Statistique descriptive

Le regroupement en classes

Statistique descriptive

Statistique descriptive

Chapitre 3 : Le regroupement en classes

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Pourquoi des classes

L’obligation

Le tableau du chapitre 2 est impossible ici

Le salaire prend 381 valeurs différentes sur 500 salariés. Un tableau à 381 lignes ne résume rien : il est plus long que la question qu’il prétend traiter.

Pour une variable continue, on n’a pas le choix : il faut regrouper les valeurs en intervalles.

Classe

Une classe est un intervalle [e_{i-1}\,;\,e_i[, fermé à gauche et ouvert à droite.

  • e_{i-1} et e_i sont les bornes ;
  • a_i = e_i - e_{i-1} est l’amplitude ;
  • c_i = \dfrac{e_{i-1}+e_i}{2} est le centre de classe.

La convention d’écriture

Elle n’est pas décorative

[4\,000\,;6\,000[ signifie : de 4\,000 inclus à 6\,000 exclu.

Un salarié à 6\,000 dirhams appartient à la classe suivante, et à elle seule. C’est ce qui garantit que les modalités sont incompatibles, exigence posée au chapitre 1. Un tableau écrit avec des classes [4\,000\,;6\,000] et [6\,000\,;8\,000] est faux.

Bornes, amplitude, centre
Classe e_{i-1} e_i a_i c_i
[4\,000\,;6\,000[ 4\,000 6\,000 2\,000 5\,000
[10\,000\,;14\,000[ 10\,000 14\,000 4\,000 12\,000
[14\,000\,;20\,000[ 14\,000 20\,000 6\,000 17\,000

Combien de classes

Deux règles empiriques

Sturges et la racine

\text{règle de Sturges : } \quad k \approx 1 + 3{,}3\,\log_{10}(n) \qquad\qquad \text{règle de la racine : } \quad k \approx \sqrt{n}

Sur nos données

Sturges : 1 + 3{,}3 \times \log_{10}(500) = 1 + 3{,}3 \times 2{,}70 = 9{,}9, soit une dizaine de classes.

Racine : \sqrt{500} = 22{,}4.

Les deux règles ne s’accordent pas. Elles ne sont qu’indicatives.

Trop peu, assez, trop

Le vrai critère est l’arbitrage

Trop peu de classes écrase la forme ; trop de classes laisse voir le hasard, chaque classe contenant trop peu d’individus pour être stable. Le bon nombre laisse voir la forme sans laisser voir le hasard : il se juge sur l’histogramme, en essayant deux ou trois découpages.

Le choix des bornes

Trois principes
  1. Des bornes rondes et lisibles : 4\,000, 6\,000, 8\,000 — jamais 4\,137.
  2. Aucune classe vide à l’intérieur du tableau.
  3. Des classes plus larges là où les données sont rares — c’est-à-dire dans les queues.
Le raisonnement, pas à pas, sur les salaires
  1. Étendue : 19\,050 - 2\,810 = 16\,240 dirhams.
  2. Sturges propose k \approx 10, soit une amplitude d’environ 16\,240/10 \approx 1\,600, arrondie à 2\,000.
  3. Bornes rondes de 2\,000 à 20\,000 : neuf classes de 2\,000.
  4. Au-delà de 10\,000, les cinq dernières classes ne comptent que 38, 19, 6, 3 et 1 salariés : on les fusionne en [10\,000\,;14\,000[ et [14\,000\,;20\,000[.

Le découpage retenu pour les salaires

Six classes, dont deux plus larges
Classe n_i f_i a_i N_i F_i
[2\,000\,;4\,000[ 31 0{,}062 2\,000 31 0{,}062
[4\,000\,;6\,000[ 157 0{,}314 2\,000 188 0{,}376
[6\,000\,;8\,000[ 166 0{,}332 2\,000 354 0{,}708
[8\,000\,;10\,000[ 79 0{,}158 2\,000 433 0{,}866
[10\,000\,;14\,000[ 57 0{,}114 4\,000 490 0{,}980
[14\,000\,;20\,000[ 10 0{,}020 6\,000 500 1{,}000
Total \mathbf{500} \mathbf{1{,}000}
Pourquoi les deux dernières classes sont plus larges

Découper de 2\,000 en 2\,000 jusqu’à 20\,000 donnerait des classes à 1, 3 ou 6 individus, illisibles et instables. Mais élargir les classes a un prix : l’histogramme ne peut plus se lire en effectifs.

Amplitudes inégales, le prix

L’erreur qu’il faut voir une fois

La densité

Densité de fréquence

d_i = \frac{n_i}{a_i} \qquad\text{ou, en fréquences,}\qquad \frac{f_i}{a_i}

Dans un histogramme, c’est la densité qui donne la hauteur du rectangle, jamais l’effectif.

La règle, en une phrase

Dans un histogramme, c’est l’aire qui représente l’effectif, pas la hauteur.

Aire du rectangle = base \times hauteur = a_i \times \dfrac{n_i}{a_i} = n_i. L’amplitude se simplifie : chaque rectangle a une aire égale à son effectif, quelles que soient les largeurs choisies.

