Théorie des réseaux
Les jeux en réseau
- Présentation du cours
- Pourquoi les réseaux en économie
- Le vocabulaire des graphes
- La matrice d'adjacence et l'algèbre des graphes
- Les centralités locales
- Les centralités spectrales
- Densité, clustering et assortativité
- Composantes, distances et petit monde
- Le graphe aléatoire d'Erdos et Renyi
- Petit monde et attachement préférentiel
- La détection de communautés
- La diffusion sur un réseau
- Les jeux en réseau
- L'identification des effets de pairs
- Réseaux financiers et risque systémique
- Réseaux de production et chocs sectoriels
- Mise en œuvre sur R et Python
Théorie des réseaux
Chapitre 11 : Les jeux en réseau
Le cadre
Ce qui change par rapport à la diffusion
Chaque nœud choisit un effort x_i \geq 0 — recherche et développement, prévention, éducation.
Son gain dépend de son effort et de celui de ses voisins.
u_i(\mathbf{x}) = x_i - \tfrac{1}{2}x_i^2 + \phi \sum_j A_{ij}\,x_i x_j
\phi mesure l’intensité de l’interaction locale.
Complémentarité et substituabilité
\phi > 0 : compléments stratégiques — l’effort d’un voisin augmente le rendement du mien.
\phi < 0 : substituts stratégiques — l’effort d’un voisin dispense du mien.
Compléments : la recherche dans une filière, l’apprentissage d’une langue, l’équipement d’un réseau.
Substituts : la fourniture d’un bien public local, la collecte d’information coûteuse, la surveillance d’un quartier.
L’équilibre de Nash
La condition de premier ordre
\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 1 - x_i + \phi\sum_j A_{ij}x_j = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x_i = 1 + \phi\sum_j A_{ij}x_j
\mathbf{x} = (\mathbf{I} - \phi\mathbf{A})^{-1}\mathbf{1}
C’est exactement la centralité de Katz-Bonacich du chapitre 4, avec \alpha = \phi.
L’effort d’équilibre d’un joueur est sa centralité de Bonacich. Une notion descriptive devient la solution d’un jeu.
La condition d’existence
L’équilibre existe et est unique si
|\phi| \;<\; \frac{1}{\lambda_1}
\lambda_1 \approx 2{,}343 \qquad\Longrightarrow\qquad |\phi| < 0{,}427
Au-delà, les efforts se renforcent sans limite : la série \sum_r \phi^r\mathbf{A}^r diverge.
Le même nombre \lambda_1 borne le seuil épidémique et l’intensité d’interaction admissible. Deux problèmes sans rapport, une seule quantité.
Le joueur clé
La question de politique publique
Si l’on ne peut retirer qu’un seul joueur — subventionner un chercheur, incarcérer un délinquant, sauver une banque —, lequel a le plus d’effet sur l’activité totale ?
Ce n’est pas celui dont l’effort est le plus élevé.
Retirer un joueur supprime son effort propre, mais aussi tout ce que sa présence induisait chez ses voisins, et chez les voisins de ses voisins.
c_i = \frac{x_i^2}{\big[(\mathbf{I}-\phi\mathbf{A})^{-1}\big]_{ii}}
C’est la perte totale d’activité si i disparaît.
L’application la plus citée
Sur des réseaux d’amitié scolaires américains, le joueur clé n’est presque jamais le délinquant le plus actif.
C’est celui dont la position amplifie le plus l’effort des autres.
Une politique qui cible les individus les plus visibles se trompe de cible.
La bonne cible est structurelle, pas comportementale — et elle exige de connaître le réseau.
Les substituts stratégiques
Un tout autre régime
Chacun préfère laisser son voisin faire l’effort. Les équilibres deviennent des ensembles indépendants maximaux : ceux qui agissent ne sont voisins de personne qui agit.
\{1, 4, 6\} agit, le reste se repose : aucun des trois n’est voisin d’un autre, et tout nœud inactif a un voisin actif.
\{2, 4, 7\} ou \{3, 6\} conviennent aussi. Il y a plusieurs équilibres.
L’équilibre n’est plus unique, et les équilibres ne se valent pas : \{3,6\} mobilise deux joueurs, \{1,4,6\} en mobilise trois pour le même résultat.
La théorie ne dit plus lequel se réalisera. Il faut alors une histoire — une convention, un ordre d’arrivée, une institution.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Chaque joueur choisit un effort ; le réseau détermine ses interactions.
- Compléments (\phi>0) ou substituts (\phi<0) : deux régimes opposés.
- Avec des compléments, \mathbf{x} = (\mathbf{I}-\phi\mathbf{A})^{-1}\mathbf{1} : c’est Katz-Bonacich.
- L’unicité exige |\phi| < 1/\lambda_1, soit 0{,}427 ici.
- Le joueur clé n’est pas le plus actif, mais celui qui amplifie le plus les autres.
- Avec des substituts, les équilibres sont multiples : la théorie ne suffit plus à prédire.
Le chapitre 12 pose la question que ce chapitre a esquivée : comment mesurer un effet de pairs sur des données réelles, sans confondre influence, sélection et environnement commun ?
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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