Théorie des réseaux
Les centralités locales
- Présentation du cours
- Pourquoi les réseaux en économie
- Le vocabulaire des graphes
- La matrice d'adjacence et l'algèbre des graphes
- Les centralités locales
- Les centralités spectrales
- Densité, clustering et assortativité
- Composantes, distances et petit monde
- Le graphe aléatoire d'Erdos et Renyi
- Petit monde et attachement préférentiel
- La détection de communautés
- La diffusion sur un réseau
- Les jeux en réseau
- L'identification des effets de pairs
- Réseaux financiers et risque systémique
- Réseaux de production et chocs sectoriels
- Mise en œuvre sur R et Python
Théorie des réseaux
Chapitre 3 : Les centralités locales
La question
Qu’est-ce qu’être important
Avoir beaucoup de relations — le degré.
Être proche de tout le monde — la proximité.
Être sur le passage — l’intermédiarité.
Ce sont trois notions différentes, qui répondent à trois questions différentes.
Choisir la mauvaise, c’est mesurer une chose et en conclure une autre. Le réseau du cours a été construit pour rendre l’écart visible.
La centralité de degré
La définition
C_D(i) = \frac{k_i}{n-1}
On divise par n-1, le degré maximal possible, pour comparer des réseaux de tailles différentes.
| Nœud | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| k_i | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
| C_D | 0{,}33 | 0{,}33 | 0{,}50 | 0{,}33 | 0{,}50 | 0{,}33 | 0{,}33 |
Ce qu’elle mesure, et ce qu’elle ignore
Elle convient quand ce qui compte est l’accès immédiat : nombre de clients directs, nombre de contreparties, popularité.
Elle ne regarde qu’à un pas. Elle ne distingue pas dix voisins isolés de dix voisins qui sont eux-mêmes des carrefours.
Ici, elle classe le nœud 4 au dernier rang, à égalité avec les quatre nœuds périphériques.
La centralité de proximité
La définition
C_C(i) = \frac{n-1}{\sum_{j \neq i} d(i,j)}
Elle vaut 1 si i est voisin de tous les autres, et tend vers 0 s’il en est loin.
| Nœud | Distances | \sum d | C_C |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,1,2,3,4,4 | 15 | 0{,}400 |
| 3 | 1,1,1,2,3,3 | 11 | 0{,}545 |
| 4 | 2,2,1,1,2,2 | 10 | \mathbf{0{,}600} |
| 5 | 3,3,2,1,1,1 | 11 | 0{,}545 |
| 7 | 4,4,3,2,1,1 | 15 | 0{,}400 |
Ce qu’elle apporte
Le nœud 4 passe du dernier rang au premier.
Avec deux voisins seulement, il est le plus proche de tout le monde : c’est le milieu du réseau.
C’est la bonne mesure quand ce qui compte est la rapidité d’accès à l’information : qui apprend le premier, qui peut atteindre tout le monde en peu d’étapes.
Elle exige un graphe connexe. Sur un réseau fragmenté, une distance infinie annule la mesure.
On utilise alors la variante harmonique \;C_H(i) = \frac{1}{n-1}\sum_{j\neq i} \frac{1}{d(i,j)}.
La centralité d’intermédiarité
La définition
C_B(i) = \sum_{s \neq i \neq t} \frac{\sigma_{st}(i)}{\sigma_{st}}
\sigma_{st} est le nombre de plus courts chemins de s à t, et \sigma_{st}(i) ceux qui passent par i.
On normalise en divisant par \binom{n-1}{2}.
La part du trafic qui transite par i, si tout le monde communique par le plus court chemin.
C’est une mesure de contrôle, non de popularité.
Le calcul
Tout chemin de \{1,2,3\} vers \{5,6,7\} passe par 4 : cela fait 3 \times 3 = 9 paires.
C_B(4) = \frac{9}{15} = \mathbf{0{,}600}
| Nœud | Paires contrôlées | C_B |
|---|---|---|
| 1, 2, 6, 7 | 0 | 0{,}000 |
| 3 | 8 | 0{,}533 |
| 4 | \mathbf{9} | \mathbf{0{,}600} |
| 5 | 8 | 0{,}533 |
Le résultat central du chapitre
| Nœud | Degré | Proximité | Intermédiarité |
|---|---|---|---|
| 1, 2, 6, 7 | 0{,}33 | 0{,}400 | 0{,}000 |
| 3, 5 | \mathbf{0{,}50} | 0{,}545 | 0{,}533 |
| 4 | 0{,}33 | \mathbf{0{,}600} | \mathbf{0{,}600} |
Le nœud 4 a le degré le plus faible du réseau et l’intermédiarité la plus forte.
Un régulateur qui classerait les banques par nombre de contreparties le jugerait négligeable. Il est le point dont la disparition coupe le système en deux.
Le trou structural
Burt, 1992
Un acteur occupe un trou structural lorsqu’il relie deux groupes qui ne communiquent pas entre eux.
Il reçoit une information non redondante — ses deux côtés ne savent pas la même chose.
Il contrôle le passage, donc peut arbitrer, retenir ou déformer ce qui transite.
Granovetter (1973) montre que les emplois viennent surtout de connaissances lointaines, non des amis proches.
Les amis proches connaissent les mêmes offres que vous. Le lien faible est celui qui traverse un trou structural — et c’est exactement le nœud 4.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Degré : accès immédiat, aveugle au-delà d’un pas.
- Proximité : rapidité d’accès, exige un graphe connexe.
- Intermédiarité : contrôle du passage, mesure de pouvoir.
- Sur notre réseau, le nœud 4 est dernier en degré, premier en proximité et en intermédiarité.
- Le trou structural de Burt donne à ce nœud une rente informationnelle.
- La force des liens faibles de Granovetter en est la version empirique.
Le chapitre 4 ajoute une quatrième réponse, récursive : est important celui dont les voisins sont importants. C’est le principe de PageRank.
Ressources du chapitre
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