Statistique descriptive
Les indicateurs de dispersion
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que la statistique ?
- Population, variable, modalité
- Le tableau statistique
- Le regroupement en classes
- Une colonne, un graphique
- Les indicateurs de tendance centrale
- Les quantiles
- Les indicateurs de dispersion
- Les indicateurs de forme
- La concentration
- Croiser deux variables
- Distributions conjointe, marginales, conditionnelles
- La covariance
- Corrélation et droite d'ajustement
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
Statistique descriptive
Chapitre 7 : Les indicateurs de dispersion
La moyenne ne suffit pas
Deux entreprises, une même moyenne
Le constat
Ce qu’on cherche
Un indicateur de dispersion mesure à quel point les observations s’écartent les unes des autres, ou de leur centre.
Il répond à : la moyenne est-elle représentative ?
La conséquence pratique
Deux entreprises annoncent un salaire moyen de 7\,158 dirhams. Dans la première, presque tout le monde gagne entre 6\,000 et 8\,000. Dans la seconde, les salaires vont de 2\,800 à 19\,000. Un candidat n’y court pas le même risque.
Une moyenne publiée sans mesure de dispersion n’est pas une information — c’est au mieux un ordre de grandeur.
Les mesures simples
L’étendue
Étendue
E = x_{\max} - x_{\min} \qquad\qquad \text{sur nos salaires : } E = 19\,050 - 2\,810 = 16\,240 \text{ dirhams}
Simple, et presque inutilisable
Elle ne dépend que de deux observations sur 500 — les deux plus extrêmes, c’est-à-dire les moins représentatives.
Pire : elle croît mécaniquement avec n. Plus on observe d’individus, plus on a de chances de rencontrer une valeur extrême. Comparer les étendues de deux échantillons de tailles différentes n’a donc aucun sens. On la mentionne parce qu’elle est intuitive, jamais pour conclure.
L’écart absolu moyen
Écart absolu moyen
e = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left|x_i - \overline{x}\right| \qquad\qquad \text{sur nos salaires : } e = 1\,972 \text{ dirhams}
Un salarié s’écarte en moyenne de 1\,972 dirhams du salaire moyen.
Le plus naturel, et presque jamais employé
Il répond exactement à la question posée. Mais la valeur absolue ne se dérive pas et ne se manipule pas algébriquement : impossible de la décomposer par sous-groupes ou de la faire entrer dans un intervalle de confiance.
D’où le recours au carré, qui remplit la même fonction — annuler les signes — tout en restant dérivable.
La variance et l’écart-type
Les définitions
Variance
V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2
C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Écart-type
\sigma_x = \sqrt{V(x)}
On prend la racine pour revenir à l’unité de la variable.
Des écarts aux carrés des écarts
Les dix premiers salariés du fichier
\sum (x_i - \overline{x})^2 = 66{,}33 millions, donc V = 6{,}633 millions de dh^2 et \sigma = 2\,576 dirhams.
Variance et écart-type des salaires
Sur nos 500 salaires
V = 6\,750\,122 \ \text{dirhams}^2 \qquad\qquad \sigma = 2\,598 \text{ dirhams}
Pourquoi l’écart-type et pas la variance
La variance s’exprime en dirhams au carré, une unité qui ne veut rien dire. On ne peut ni la comparer à la moyenne, ni la reporter sur un graphique.
L’écart-type est en dirhams : il se compare directement à la moyenne, se lit sur l’axe, s’ajoute et se retranche.
On calcule avec la variance, on communique avec l’écart-type.
La formule de calcul
Théorème de König-Huygens
V(x) = \frac{1}{n}\sum x_i^2 \;-\; \overline{x}^2 \;=\; \overline{x^2} - \overline{x}^2
La moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
La démonstration, en trois lignes
\frac1n\sum (x_i-\overline{x})^2 = \frac1n\sum \left(x_i^2 - 2\overline{x}x_i + \overline{x}^2\right) = \frac1n\sum x_i^2 \;-\; 2\overline{x}\underbrace{\frac1n\sum x_i}_{=\ \overline{x}} \;+\; \overline{x}^2 = \overline{x^2} - 2\overline{x}^2 + \overline{x}^2 = \overline{x^2}-\overline{x}^2
König-Huygens, en pratique
Vérification numérique
\overline{x^2} = 57\,990\,808 \qquad \overline{x}^2 = 7\,158{,}26^2 = 51\,240\,686 V = 57\,990\,808 - 51\,240\,686 = 6\,750\,122 \quad \checkmark
Pourquoi cette formule compte, au-delà du calcul
Elle ne demande qu’un seul passage sur les données : on cumule \sum x_i et \sum x_i^2 en même temps. C’est la formule des tableurs et des calculatrices — et c’est celle dont la covariance sera la généralisation au chapitre 12. Retenez sa structure : moyenne du produit moins produit des moyennes.
