Statistique descriptive

Les quantiles

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Chapitre 6 : Les quantiles

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Généraliser la médiane

L’idée

Pourquoi s’arrêter à deux parts

La médiane coupe la population en deux moitiés. Rien n’oblige à s’arrêter là.

Couper en quatre donne les quartiles, en dix les déciles, en cent les centiles. On obtient une description bien plus fine que trois indicateurs de tendance centrale.

Quantile d’ordre p

Le quantile d’ordre p, noté q_p, est la valeur telle qu’une proportion p des individus lui est inférieure : F(q_p) = p

C’est la lecture de la courbe cumulative à l’envers : on entre par les fréquences, on sort par la variable.

Le vocabulaire

Les trois familles
Nom Nombre de parts Notation
Quartiles 4 Q_1, Q_2=Me, Q_3
Déciles 10 D_1, \dots, D_9
Centiles 100 C_1, \dots, C_{99}
Un piège de vocabulaire

Pour couper en quatre, il faut trois traits : il y a trois quartiles, neuf déciles, quatre-vingt-dix-neuf centiles. Et Q_2 = D_5 = C_{50} = Me : quatre noms de la même valeur.

Le calcul

Sur données brutes : la méthode

Le rang du quantile

On range les n valeurs par ordre croissant, puis on cherche celle de rang \;r = 1 + p\,(n-1).

Si r n’est pas entier, on interpole entre les deux valeurs qui l’encadrent : avec r = k + g, où k est entier et 0 < g < 1, q_p = x_{(k)} + g \times \bigl(x_{(k+1)} - x_{(k)}\bigr)

Une convention parmi d’autres

Pour p = 0{,}5, on retrouve le rang (n+1)/2 de la médiane du chapitre 5. C’est la convention de R et de Python, ce qui permettra de retrouver tous les nombres aux chapitres 14 et 15. D’autres conventions existent : sur 500 valeurs, elles diffèrent de quelques dirhams.

Un exemple à la main

Les douze salaires de la PME de l’introduction

3\,200 ; 3\,500 ; 3\,800 ; 4\,100 ; 4\,300 ; 4\,600 ; 5\,000 ; 5\,400 ; 6\,200 ; 7\,500 ; 9\,800 ; 15\,600.

Quantile Rang 1 + p \times 11 Calcul Valeur
Q_1 3{,}75 3\,800 + 0{,}75 \times 300 4\,025
Me 6{,}5 4\,600 + 0{,}5 \times 400 4\,800
Q_3 9{,}25 6\,200 + 0{,}25 \times 1\,300 6\,525
La lecture

La moitié centrale des salariés gagne entre 4\,025 et 6\,525 dirhams : un intervalle de 2\,500 dirhams, alors que l’étendue totale en couvre 12\,400. Le salaire de 15\,600 n’y est pour rien.

Les quantiles de nos 500 salaires

Cinq nombres pour toute la distribution
Quantile Valeur (dirhams) Lecture
D_1 4\,348 10\,\% gagnent moins
Q_1 5\,318 25\,\% gagnent moins
Me 6\,770 la moitié gagne moins
Q_3 8\,330 75\,\% gagnent moins
D_9 10\,473 90\,\% gagnent moins
Une première lecture de la forme

De Q_1 à la médiane : 1\,452 dirhams. De la médiane à Q_3 : 1\,560. De Q_3 à D_9 : 2\,143. Les écarts s’allongent vers le haut — c’est encore l’étalement à droite.

Sur données groupées

La formule générale

q_p = e_{i-1} + a_i \times \frac{p - F_{i-1}}{F_i - F_{i-1}}

où [e_{i-1}\,;\,e_i[ est la classe dans laquelle F franchit p. C’est la formule de la médiane du chapitre 5, avec p à la place de 0{,}5.

Le premier quartile, en détail

p = 0{,}25 est franchi dans [4\,000\,;6\,000[, où F passe de 0{,}062 à 0{,}376 : Q_1 = 4\,000 + 2\,000 \times \frac{0{,}250-0{,}062}{0{,}376-0{,}062} = 4\,000 + 2\,000 \times 0{,}599 = 5\,197

La formule, dessinée

Une règle de trois sur un segment

Entre deux bornes, la courbe cumulative est un segment : le quantile se trouve à la même fraction de la classe que p de la montée de F.

