Théorie des réseaux
La diffusion sur un réseau
- Présentation du cours
- Pourquoi les réseaux en économie
- Le vocabulaire des graphes
- La matrice d'adjacence et l'algèbre des graphes
- Les centralités locales
- Les centralités spectrales
- Densité, clustering et assortativité
- Composantes, distances et petit monde
- Le graphe aléatoire d'Erdos et Renyi
- Petit monde et attachement préférentiel
- La détection de communautés
- La diffusion sur un réseau
- Les jeux en réseau
- L'identification des effets de pairs
- Réseaux financiers et risque systémique
- Réseaux de production et chocs sectoriels
- Mise en œuvre sur R et Python
Théorie des réseaux
Chapitre 10 : La diffusion sur un réseau
Deux familles de modèles
Ce qui les sépare
Un seul contact infecté suffit, avec une certaine probabilité. C’est le modèle d’une maladie, d’une information, d’un virus informatique.
Il faut plusieurs contacts pour être convaincu. C’est le modèle d’une norme sociale, d’une technologie coûteuse, d’un comportement risqué.
Un raccourci propage très bien une contagion simple : un seul lien suffit à traverser.
Il ne propage pas une contagion complexe : le nœud atteint n’a qu’un voisin infecté, donc reste sous son seuil. Le petit monde n’aide pas à diffuser une norme.
Le modèle SIS
Les états et le mécanisme
Un nœud infecté transmet à chaque voisin sain au taux \beta, et guérit au taux \mu — sans immunité.
On pose \tau = \beta/\mu, le taux effectif de transmission.
\frac{di}{dt} = \beta \bar{k}\, i\,(1-i) - \mu i
L’épidémie persiste si \tau > 1/\bar{k}.
Le seuil sur un réseau
Sur un réseau donné, l’épidémie persiste si
\tau \;>\; \tau_c = \frac{1}{\lambda_1}
où \lambda_1 est la plus grande valeur propre de \mathbf{A}.
\lambda_1 \approx 2{,}343 \qquad\Longrightarrow\qquad \tau_c \approx 0{,}427
Contre 1/\bar{k} = 1/2{,}29 \approx 0{,}437 en champ moyen : à peine plus bas.
Pourquoi le rayon spectral, et non la moyenne
\lambda_1 \geq \bar{k} toujours. Le réseau est donc toujours plus facile à contaminer que sa moyenne ne le suggère.
L’écart est faible ici parce que les degrés sont presque tous égaux. Il devient énorme dès qu’il y a des hubs.
Le cas des réseaux sans échelle
Pour une loi de puissance d’exposant \gamma \leq 3, la variance des degrés diverge, donc
\lambda_1 \to \infty \qquad\Longrightarrow\qquad \tau_c \to 0
Il n’y a plus de seuil épidémique. Une maladie de transmissibilité arbitrairement faible se maintient indéfiniment.
Les hubs sont infectés presque immédiatement et réinfectent tout le reste. C’est ce qui explique la persistance de virus informatiques peu contagieux pendant des années.
La vaccination
Le paradoxe de l’ami
Vos amis ont en moyenne plus d’amis que vous.
Un nœud de degré k est atteint par k arêtes : plus il est connecté, plus il a de chances d’être le voisin de quelqu’un.
q_k = \frac{k\,p_k}{\bar{k}} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbb{E}[k_{\text{voisin}}] = \frac{\mathbb{E}[k^2]}{\bar{k}} \;\geq\; \bar{k}
La stratégie qui en découle
On tire un individu au hasard, et l’on vaccine un de ses contacts tiré au hasard.
Aucune connaissance du réseau n’est requise.
La vaccination aléatoire d’un réseau sans échelle exige de couvrir presque toute la population.
La vaccination par les amis atteint le même effet avec une fraction bien moindre, parce qu’elle touche les hubs sans les avoir identifiés.
Cibler les hubs suppose de connaître le réseau — donnée rarement disponible en santé publique.
Cette stratégie exploite la structure sans l’observer. C’est un résultat d’ingénierie sociale, pas seulement de théorie.
La contagion complexe
Le modèle de seuil
Un nœud adopte si la fraction de ses voisins déjà adoptants dépasse un seuil \theta :
\frac{\text{voisins adoptants}}{k_i} \;\geq\; \theta
Si 1 et 2 adoptent : 3 a deux voisins sur trois adoptants, donc 2/3 \geq 1/2 : il adopte.
Puis 4 a un voisin sur deux, soit 1/2 \geq 1/2 : il adopte. Puis 5 a un sur trois : 1/3 < 1/2, il n’adopte pas.
Le nœud 4 adopte mais ne transmet pas : il ne suffit pas, à lui seul, à convaincre 5.
Un pont laisse passer un virus et bloque une norme. Les deux triangles restent des mondes séparés pour tout ce qui demande d’être convaincu deux fois.
Ce que cela implique
Granovetter montrait que les liens faibles apportent l’information.
Centola et Macy (2007) montrent que les liens forts et redondants portent l’adoption. Les deux résultats sont vrais parce qu’ils portent sur deux objets différents.
Diffuser une information : viser les ponts et les hubs.
Faire adopter un comportement : viser un groupe dense et le saturer, puis laisser le voisinage basculer. Les deux stratégies sont opposées.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Contagion simple : un contact suffit. Complexe : il en faut plusieurs.
- Le seuil épidémique vaut \tau_c = 1/\lambda_1, non 1/\bar{k}.
- Sur un réseau sans échelle à \gamma \leq 3, le seuil disparaît.
- Paradoxe de l’ami : \mathbb{E}[k_{\text{voisin}}] = \mathbb{E}[k^2]/\bar{k} \geq \bar{k}.
- Vacciner l’ami d’un individu tiré au hasard atteint les hubs sans connaître le réseau.
- Un pont transmet un virus mais bloque une norme : les deux stratégies de campagne sont opposées.
Le chapitre 11 remplace la contagion mécanique par un choix : chacun décide de son effort en fonction de celui de ses voisins.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)