Théorie des réseaux
Densité, clustering et assortativité
- Présentation du cours
- Pourquoi les réseaux en économie
- Le vocabulaire des graphes
- La matrice d'adjacence et l'algèbre des graphes
- Les centralités locales
- Les centralités spectrales
- Densité, clustering et assortativité
- Composantes, distances et petit monde
- Le graphe aléatoire d'Erdos et Renyi
- Petit monde et attachement préférentiel
- La détection de communautés
- La diffusion sur un réseau
- Les jeux en réseau
- L'identification des effets de pairs
- Réseaux financiers et risque systémique
- Réseaux de production et chocs sectoriels
- Mise en œuvre sur R et Python
Théorie des réseaux
Chapitre 5 : Densité, clustering et assortativité
La densité
La définition
\rho = \frac{m}{\binom{n}{2}} = \frac{2m}{n(n-1)}
Elle vaut 1 pour un graphe complet, 0 pour un graphe sans arête.
\rho = \frac{2 \times 8}{7 \times 6} = \frac{16}{42} \approx 0{,}381
Un peu plus d’un tiers des liaisons possibles existent.
Pourquoi elle est trompeuse sur les grands réseaux
Le dénominateur croît en n^2, le numérateur rarement plus vite que n.
Tout grand réseau réel a une densité proche de zéro : Facebook compte quelques centaines d’amis pour trois milliards d’inscrits, soit \rho \approx 10^{-7}.
Comparer les densités de deux réseaux de tailles différentes n’a aucun sens.
C’est le degré moyen \bar{k} = 2m/n qu’il faut comparer : il ne dépend pas mécaniquement de la taille.
Le clustering
Deux définitions à ne pas confondre
C_i = \frac{\text{aretes entre les voisins de } i}{\binom{k_i}{2}}
C’est la probabilité que deux voisins de i soient eux-mêmes voisins.
T = \frac{3 \times \text{nombre de triangles}}{\text{nombre de triples connectes}}
Le clustering moyen est la moyenne des C_i : chaque nœud pèse pareil, donc les petits degrés dominent.
La transitivité pèse chaque nœud par \binom{k_i}{2} : les hubs dominent. Les deux nombres diffèrent souvent beaucoup.
Le calcul sur notre réseau
| Nœud | Voisins | Arêtes entre eux | \binom{k_i}{2} | C_i |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2, 3 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1, 3 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 1, 2, 4 | 1 | 3 | 1/3 |
| 4 | 3, 5 | 0 | 1 | \mathbf{0} |
| 5 | 4, 6, 7 | 1 | 3 | 1/3 |
| 6 | 5, 7 | 1 | 1 | 1 |
| 7 | 5, 6 | 1 | 1 | 1 |
\bar{C} = \frac{1+1+\tfrac13+0+\tfrac13+1+1}{7} = \frac{14/3}{7} \approx \mathbf{0{,}667}
T = \frac{3 \times 2}{11} = \frac{6}{11} \approx \mathbf{0{,}545}
Ce que le nœud 4 révèle encore
C_4 = 0 : ses deux voisins ne se connaissent pas.
C’est exactement la définition du trou structural. Le clustering local d’un nœud et son intermédiarité varient en sens inverse — un pont ne peut pas être dans un triangle.
Trois mesures différentes — intermédiarité maximale, clustering nul, degré minimal — désignent le même trait du nœud 4 sous trois angles.
C’est ainsi qu’on valide un diagnostic : par la convergence de mesures indépendantes.
L’assortativité
La définition
r = \text{corr}\big(k_i,\, k_j\big) \quad \text{sur l'ensemble des aretes } ij
r \in [-1, 1].
r > 0 : réseau assortatif — les gros degrés se lient aux gros degrés.
r < 0 : réseau dissortatif — les gros se lient aux petits, structure en étoile.
Ce qu’on observe
| Type de réseau | r typique |
|---|---|
| Réseaux sociaux | +0{,}1 à +0{,}3 |
| Internet, physique | -0{,}19 |
| Web | -0{,}07 |
| Interbancaire | -0{,}2 à -0{,}3 |
Les réseaux sociaux sont assortatifs : on se lie à ses semblables — c’est l’homophilie.
Les réseaux techniques et financiers sont dissortatifs : les petits se branchent sur les gros. Cela produit une structure cœur-périphérie, dont le chapitre 13 tirera le risque systémique.
Ce que l’assortativité change
Un réseau assortatif a un cœur dense de hubs : une épidémie y démarre vite, mais reste longtemps confinée au cœur.
Un réseau dissortatif propage plus vite vers la périphérie, et se fragmente plus facilement si l’on retire les hubs.
Sur un réseau dissortatif, protéger quelques nœuds protège tout le système.
Sur un réseau assortatif, il n’y a pas de cible privilégiée : il faut une politique uniforme. La structure dicte l’instrument.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- La densité \rho = 2m/n(n-1) vaut 0{,}381 ici, mais est incomparable entre tailles.
- C’est le degré moyen qu’on compare, pas la densité.
- Clustering moyen 0{,}667 et transitivité 0{,}545 ne mesurent pas la même chose.
- C_4 = 0 : un pont n’est jamais dans un triangle.
- L’assortativité est positive dans les réseaux sociaux, négative dans les réseaux financiers.
- Un réseau dissortatif a un cœur : c’est là que porte la régulation.
Le chapitre 6 revient aux distances, et pose le fait empirique le plus célèbre du domaine : six degrés de séparation entre deux humains quelconques.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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