Les propriétés
Trois propriétés à connaître
- V(x) \geq 0, et V(x)=0 si et seulement si toutes les valeurs sont égales.
- V(x + b) = V(x) : ajouter une constante ne change pas la dispersion.
- V(a\,x) = a^2\,V(x), donc \sigma_{ax} = |a|\,\sigma_x.
La propriété 2 en clair
Une augmentation générale de 500 dirhams pour tous ne réduit pas les inégalités : l’écart-type est inchangé, 2\,598 dirhams.
Une augmentation de 10\,\% pour tous multiplie l’écart-type par 1{,}1 : il passe à 2\,858 dirhams. Elle augmente l’écart absolu entre les salariés.
Sur données groupées
Les formules pondérées
Variance d’une distribution groupée
Avec k classes de centres c_i, d’effectifs n_i et de fréquences f_i = n_i/n : V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i\,(c_i-\overline{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i\,c_i^2 \;-\; \overline{x}^2 = \sum_{i=1}^{k} f_i\,c_i^2 \;-\; \overline{x}^2 Pour une variable discrète, la valeur x_i remplace le centre c_i.
Rien de nouveau
C’est la définition du début du chapitre, où chaque centre est répété n_i fois : les 500 termes de la somme se regroupent en k = 6 paquets. König-Huygens s’applique tel quel.
Le tableau de calcul
Les salaires en six classes, en milliers de dirhams
| Classe | c_i | n_i | n_i\,c_i | n_i\,c_i^2 |
|---|---|---|---|---|
| [2\,;4[ | 3 | 31 | 93 | 279 |
| [4\,;6[ | 5 | 157 | 785 | 3\,925 |
| [6\,;8[ | 7 | 166 | 1\,162 | 8\,134 |
| [8\,;10[ | 9 | 79 | 711 | 6\,399 |
| [10\,;14[ | 12 | 57 | 684 | 8\,208 |
| [14\,;20[ | 17 | 10 | 170 | 2\,890 |
| Total | \mathbf{500} | \mathbf{3\,605} | \mathbf{29\,835} |
Pourquoi compter en milliers
En dirhams, la dernière colonne monterait à des milliards : illisible, et source d’erreurs. Diviser par 1\,000 divise \overline{x} par 1\,000 et V par 1\,000^2 — la propriété V(ax) = a^2\,V(x), mise au service du calcul.
Les trois lignes du calcul
Moyenne, moyenne des carrés, variance
\overline{x} = \frac{3\,605}{500} = 7{,}21 \qquad\qquad \overline{x^2} = \frac{29\,835}{500} = 59{,}67 V(x) = 59{,}67 - 7{,}21^2 = 59{,}67 - 51{,}984 = 7{,}686 \quad \text{(milliers de dirhams)}^2 \sigma_x = \sqrt{7{,}686} = 2{,}772 \text{ milliers, soit } 2\,772 \text{ dirhams}
Une vérification à faire
On peut refaire le calcul par la définition, \frac{1}{n}\sum n_i (c_i - 7{,}21)^2 : on trouve le même 7{,}686. Les deux formules sont équivalentes sur données groupées comme sur données brutes.
Changer d’origine et d’unité
Le changement de variable
On pose u_i = \dfrac{c_i - x_0}{a}, où x_0 est un centre situé vers le milieu du tableau et a une amplitude commode. Alors \overline{x} = x_0 + a\,\overline{u} \qquad\qquad V(x) = a^2\,V(u)
Ce que cela achète
Les u_i sont de petits nombres, souvent négatifs : les produits n_i u_i et n_i u_i^2 se font de tête. Les deux formules ne sont que les propriétés de la moyenne (chapitre 5) et de la variance, lues à l’envers.
