Statistique descriptive

Les indicateurs de forme

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Chapitre 8 : Les indicateurs de forme

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Au-delà du centre

Ce qui manque encore

Deux distributions, même moyenne, même écart-type

Et pourtant deux réalités différentes : l’une symétrique, l’autre étalée d’un côté ; l’une aux extrêmes rares, l’autre aux extrêmes fréquents.

Il faut donc deux indicateurs supplémentaires, qui répondent à deux questions distinctes :

  • l’asymétrie : la distribution penche-t-elle d’un côté ?
  • l’aplatissement : les valeurs extrêmes sont-elles fréquentes ?
Moment centré d’ordre r

m_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^r

Les quatre premiers moments

Ce que mesure chaque ordre
Ordre Valeur Ce qu’il mesure
r=1 m_1 = 0 rien — c’est la propriété d’équilibre
r=2 m_2 = V(x) la dispersion
r=3 m_3 l’asymétrie
r=4 m_4 l’aplatissement
Pourquoi les ordres impairs mesurent l’asymétrie

Une puissance impaire conserve le signe : un écart de -3 contribue pour -27, un écart de +3 pour +27. Ils se compensent si la distribution est symétrique, et ne se compensent pas sinon. Une puissance paire détruit le signe : (-3)^4 et (+3)^4 valent tous deux 81.

L’ordre trois détecte le déséquilibre, l’ordre quatre l’épaisseur des queues.

Les moments, à la main

Cinq valeurs : 2, 3, 4, 8, 13 ; moyenne 6
x_i e_i = x_i - 6 e_i^2 e_i^3 e_i^4
2 -4 16 -64 256
3 -3 9 -27 81
4 -2 4 -8 16
8 2 4 8 16
13 7 49 343 2\,401
Total \mathbf{0} \mathbf{82} \mathbf{252} \mathbf{2\,770}
La lecture de la colonne des cubes

Les quatre premiers cubes totalisent -91 ; le seul 343 de la valeur 13 fait basculer la somme. Le moment d’ordre trois est l’affaire de la queue.

L’asymétrie

Trois formes

Le coefficient de Fisher

Coefficient d’asymétrie

\gamma_1 = \frac{m_3}{\sigma^3}

On divise par \sigma^3 pour obtenir un nombre sans unité, comparable d’une variable à l’autre.

La lecture
Valeur Forme Position des indicateurs
\gamma_1 = 0 symétrique mode = médiane = moyenne
\gamma_1 > 0 étalée à droite mode < médiane < moyenne
\gamma_1 < 0 étalée à gauche mode > médiane > moyenne

Fisher, sur deux exemples

Les cinq valeurs

m_2 = 82/5 = 16{,}4, donc \sigma = 4{,}05 et \sigma^3 = 66{,}4 ; m_3 = 252/5 = 50{,}4 : \gamma_1 = \frac{50{,}4}{66{,}4} = 0{,}76

Nos 500 salaires

\gamma_1 = 1{,}16

Nettement positif : distribution étalée à droite, ce que confirment mode 6\,188 < médiane 6\,770 < moyenne 7\,158.

Repères usuels : à peu près symétrique si |\gamma_1| < 0{,}5, modérément asymétrique entre 0{,}5 et 1, fortement asymétrique au-delà — la règle pour les revenus.

Fisher sur données groupées

Les moments à partir des six classes, en milliers de dirhams
c_i n_i e_i = c_i - 7{,}21 n_i\,e_i^3 n_i\,e_i^4
3 31 -4{,}21 -2\,313 9\,738
5 157 -2{,}21 -1\,695 3\,745
7 166 -0{,}21 -2 0
9 79 1{,}79 453 811
12 57 4{,}79 6\,264 30\,007
17 10 9{,}79 9\,383 91\,860
Total \mathbf{500} \mathbf{12\,091} \mathbf{136\,162}

Les coefficients sur données groupées

Asymétrie et aplatissement, à partir du tableau

m_3 = \frac{12\,091}{500} = 24{,}18 \qquad \sigma^3 = 2{,}772^3 = 21{,}31 \qquad \gamma_1 = \frac{24{,}18}{21{,}31} = 1{,}13 m_4 = \frac{136\,162}{500} = 272{,}3 \qquad \sigma^4 = 7{,}686^2 = 59{,}07 \qquad \gamma_2 = \frac{272{,}3}{59{,}07} = 4{,}61

Contre 1{,}16 et 4{,}84 sur les données exactes.

Tout se joue dans la queue

Les deux dernières classes apportent 15\,647 à la somme des cubes, qui ne vaut que 12\,091 : sans elles, elle serait négative. Elles font aussi près de 90\,\% de la somme des puissances quatrièmes.