Le calcul des densités

Le calcul complet sur nos classes
Classe n_i a_i d_i = n_i/a_i
[2\,000\,;4\,000[ 31 2\,000 0{,}0155
[4\,000\,;6\,000[ 157 2\,000 0{,}0785
[6\,000\,;8\,000[ 166 2\,000 0{,}0830
[8\,000\,;10\,000[ 79 2\,000 0{,}0395
[10\,000\,;14\,000[ 57 4\,000 0{,}0143
[14\,000\,;20\,000[ 10 6\,000 0{,}0017

La densité se lit en salariés par dirham ; multipliée par 1\,000, en salariés par tranche de 1\,000 dirhams : 83 dans la classe modale.

Ce que la correction change

Une erreur presque toujours involontaire

Sur l’histogramme en effectifs, la classe [10\,000\,;14\,000[ paraît deux fois plus fournie que la première classe. En densité, elle est en réalité au même niveau : 0{,}0143 contre 0{,}0155.

Un lecteur non averti aurait conclu que les hauts salaires sont plus nombreux qu’ils ne le sont. C’est le moyen le plus courant de mentir avec un histogramme.

Une vérification qui ne trompe pas

La somme des aires a_i\,d_i redonne l’effectif total : 2\,000 \times 0{,}2165 + 4\,000 \times 0{,}0143 + 6\,000 \times 0{,}0017 = 433 + 57 + 10 = 500

La classe ouverte

Un cas particulier fréquent

Un tableau publié se termine souvent par « 14\,000 dirhams et plus » : la borne supérieure est inconnue. On ne peut alors calculer ni la densité, ni le centre de classe, ni donc la moyenne.

Les deux solutions
  1. Fermer arbitrairement la classe, en lui donnant l’amplitude de la précédente. C’est la convention la plus répandue.
  2. Renoncer à la moyenne et travailler avec la médiane, qui n’a pas besoin des valeurs extrêmes.

La seconde est plus honnête. C’est aussi pourquoi les revenus se publient en médiane : la classe la plus haute est toujours ouverte.

Fermer une classe : ce que cela change

Deux fermetures, deux moyennes

Supposons la dernière classe publiée comme « 14\,000 et plus », avec ses 10 salariés.

  • Fermée à 20\,000 : centre 17\,000, moyenne groupée 7\,210 dirhams.
  • Fermée avec l’amplitude précédente, à 18\,000 : centre 16\,000, et \overline{x} = 7\,210 - \frac{10 \times (17\,000 - 16\,000)}{500} = 7\,210 - 20 = 7\,190
Peu de salariés, mais un effet visible

Dix salariés sur 500 déplacent la moyenne de 20 dirhams selon une convention que personne ne peut vérifier. La médiane, elle, ne bouge pas.

Le centre de classe

Une hypothèse qu’on oublie

Le centre de classe

c_i = \frac{e_{i-1}+e_i}{2}

Pour tous les calculs qui suivent — moyenne, variance, moments — on remplace chaque individu de la classe par le centre de sa classe.

L’hypothèse d’équirépartition

On suppose que les individus sont uniformément répartis à l’intérieur de chaque classe. C’est faux en général, mais les erreurs se compensent partiellement d’une classe à l’autre.

Centre de classe contre moyenne réelle

Ce que gagnent vraiment les salariés de chaque classe
Classe Centre c_i Moyenne réelle Écart
[2\,000\,;4\,000[ 3\,000 3\,528 -528
[4\,000\,;6\,000[ 5\,000 5\,078 -78
[6\,000\,;8\,000[ 7\,000 6\,995 +5
[8\,000\,;10\,000[ 9\,000 8\,838 +162
[10\,000\,;14\,000[ 12\,000 11\,470 +530
[14\,000\,;20\,000[ 17\,000 15\,927 +1\,073
La lecture

Dans les classes centrales, le centre est presque exact. Aux deux bouts, il pousse les salariés vers l’extérieur : trop bas en bas, trop haut en haut. On s’en souviendra pour la variance, au chapitre 7.

Le coût de l’approximation, chiffré

La moyenne à partir du tableau

Moyenne sur les 500 valeurs exactes : 7\,158 dirhams. À partir du tableau, chaque salarié est remplacé par son centre ; en milliers de dirhams : \sum n_i\,c_i = 3 \times 31 + 5 \times 157 + 7 \times 166 + 9 \times 79 + 12 \times 57 + 17 \times 10 = 3\,605 \overline{x} = 3\,605\,000 / 500 = 7\,210 \text{ dirhams}

Écart : 52 dirhams, soit 0{,}7\,\%.

La leçon

L’approximation est excellente tant que les classes sont fines là où les données sont denses. L’essentiel de l’écart vient des deux dernières classes, larges et remplies surtout près de leur borne basse. La moyenne sur données groupées reste une approximation, à ne pas donner au dirham près.