Groupé contre exact

Comparer les deux calculs
Groupé Exact Écart
D_1 4\,242 4\,348 -2{,}4\,\%
Q_1 5\,197 5\,318 -2{,}3\,\%
Me 6\,747 6\,770 -0{,}3\,\%
Q_3 8\,532 8\,330 +2{,}4\,\%
D_9 11\,193 10\,473 +6{,}9\,\%
La limite du travail sur données groupées

L’approximation est excellente au centre et se dégrade vers les extrémités — là où les classes sont larges et le remplissage inégal. D_9 tombe dans [10\,000\,;14\,000[, dont les salariés se pressent près de la borne basse.

La boîte à moustaches

La construction

Les éléments

Comment on la lit
  • La boîte va de Q_1 à Q_3 : elle contient la moitié centrale des individus.
  • Le trait intérieur est la médiane.
  • Les moustaches s’étendent jusqu’aux valeurs les plus extrêmes situées à moins de 1{,}5\,IQ des quartiles.
  • Les points au-delà sont marqués individuellement : ce sont les valeurs atypiques.
La règle des 1,5 IQ

\text{seuil bas} = Q_1 - 1{,}5\,IQ \qquad\qquad \text{seuil haut} = Q_3 + 1{,}5\,IQ

Les valeurs atypiques des salaires

Le calcul des seuils

IQ = 8\,330 - 5\,318 = 3\,012, donc 1{,}5\,IQ = 4\,518.

Seuil haut : 8\,330 + 4\,518 = 12\,848. Seuil bas : 5\,318 - 4\,518 = 800, en dessous du minimum observé.

21 salariés dépassent le seuil haut, soit 4{,}2\,\% de l’effectif. Aucun en dessous.

Atypique ne veut pas dire faux

Ces 21 salariés ne sont pas des erreurs de saisie : ce sont des cadres expérimentés, parfaitement réels. La règle des 1{,}5\,IQ est une convention de repérage, pas un test.

Que les valeurs atypiques soient toutes du même côté est en soi une information : c’est la signature de l’asymétrie à droite.

Ce qu’une boîte montre d’un coup d’œil

Quatre informations
  1. Le niveau — la position de la médiane ;
  2. la dispersion — la largeur de la boîte ;
  3. l’asymétrie — la médiane décentrée dans la boîte, une moustache plus longue ;
  4. les valeurs atypiques, individuellement.

Quatre informations dans un dessin de deux centimètres de haut.

Son usage professionnel : comparer

Sa véritable force est la comparaison. Placer côte à côte les boîtes de plusieurs groupes montre instantanément lesquels diffèrent en niveau, en dispersion, en asymétrie. Le chapitre 11 le fera pour le diplôme.

Deux boîtes côte à côte

Même moyenne, deux distributions

Moyennes égales (7\,158 dirhams), mais la boîte des femmes est plus large — IQ de 3\,520 contre 2\,630 — et sa médiane plus basse. La boîte étroite des hommes fait apparaître plus de valeurs atypiques : atypique se juge par rapport à sa propre boîte.

Les mesures dérivées

Les indicateurs fondés sur les quantiles

Trois mesures
Mesure Formule Ce qu’elle dit
Intervalle interquartile IQ = Q_3 - Q_1 dispersion de la moitié centrale
Écart interquartile relatif IQ/Me dispersion relative, sans unité
Rapport interdécile D_9/D_1 inégalité entre les extrêmes
Sur nos données

IQ = 3\,012 \qquad \frac{IQ}{Me} = \frac{3\,012}{6\,770} = 0{,}445 \qquad \frac{D_9}{D_1} = \frac{10\,473}{4\,348} = 2{,}41

Le rapport interdécile

L’indicateur d’inégalité le plus lu

« Les 10\,\% les mieux payés gagnent au moins 2{,}41 fois plus que les 10\,\% les moins payés. »

Cette phrase est immédiatement compréhensible par un non-spécialiste : c’est pour cela que ce rapport figure dans les bilans sociaux d’entreprise et dans les publications sur les inégalités. À titre de repère, il est de l’ordre de 3 pour les salaires en France et dépasse 5 dans les pays très inégalitaires : notre entreprise est plutôt homogène.

Par sexe
D_1 D_9 D_9/D_1
Femmes 4\,074 10\,790 2{,}65
Hommes 4\,542 10\,276 2{,}26

Les salaires des femmes sont plus inégaux entre eux que ceux des hommes.

Des mesures robustes

Leur avantage décisif

Toutes ces mesures ne dépendent que des rangs.

Ajouter un dirigeant à 200\,000 dirhams ne déplace Q_1, Q_3 et D_9 que de quelques dirhams. L’écart-type, lui, serait plus que triplé : de 2\,598 à 8\,990 dirhams.