Le changement de variable, appliqué
Avec x_0 = 7000 et a = 1000
| c_i | u_i | n_i | n_i\,u_i | n_i\,u_i^2 |
|---|---|---|---|---|
| 3\,000 | -4 | 31 | -124 | 496 |
| 5\,000 | -2 | 157 | -314 | 628 |
| 7\,000 | 0 | 166 | 0 | 0 |
| 9\,000 | 2 | 79 | 158 | 316 |
| 12\,000 | 5 | 57 | 285 | 1\,425 |
| 17\,000 | 10 | 10 | 100 | 1\,000 |
| Total | \mathbf{500} | \mathbf{105} | \mathbf{3\,865} |
Le retour à l’échelle des dirhams
Le résultat
\overline{u} = \frac{105}{500} = 0{,}21 \qquad V(u) = \frac{3\,865}{500} - 0{,}21^2 = 7{,}73 - 0{,}0441 = 7{,}6859 \overline{x} = 7\,000 + 1\,000 \times 0{,}21 = 7\,210 \qquad V(x) = 1\,000^2 \times 7{,}6859 = 7\,685\,900
On retrouve \sigma_x = 2\,772 dirhams, avec des calculs qui tiennent sur une feuille.
Le choix de x_0 et de a
N’importe quel x_0 et n’importe quel a conviennent : le résultat est exact quel que soit le choix. On prend un centre proche du milieu, pour que les u_i soient petits, et l’amplitude la plus fréquente, pour qu’ils soient entiers.
Groupé contre exact
Ce que coûte le regroupement
| Indicateur | Groupé | Exact | Écart |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 7\,210 | 7\,158 | +0{,}7\,\% |
| Écart absolu moyen | 2\,049 | 1\,972 | +3{,}9\,\% |
| Écart-type | 2\,772 | 2\,598 | +6{,}7\,\% |
| Variance | 7\,685\,900 | 6\,750\,122 | +13{,}9\,\% |
| CV | 0{,}385 | 0{,}363 |
Pourquoi le regroupement exagère ici la dispersion
Les centres poussent les classes extrêmes vers l’extérieur (chapitre 3) : dans [2\,000\,;4\,000[, la moyenne réelle est 3\,528, pas 3\,000 ; dans [14\,000\,;20\,000[, 15\,927, pas 17\,000. Les écarts sont gonflés aux deux bouts, et le carré amplifie le gonflement. Une variance tirée d’un tableau en classes se donne avec deux ou trois chiffres significatifs.
La dispersion relative
Le coefficient de variation
Coefficient de variation
CV = \frac{\sigma_x}{\overline{x}}
C’est un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage. Il exige \overline{x} > 0.
Comparer deux variables incomparables
| Variable | Moyenne | Écart-type | CV |
|---|---|---|---|
| Salaire | 7\,158 dh | 2\,598 dh | 0{,}363 |
| Ancienneté | 10{,}14 ans | 5{,}96 ans | 0{,}588 |
Les écarts-types, l’un en dirhams et l’autre en années, ne se comparent pas. Les CV, si : l’ancienneté est nettement plus dispersée que le salaire, relativement à son niveau.
Le CV en gestion
Deux usages
- Comparer des variables d’unités différentes, comme ci-dessus.
- Comparer des populations de niveaux très différents : la dispersion des salaires d’une multinationale et d’une PME.
En finance, le CV s’inverse et porte un autre nom : le rapport de la rentabilité moyenne à sa volatilité est le ratio de Sharpe. Même idée — rapporter la dispersion au niveau — au service d’une autre question.
Le CV par diplôme
Trois groupes, trois niveaux
| Diplôme | Moyenne | Écart-type | CV |
|---|---|---|---|
| Bac | 6\,059 | 2\,021 | 0{,}334 |
| Bac+2 | 7\,081 | 2\,045 | 0{,}289 |
| Bac+5 | 9\,534 | 2\,872 | 0{,}301 |
En dirhams, les Bac+5 sont les plus dispersés ; relativement à leur niveau, ce sont les Bac.
Deux questions différentes
« Quel groupe a les écarts de salaire les plus grands ? » : les Bac+5, \sigma = 2\,872 dirhams. « Quel groupe est le moins homogène ? » : les Bac, CV = 0{,}33. L’écart-type répond à la première, le CV à la seconde.
Un repère de lecture
Ordres de grandeur
| CV | Lecture usuelle |
|---|---|
| < 0{,}15 | population très homogène |
| 0{,}15 à 0{,}30 | dispersion modérée |
| 0{,}30 à 0{,}60 | dispersion forte |
| > 0{,}60 | population très hétérogène |
Ces seuils sont indicatifs, pas normatifs
Ils dépendent entièrement du domaine. Un CV de 0{,}05 serait énorme pour un processus industriel sous contrôle, et dérisoire pour des rentabilités boursières. Le bon repère est toujours la comparaison : le même indicateur, sur une autre population ou une autre période.