Interpoler à l’intérieur d’une classe

Une proportion entre deux valeurs quelconques

Sous l’hypothèse d’équirépartition, la part d’une classe située sous une valeur x est proportionnelle à la longueur parcourue : n_i \times \frac{x - e_{i-1}}{a_i}

Combien gagnent moins de 5 000 dirhams ?

Toute la première classe, 31 salariés, plus la moitié de [4\,000\,;6\,000[ : 31 + 157 \times \frac{5\,000 - 4\,000}{2\,000} = 31 + 78{,}5 = 109{,}5 \text{ salariés, soit } 21{,}9\,\%

Le fichier exact en compte 98 : les salariés de cette classe sont un peu plus nombreux dans sa moitié haute. C’est le même calcul qui donnera la médiane au chapitre 6.

S’entraîner

Exercice 1 : construire les classes

Les temps de trajet de 24 salariés

Durée du trajet domicile–travail, en minutes, rangée par ordre croissant :

8, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 25, 28, 30, 32, 35, 35, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 55, 60, 70, 85, 110.

  1. Calculer l’étendue et le nombre de classes proposé par Sturges.
  2. On retient les classes [0\,;20[, [20\,;40[, [40\,;60[, [60\,;80[ et [80\,;120[. Dresser le tableau : n_i, f_i, a_i, d_i, F_i.
  3. Quelle classe a la plus forte densité ? Pourquoi la dernière classe est-elle plus large, et quelle hauteur lui donner dans l’histogramme ?

Exercice 1 : solution

Étendue, Sturges et tableau
  1. Étendue 110 - 8 = 102 minutes ; Sturges : 1 + 3{,}3 \times \log_{10}(24) = 1 + 3{,}3 \times 1{,}38 = 5{,}6, soit cinq ou six classes.
Classe n_i f_i a_i d_i F_i
[0\,;20[ 4 0{,}167 20 0{,}20 0{,}167
[20\,;40[ 10 0{,}417 20 0{,}50 0{,}583
[40\,;60[ 6 0{,}250 20 0{,}30 0{,}833
[60\,;80[ 2 0{,}083 20 0{,}10 0{,}917
[80\,;120[ 2 0{,}083 40 0{,}05 1{,}000

Exercice 1 : solution, la lecture

Densité et dernière classe
  1. La plus forte densité est celle de [20\,;40[ : 0{,}5 salarié par minute, soit 10 salariés pour 20 minutes.

La dernière classe est élargie parce que les longs trajets sont rares : en [80\,;100[ et [100\,;120[, on n’aurait qu’un salarié chacune. Sa hauteur est sa densité, 2/40 = 0{,}05 : moitié de celle de [60\,;80[, alors que les deux classes ont le même effectif.

À retenir

Deux classes de même effectif mais d’amplitudes différentes n’ont pas la même hauteur. C’est l’aire, a_i \times d_i = 2, qui est la même.

Exercice 2 : interpoler dans les classes

Les salaires entre 7 000 et 9 000 dirhams

On n’a que le tableau en six classes des 500 salaires (diapositive « Le découpage retenu »).

  1. Sous l’hypothèse d’équirépartition, estimer le nombre de salariés dont le salaire est compris entre 7\,000 et 9\,000 dirhams.
  2. Le fichier exact en compte 136. Calculer l’erreur relative de l’estimation.
  3. Estimer de même la part des salariés gagnant au moins 12\,000 dirhams.

Exercice 2 : solution

Deux moitiés de classes
  1. La moitié haute de [6\,000\,;8\,000[ et la moitié basse de [8\,000\,;10\,000[ : 166 \times \frac{8\,000 - 7\,000}{2\,000} + 79 \times \frac{9\,000 - 8\,000}{2\,000} = 83 + 39{,}5 = 122{,}5 \text{ salariés}
  2. Erreur : (122{,}5 - 136)/136 = -9{,}9\,\%. L’estimation sous-évalue : dans ces deux classes, les salariés ne sont pas uniformément répartis.
  3. La moitié haute de [10\,000\,;14\,000[ plus toute la dernière classe : 57 \times \frac{14\,000 - 12\,000}{4\,000} + 10 = 28{,}5 + 10 = 38{,}5 \text{ salariés, soit } 7{,}7\,\%

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Une variable continue doit être regroupée en classes [e_{i-1}\,;\,e_i[.
  2. Sturges donne un ordre de grandeur ; le nombre de classes se juge sur l’histogramme.
  3. Bornes rondes, pas de classe vide, classes plus larges dans les queues.
  4. Densité d_i = n_i/a_i : c’est elle qui donne la hauteur d’un histogramme ; l’aire représente l’effectif.
  5. Une classe ouverte doit être fermée par convention — ou l’on renonce à la moyenne.
  6. Le centre de classe remplace les individus dans les calculs : bonne approximation au centre, biaisée aux deux bouts.
  7. Sous l’équirépartition, on interpole à l’intérieur d’une classe.
La suite

Chaque colonne du tableau appelle maintenant sa représentation graphique, qui dépend du type de la variable. C’est le chapitre 4.

← Chapitre précédentLe tableau statistique Chapitre suivant →Une colonne, un graphique

Ressources du chapitre