C’est pourquoi les organismes statistiques privilégient les quantiles pour décrire les revenus.

Leurs limites
  1. Elles ignorent ce qui se passe à l’intérieur de chaque part : deux distributions très différentes peuvent avoir les mêmes quartiles.
  2. Elles ne se prêtent pas au calcul algébrique : l’écart-type intervient dans des formules — covariance, corrélation, intervalles de confiance —, pas l’intervalle interquartile.

Le partage des rôles

Deux familles complémentaires

Quantiles pour décrire et publier ; moyenne et écart-type pour calculer et modéliser.

Un bon tableau de résultats donne les deux : niveau et dispersion par la médiane et l’intervalle interquartile, puis par la moyenne et l’écart-type. Leur désaccord est lui-même une information sur la forme.

S’entraîner

Exercice 1 : quantiles à la main

Les notes de onze étudiants

Notes sur 20, rangées : 4 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 17.

  1. Calculer D_1, Q_1, Me, Q_3 et D_9 avec la règle du rang 1 + p\,(n-1).
  2. Calculer l’intervalle interquartile et les seuils de la règle des 1{,}5\,IQ. Y a-t-il des notes atypiques ?
  3. Un douzième étudiant obtient 20. Recalculer la médiane et la moyenne. Laquelle a le plus bougé ?

Exercice 1 : solution

Les rangs et les valeurs
  1. Avec n = 11, le rang vaut 1 + 10\,p :
D_1 Q_1 Me Q_3 D_9
Rang 2 3{,}5 6 8{,}5 10
Valeur 6 (7+8)/2 = 7{,}5 10 (12+12)/2 = 12 14
Atypiques et robustesse
  1. IQ = 12 - 7{,}5 = 4{,}5 ; seuils 7{,}5 - 6{,}75 = 0{,}75 et 12 + 6{,}75 = 18{,}75 : aucune note atypique.
  2. Avec n = 12 : la médiane devient (10 + 11)/2 = 10{,}5 ; la moyenne passe de 110/11 = 10 à 130/12 = 10{,}83. La moyenne a bougé presque deux fois plus que la médiane.

Exercice 2 : des seuils pour une politique salariale

Avec le tableau en six classes du fil rouge
Classe [2\,;4[ [4\,;6[ [6\,;8[ [8\,;10[ [10\,;14[ [14\,;20[
F_i 0{,}062 0{,}376 0{,}708 0{,}866 0{,}980 1

Salaires en milliers de dirhams. La direction veut :

  1. une prime pour les 20\,\% les moins payés : sous quel salaire la verser ?
  2. une enquête auprès des 5\,\% les mieux payés : au-dessus de quel salaire ?
  3. Combien de salariés se trouvent entre ces deux seuils ?

Exercice 2 : solution

Deux quantiles par interpolation
  1. D_2 : 0{,}20 est franchi dans [4\,000\,;6\,000[ : D_2 = 4\,000 + 2\,000 \times \frac{0{,}20 - 0{,}062}{0{,}314} = 4\,000 + 879 = 4\,879 \text{ dirhams}
  2. C_{95} : 0{,}95 est franchi dans [10\,000\,;14\,000[ : C_{95} = 10\,000 + 4\,000 \times \frac{0{,}95 - 0{,}866}{0{,}114} = 10\,000 + 2\,947 = 12\,947 \text{ dirhams}
  3. Par construction, 95\,\% - 20\,\% = 75\,\% des salariés, soit 375.
Et sur les données exactes ?

D_2 = 5\,010 et C_{95} = 12\,295 : comme au tableau « groupé contre exact », l’écart grandit dans la classe large du haut.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Un quantile q_p est la valeur telle qu’une proportion p lui est inférieure : F(q_p)=p.
  2. Trois quartiles, neuf déciles, quatre-vingt-dix-neuf centiles — et Q_2 = D_5 = C_{50} = Me.
  3. Données brutes : valeur de rang 1 + p\,(n-1), en interpolant.
  4. Données groupées : une seule formule d’interpolation linéaire, celle de la médiane avec p.
  5. La boîte à moustaches montre niveau, dispersion, asymétrie et valeurs atypiques — et sert à comparer.
  6. Règle des 1{,}5\,IQ : une convention de repérage, pas un test.
  7. IQ, IQ/Me et D_9/D_1 sont robustes ; ils décrivent bien mais ne se calculent pas.
La suite

IQ mesure la dispersion à partir des rangs. Une autre famille repose sur les écarts à la moyenne — et elle donnera l’écart-type, l’indicateur le plus utilisé de toute la statistique. C’est le chapitre 7.

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