Les autres coefficients

Deux mesures alternatives

Coefficient de Pearson — fondé sur l’écart entre moyenne et mode : A_P = \frac{\overline{x} - \text{mode}}{\sigma}

Coefficient de Yule — fondé sur les quartiles : A_Y = \frac{(Q_3 - Me) - (Me - Q_1)}{Q_3 - Q_1} = \frac{Q_3 + Q_1 - 2Me}{Q_3 - Q_1}

Trois façons de voir l’asymétrie

Fisher utilise tous les écarts, Pearson l’écart entre la moyenne et le mode, Yule la position de la médiane dans la boîte.

Trois coefficients, trois valeurs

Les trois, sur nos salaires
Coefficient Calcul Valeur
Fisher \gamma_1 m_3/\sigma^3 1{,}16
Pearson A_P (7\,158 - 6\,188)/2\,598 0{,}37
Yule A_Y (8\,330 + 5\,318 - 2 \times 6\,770)/3\,012 0{,}036
Un écart qui demande une explication

De 0{,}036 à 1{,}16 : les trois coefficients s’accordent sur le sens de l’asymétrie, pas sur son ampleur. La diapositive suivante dit pourquoi.

Pourquoi ils diffèrent autant

Ils ne mesurent pas la même chose

Yule ne regarde que la boîte : la médiane est presque au centre de l’intervalle interquartile, d’où une valeur quasi nulle. Le cœur de la distribution est presque symétrique.

Fisher utilise toutes les valeurs, en donnant un poids au cube aux plus éloignées : il capte pleinement la queue droite.

La comparaison des deux est un diagnostic : A_Y \simeq 0 et \gamma_1 = 1{,}16 signifient que l’asymétrie ne vient pas du centre mais de la queue. La masse des salariés est répartie symétriquement ; quelques hauts salaires créent l’étalement.

Ce que cela vaut pour une négociation

« Les salaires sont-ils inégalement répartis ? » Pour la majorité du personnel, la répartition est équilibrée ; ce sont les rémunérations les plus élevées qui créent l’asymétrie. Un seul indicateur aurait manqué cette nuance : on en calcule toujours deux.

Le logarithme redresse les revenus

Une propriété des revenus

Le logarithme comprime les grandes valeurs bien plus que les petites : la queue droite se replie, et \gamma_1 tombe de 1{,}16 à 0{,}14. D’où l’usage du logarithme du salaire en économie — et la moyenne géométrique (6\,738 dirhams) si proche de la médiane.

L’aplatissement

Le coefficient d’aplatissement

Coefficient d’aplatissement

\gamma_2 = \frac{m_4}{\sigma^4}

La référence est la loi normale, pour laquelle \gamma_2 = 3.

La lecture
Valeur Nom Interprétation
\gamma_2 = 3 mésokurtique comme la loi normale
\gamma_2 > 3 leptokurtique pic plus aigu, queues épaisses
\gamma_2 < 3 platykurtique distribution plus plate

L’aplatissement, en chiffres

Sur nos salaires

\gamma_2 = 4{,}84 \qquad\text{soit un excès de } 1{,}84

Distribution leptokurtique : les salaires très éloignés de la moyenne sont plus fréquents que sous une loi normale de même écart-type.

La notation à surveiller

Certains logiciels affichent l’excès d’aplatissement, \gamma_2 - 3, dont la référence est 0. R (kurtosis de moments) donne \gamma_2 ; Python (scipy.stats.kurtosis) donne l’excès par défaut, sauf avec fisher=False. Vérifiez toujours la convention avant d’interpréter.

Ce que l’aplatissement dit vraiment

Une idée fausse répandue

On enseigne souvent que \gamma_2 mesure « la hauteur du pic ». C’est inexact.

Le moment d’ordre quatre donne un poids en (x-\overline{x})^4 : les valeurs proches de la moyenne contribuent presque rien. Dans le tableau groupé, les deux dernières classes font 121\,867 des 136\,162 — près de 90\,\%.

L’aplatissement mesure l’épaisseur des queues, pas la forme du sommet.

L’indicateur central de la finance

Les rentabilités boursières quotidiennes ont souvent un \gamma_2 de 5 à 10, parfois davantage : les fortes variations sont bien plus fréquentes que ne le prédit une loi normale. Les modèles de risque qui supposent la normalité sous-estiment les pertes extrêmes — un reproche souvent adressé à la Value at Risk gaussienne après la crise de 2008.

En pratique

La fiche d’identité d’une distribution

Les six nombres à donner
Question Indicateur Valeur
Où ? moyenne 7\,158
Où ? (robuste) médiane 6\,770
Combien dispersée ? écart-type 2\,598
Dispersion relative CV 0{,}363
Penche-t-elle ? \gamma_1 1{,}16
Queues épaisses ? \gamma_2 4{,}84
Ce que ces six nombres racontent

Des salaires centrés autour de 6\,800 dirhams, assez dispersés, nettement étalés vers les hauts salaires, avec des valeurs élevées plus fréquentes que sous une loi normale. Le diagnostic tient en une phrase et se recalcule par n’importe qui sur les mêmes données.

