’une colline, le sol est horizontal — dans toutes les directions. Que l’on marche vers l’est ou vers le nord, on ne monte plus.
Traduit en dérivées : les deux pentes sont nulles en même temps.
Condition du premier ordre
Si f admet un extremum en (a,b), alors nécessairement
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = 0 \qquad \text{et} \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = 0
Un tel point s’appelle un point critique.
Chercher un point critique, c’est résoudre un système
Le lien avec la partie III
Deux conditions, deux inconnues : trouver un point critique revient à résoudre un système de deux équations.
Quand les dérivées partielles sont linéaires — ce qui est le cas de tous les exemples de ce cours — c’est un système linéaire. C’est exactement l’objet de la partie III, et c’est pourquoi elle vient après.
Chercher un point critique, c’est résoudre un système (suite)
Le profit à deux produits
\Pi(x,y) = 40x + 60y - x^2 - y^2 - xy
\left\{\begin{aligned} \Pi'_x &= 40 - 2x - y = 0\\ \Pi'_y &= 60 - 2y - x = 0 \end{aligned}\right. \qquad \Longleftrightarrow \qquad \left\{\begin{aligned} 2x + y &= 40\\ x + 2y &= 60 \end{aligned}\right.
La résolution
Par substitution
De la première équation : y = 40 - 2x.
En reportant dans la seconde : x + 2(40 - 2x) = 60 \ \Longrightarrow \ x + 80 - 4x = 60 \ \Longrightarrow \ -3x = -20 \ \Longrightarrow \ x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67
Puis y = 40 - \dfrac{40}{3} = \dfrac{80}{3} \approx 26{,}67.
Le point critique est \left(\dfrac{20}{3} ; \dfrac{80}{3}\right).
Une remarque de méthode
Avec deux équations, la substitution suffit. Avec trois ou quatre variables, elle devient vite illisible.
C’est précisément le problème que le pivot de Gauss résoudra au chapitre 10 — et c’est la raison pour laquelle l’algèbre linéaire figure dans un cours de mathématiques pour la gestion.
La condition ne suffit pas
Le point selle
Ce que la figure révèle
Point selle
Un point selle est un point critique qui n’est ni un maximum ni un minimum : la fonction y est maximale dans une direction et minimale dans l’autre.
Le col de montagne
C’est la forme d’un col entre deux sommets, ou d’une selle de cheval : le point le plus bas de la crête, mais le point le plus haut du chemin qui traverse.
Un randonneur qui n’examinerait que la direction nord conclurait à un sommet ; celui qui regarde vers l’est verrait un creux. Les deux ont raison — et c’est pour cela qu’il faut un second critère.
Ce que la figure révèle (suite)
Ce n’est pas une curiosité mathématique
Un point selle est fréquent dès qu’il existe une interaction forte entre deux décisions. Le retenir pour un maximum conduirait à une politique commerciale qui semble optimale sur chaque produit pris séparément, et qui ne l’est pas globalement.
Il faut donc un critère qui examine toutes les directions à la fois, pas seulement les deux axes.
La condition du second ordre
Le discriminant
Le nombre à calculer
En un point critique (a,b), on pose
\Delta = f''_{xx} \times f''_{yy} - \left(f''_{xy}\right)^2
Le discriminant (suite)
La règle de décision
| Si… | et… | alors le point est un… |
|---|---|---|
| \Delta > 0 | f''_{xx} < 0 | maximum local |
| \Delta > 0 | f''_{xx} > 0 | minimum local |
| \Delta < 0 | point selle | |
| \Delta = 0 | cas indéterminé |
Comment retenir cette règle
Elle se lit en deux temps
Premier temps, le signe de \Delta : il dit s’il s’agit d’un vrai extremum (\Delta > 0) ou d’un point selle (\Delta < 0).
Second temps, le signe de f''_{xx} : il dit lequel des deux. Et c’est exactement la règle du chapitre 3 — négatif pour un maximum, positif pour un minimum.
Vous ne retenez donc qu’une chose de nouveau : calculer \Delta d’abord.
Pourquoi le terme croisé est retranché
\left(f''_{xy}\right)^2 est toujours positif, et il est soustrait. Autrement dit : plus l’interaction entre les deux variables est forte, plus \Delta risque de devenir négatif, et plus le point risque d’être une selle.
Ce sont bien les interactions entre décisions qui créent les points selles.
