Théorie des réseaux
Les centralités spectrales
- Présentation du cours
- Pourquoi les réseaux en économie
- Le vocabulaire des graphes
- La matrice d'adjacence et l'algèbre des graphes
- Les centralités locales
- Les centralités spectrales
- Densité, clustering et assortativité
- Composantes, distances et petit monde
- Le graphe aléatoire d'Erdos et Renyi
- Petit monde et attachement préférentiel
- La détection de communautés
- La diffusion sur un réseau
- Les jeux en réseau
- L'identification des effets de pairs
- Réseaux financiers et risque systémique
- Réseaux de production et chocs sectoriels
- Mise en œuvre sur R et Python
Théorie des réseaux
Chapitre 4 : Les centralités spectrales
L’idée récursive
Le principe
Est important celui dont les voisins sont importants.
x_i \;\propto\; \sum_j A_{ij}\,x_j
En posant \lambda x_i = \sum_j A_{ij}x_j, on reconnaît
\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
La définition circulaire est une équation aux valeurs propres — et elle a une solution.
Centralité de vecteur propre
L’existence
Si le graphe est connexe, la plus grande valeur propre \lambda_1 de \mathbf{A} est simple, et son vecteur propre peut être choisi strictement positif.
C_E(i) = \frac{x_i}{\max_j x_j}, \qquad \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda_1\mathbf{x}, \quad \mathbf{x} > 0
Sans lui, rien ne dit que le vecteur propre serait positif — une centralité négative n’aurait aucun sens.
La connexité est donc une condition de possibilité, pas un confort.
Le calcul sur notre réseau
Le réseau est symétrique par 1 \leftrightarrow 7, 2 \leftrightarrow 6, 3 \leftrightarrow 5, 4 \leftrightarrow 4.
Donc x_1 = x_2 = x_6 = x_7 = a, \;x_3 = x_5 = b, \;x_4 = c.
\lambda a = a + b \qquad \lambda b = 2a + c \qquad \lambda c = 2b
En éliminant a et c : \lambda^3 - \lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 \approx 2{,}343
Le résultat
a = \frac{b}{\lambda_1 - 1} = 0{,}745\,b \qquad c = \frac{2b}{\lambda_1} = 0{,}854\,b
| Nœud | 1,2,6,7 | 3,5 | 4 |
|---|---|---|---|
| C_E | 0{,}745 | \mathbf{1{,}000} | 0{,}854 |
Le nœud 4 n’est plus premier : il est deuxième, derrière 3 et 5.
Il n’a que deux voisins ; ce sont les meilleurs du réseau, ce qui le hisse au-dessus des périphériques — mais pas au-dessus des hubs eux-mêmes.
Katz et Bonacich
Le problème du vecteur propre
Sur un graphe orienté, un nœud sans lien entrant reçoit 0, et propage 0 à tous ses successeurs.
Sur un graphe fragmenté, toute la centralité se concentre dans une seule composante.
\mathbf{x} = \alpha \mathbf{A}\mathbf{x} + \beta\mathbf{1} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{x} = \beta(\mathbf{I} - \alpha\mathbf{A})^{-1}\mathbf{1}
Chacun reçoit une dotation \beta indépendamment du réseau, puis la propage avec un facteur d’atténuation \alpha.
Il faut \alpha < 1/\lambda_1, sans quoi la série \sum_r \alpha^r \mathbf{A}^r diverge.
Sur notre réseau : \alpha < 1/2{,}343 = 0{,}427. Le rayon spectral fixe la limite de propagation.
Ce que Katz mesure vraiment
(\mathbf{I} - \alpha\mathbf{A})^{-1} = \mathbf{I} + \alpha\mathbf{A} + \alpha^2\mathbf{A}^2 + \dots
C_K(i) compte tous les parcours aboutissant à i, pondérés par \alpha^{\text{longueur}}.
Un voisin direct compte \alpha, un voisin de voisin \alpha^2, et ainsi de suite. L’influence décroît avec la distance, à un rythme qu’on choisit.
Bonacich autorise \alpha < 0 : l’influence des voisins devient négative.
C’est le bon modèle quand la relation est concurrentielle : avoir des voisins puissants affaiblit. Le chapitre 11 en fera l’équilibre d’un jeu.
PageRank
La formule
x_i = \frac{1-d}{n} + d \sum_{j \to i} \frac{x_j}{k_j^{\text{out}}}
avec d \approx 0{,}85, le facteur d’amortissement.
La division par k_j^{\text{out}} : un nœud qui pointe vers mille autres transmet mille fois moins à chacun. Le vote est divisé, non dupliqué.
Le terme (1-d)/n : à chaque pas, le marcheur saute au hasard n’importe où, ce qui évite les puits absorbants.
Ce que PageRank est vraiment
x_i est la fraction du temps qu’un marcheur aléatoire passe en i, s’il suit les liens avec probabilité d et saute au hasard avec probabilité 1-d.
Classement des revues scientifiques par citations, mesure d’importance systémique d’une banque, hiérarchie de secteurs dans un tableau entrées-sorties.
Partout où l’importance se transmet en se divisant, PageRank est la mesure adaptée.
Choisir sa centralité
Le tableau de décision
| Question | Mesure |
|---|---|
| Combien de partenaires directs ? | Degré |
| Qui apprend le plus vite ? | Proximité |
| Qui contrôle le passage ? | Intermédiarité |
| Qui est bien entouré ? | Vecteur propre |
| Qui reçoit un vote divisé ? | PageRank |
On choisit la centralité d’après le mécanisme économique, jamais d’après la commodité du calcul.
Un rapport qui donne cinq centralités sans dire laquelle répond à la question n’a rien mesuré.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- « Important si les voisins le sont » s’écrit \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}.
- Perron-Frobenius garantit un vecteur propre positif si le graphe est connexe.
- Sur notre réseau : \lambda_1 \approx 2{,}343, et C_E(4) = 0{,}854 contre 1{,}000 pour 3 et 5.
- Katz ajoute une dotation propre et exige \alpha < 1/\lambda_1.
- Bonacich autorise \alpha < 0 : le cas concurrentiel.
- PageRank divise le vote par le degré sortant : c’est une loi stationnaire de marche aléatoire.
Le chapitre 5 quitte les nœuds pour le réseau entier : sa densité, sa tendance à fermer les triangles, et sa manière d’apparier les degrés.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)