Une mise en garde finale

Les moments sont fragiles

\gamma_1 élève les écarts au cube, \gamma_2 à la puissance quatre. Une seule valeur aberrante peut donc les bouleverser.

Sur nos données, remplacer le plus haut salaire par 190\,050 dirhams ferait passer \gamma_1 de 1{,}16 à 19{,}4 et \gamma_2 de 4{,}8 à 414 — une seule ligne modifiée sur cinq cents.

Toujours regarder l’histogramme et la boîte à moustaches avant d’interpréter un coefficient de forme. Une valeur extrême de \gamma_2 signale bien plus souvent une erreur de saisie qu’une propriété de la population.

S’entraîner

Exercice 1 : l’asymétrie des délais de paiement

Les délais de paiement de 100 clients
Délai (jours) [0\,;30[ [30\,;60[ [60\,;90[ [90\,;150[
Clients n_i 40 30 20 10
  1. Calculer les centres c_i, puis u_i = (c_i - 45)/15.
  2. Calculer \overline{u} et V(u), puis \overline{x} et \sigma_x.
  3. Calculer le moment centré d’ordre trois de u, puis \gamma_1. Pourquoi peut-on le calculer directement sur u ?

Exercice 1 : solution

Moyenne et dispersion
  1. Centres 15, 45, 75, 120 ; d’où u = -2, 0, 2, 5.
  2. \sum n_i u_i = -80 + 0 + 40 + 50 = 10, donc \overline{u} = 0{,}1 ; \sum n_i u_i^2 = 160 + 0 + 80 + 250 = 490, donc V(u) = 4{,}9 - 0{,}01 = 4{,}89. Alors \overline{x} = 45 + 15 \times 0{,}1 = 46{,}5 jours et \sigma_x = 15 \times \sqrt{4{,}89} = 33{,}2 jours.
Le moment d’ordre trois
  1. Écarts u_i - 0{,}1 : -2{,}1 ; -0{,}1 ; 1{,}9 ; 4{,}9. Leurs cubes pondérés : -370{,}4 ; -0{,}03 ; 137{,}2 ; 1\,176{,}5, de somme 943{,}2. Donc m_3(u) = 9{,}43 et \gamma_1 = \frac{9{,}43}{4{,}89^{3/2}} = \frac{9{,}43}{10{,}81} = 0{,}87 \gamma_1 est sans unité : changer d’origine et d’unité ne le modifie pas. Distribution modérément étalée à droite.

Exercice 2 : le logarithme et la symétrie

Cinq revenus qui doublent

Cinq ménages déclarent des revenus mensuels de 2, 4, 8, 16 et 32 milliers de dirhams.

  1. Calculer la moyenne et la médiane. Que dit leur position ?
  2. Prendre le logarithme de base 2 de chaque revenu. Quelle forme a la nouvelle série ? Que vaut son \gamma_1 ?
  3. Revenir à l’échelle des dirhams : à quoi correspond la moyenne des logarithmes ?

Exercice 2 : solution

Une asymétrie qui disparaît
  1. Moyenne 62/5 = 12{,}4, médiane 8 : la moyenne dépasse nettement la médiane, la série est étalée à droite (\gamma_1 = 0{,}89).
  2. Les logarithmes valent 1, 2, 3, 4, 5 : une série parfaitement symétrique, de moyenne 3 et de \gamma_1 = 0.
  3. 2^3 = 8 milliers : c’est la moyenne géométrique des revenus, \sqrt[5]{2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32} = 8. Elle coïncide ici avec la médiane.
La leçon

Des revenus qui progressent par multiplication sont asymétriques en niveau et symétriques en logarithme. C’est l’origine de l’asymétrie à droite de presque toutes les distributions de revenus.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Moment centré d’ordre r : m_r = \frac1n\sum(x_i-\overline{x})^r. Ordre 2 : dispersion. Ordre 3 : asymétrie. Ordre 4 : aplatissement.
  2. Ordres impairs pour le sens, ordres pairs pour l’ampleur.
  3. \gamma_1 = m_3/\sigma^3 : positif, la distribution est étalée à droite. Yule et Pearson donnent d’autres regards.
  4. \gamma_2 = m_4/\sigma^4 : la référence est 3. Au-delà, queues épaisses.
  5. Les coefficients sont sans unité : on peut les calculer sur une variable transformée u.
  6. Le logarithme redresse les distributions de revenus.
  7. Ces coefficients sont très sensibles aux valeurs extrêmes : jamais sans le graphique.
La suite

Il reste une question que ni la dispersion ni la forme ne traitent : comment la masse totale se répartit-elle entre les individus ? C’est celle de la concentration, et c’est le chapitre 9.

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