Le critère appliqué
Retour au profit à deux produits
\Pi''_{xx} = -2, \qquad \Pi''_{yy} = -2, \qquad \Pi''_{xy} = -1
\Delta = (-2)(-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0
Et \Pi''_{xx} = -2 < 0. Le point critique est donc un maximum.
Le profit maximal
\Pi\!\left(\frac{20}{3}, \frac{80}{3}\right) = 40 \times \frac{20}{3} + 60 \times \frac{80}{3} - \frac{400}{9} - \frac{6400}{9} - \frac{1600}{9}
= \frac{800}{3} + \frac{4800}{3} - \frac{8400}{9} = \frac{16\,800}{9} - \frac{8400}{9} = \frac{8400}{9} \approx 933{,}33
Un cas de point selle
La fonction g définie par g(x,y) = x^2 - y^2
Dérivées premières : g'_x = 2x et g'_y = -2y. Point critique unique : (0,0).
Dérivées secondes : g''_{xx} = 2, g''_{yy} = -2, g''_{xy} = 0.
\Delta = 2 \times (-2) - 0 = -4 < 0
C’est un point selle — celui de la figure précédente.
Le contrôle qui aurait échoué
Ici g''_{xx} = 2 > 0. Un étudiant qui appliquerait la règle du chapitre 3 sans calculer \Delta conclurait à un minimum, et se tromperait.
Le calcul de \Delta n’est pas facultatif.
La méthode complète
Optimiser à deux variables
Les cinq étapes
- Écrire la fonction et son domaine.
- Calculer les deux dérivées partielles premières.
- Les annuler : résoudre le système et obtenir les points critiques.
- Calculer les trois dérivées secondes, puis \Delta ; conclure sur la nature.
- Calculer la valeur de f au point retenu et interpréter.
Optimiser à deux variables (suite)
La comparaison avec le chapitre 3
| Une variable | Deux variables |
|---|---|
| f'(x) = 0 | f'_x = 0 et f'_y = 0 |
| une équation | un système |
| signe de f'' | signe de \Delta, puis de f''_{xx} |
| maximum ou minimum | maximum, minimum, ou point selle |
La logique est identique. Seule la troisième colonne de possibilités est nouvelle.
Un problème de gestion complet
Prix et publicité
Une entreprise réalise un profit \Pi(p, a) = (p - 10)\,(200 - 5p + 8a) - a^2 où p est le prix de vente et a le budget publicitaire, en milliers de dirhams.
Développement : \Pi(p,a) = 200p - 5p^2 + 8pa - 2000 + 50p - 80a - a^2 = -5p^2 - a^2 + 8pa + 250p - 80a - 2000
Dérivées premières : \Pi'_p = -10p + 8a + 250, \qquad \Pi'_a = -2a + 8p - 80
La résolution du système
Deux équations, deux inconnues
\left\{\begin{aligned} -10p + 8a &= -250\\ 8p - 2a &= 80 \end{aligned}\right.
De la seconde : a = 4p - 40. En reportant : -10p + 8(4p - 40) = -250 \ \Longrightarrow \ -10p + 32p - 320 = -250 \ \Longrightarrow \ 22p = 70
p = \frac{70}{22} \approx 3{,}18
La résolution du système (suite)
Un résultat qu’il faut savoir refuser
Le prix optimal serait de 3{,}18 dirhams — inférieur au coût unitaire de 10 dirhams. L’entreprise vendrait à perte.
Et le contrôle du second ordre confirme le problème : \Pi''_{pp} = -10, \Pi''_{aa} = -2, \Pi''_{pa} = 8, donc \Delta = (-10)(-2) - 64 = 20 - 64 = -44 < 0
C’est un point selle. Le modèle n’a pas d’optimum intérieur : l’effet de la publicité y est trop puissant, la spécification est mal calibrée.
Un modèle mal spécifié se détecte par le second ordre. C’est un usage professionnel de ce critère.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Condition du premier ordre : les deux dérivées partielles s’annulent simultanément.
- La chercher revient à résoudre un système de deux équations.
- Elle ne suffit pas : il existe des points selles.
- Condition du second ordre : \Delta = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2. Si \Delta > 0, le signe de f''_{xx} tranche ; si \Delta < 0, c’est une selle.
- Un \Delta négatif peut signaler un modèle mal construit, pas seulement une géométrie particulière.
La suite
Nous avons cherché le sommet du paysage sans aucune restriction. Or une entreprise a toujours un budget, une capacité, une contrainte.
Le chapitre 7 traite l’optimisation sous contrainte — et c’est le cas le plus fréquent en gestion.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)