La comparaison des mesures
Le tableau récapitulatif
Les six indicateurs de dispersion
| Indicateur | Formule | Robuste ? | Unité |
|---|---|---|---|
| Étendue | x_{\max}-x_{\min} | non | celle de x |
| Intervalle interquartile | Q_3-Q_1 | oui | celle de x |
| Écart absolu moyen | \frac1n\sum \lvert x_i-\overline{x} \rvert | assez | celle de x |
| Variance | \overline{x^2}-\overline{x}^2 | non | celle de x au carré |
| Écart-type | \sqrt{V} | non | celle de x |
| Coefficient de variation | \sigma/\overline{x} | non | aucune |
Toutes les valeurs, sur nos salaires
Cinq indicateurs, une même distribution
| Indicateur | Valeur |
|---|---|
| Étendue | 16\,240 |
| IQ | 3\,012 |
| Écart absolu moyen | 1\,972 |
| Écart-type | 2\,598 |
| CV | 0{,}363 |
Deux remarques sur ces nombres
L’écart-type dépasse l’écart absolu moyen : 2\,598 contre 1\,972. C’est toujours le cas, parce que le carré donne plus de poids aux grands écarts. Plus la distribution a une queue longue, plus l’écart-type s’éloigne de l’écart absolu moyen.
Le choix
En pratique
- Pour décrire une distribution asymétrique ou comportant des valeurs extrêmes : IQ et boîte à moustaches.
- Pour calculer quoi que ce soit ensuite : variance et écart-type. Ils sont les seuls à entrer dans les formules de la covariance, de la corrélation et de toute l’inférentielle.
- Pour comparer des unités différentes : coefficient de variation.
Et dans un tableau de résultats professionnel, on donne les trois.
S’entraîner
Exercice 1 : une variable discrète
Le nombre d’enfants à charge
Une enquête auprès de 40 salariés donne la répartition suivante.
| Nombre d’enfants x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif n_i | 6 | 10 | 12 | 8 | 4 |
- Calculer la moyenne \overline{x}.
- Calculer la variance par la formule de König-Huygens, puis l’écart-type.
- Calculer le coefficient de variation et commenter.
Exercice 1 : solution
Le tableau de calcul
| x_i | n_i | n_i\,x_i | n_i\,x_i^2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 6 | 0 | 0 |
| 1 | 10 | 10 | 10 |
| 2 | 12 | 24 | 48 |
| 3 | 8 | 24 | 72 |
| 4 | 4 | 16 | 64 |
| Total | \mathbf{40} | \mathbf{74} | \mathbf{194} |
Les résultats
- \overline{x} = 74/40 = 1{,}85 enfant.
- \overline{x^2} = 194/40 = 4{,}85, d’où V(x) = 4{,}85 - 1{,}85^2 = 1{,}4275, et \sigma_x = 1{,}19 enfant.
- CV = 1{,}19/1{,}85 = 0{,}65 : population très hétérogène au sens du repère du chapitre.
Exercice 2 : des loyers en classes
Les loyers de 100 ménages
| Loyer (dirhams) | n_i |
|---|---|
| [1\,000\,;1\,500[ | 8 |
| [1\,500\,;2\,000[ | 20 |
| [2\,000\,;2\,500[ | 32 |
| [2\,500\,;3\,000[ | 25 |
| [3\,000\,;4\,000[ | 15 |
- Calculer les centres c_i, puis u_i = (c_i - 2\,250)/500.
- En déduire \overline{x}, V(x) et \sigma_x par le changement de variable.
- Calculer le coefficient de variation et le situer sur le repère du chapitre.
Exercice 2 : solution
Le tableau, en variable u
| Classe | c_i | u_i | n_i | n_i\,u_i | n_i\,u_i^2 |
|---|---|---|---|---|---|
| [1\,000\,;1\,500[ | 1\,250 | -2 | 8 | -16 | 32 |
| [1\,500\,;2\,000[ | 1\,750 | -1 | 20 | -20 | 20 |
| [2\,000\,;2\,500[ | 2\,250 | 0 | 32 | 0 | 0 |
| [2\,500\,;3\,000[ | 2\,750 | 1 | 25 | 25 | 25 |
| [3\,000\,;4\,000[ | 3\,500 | 2{,}5 | 15 | 37{,}5 | 93{,}75 |
| Total | \mathbf{100} | \mathbf{26{,}5} | \mathbf{170{,}75} |
Exercice 2 : les résultats
Retour à l’échelle des dirhams
\overline{u} = \frac{26{,}5}{100} = 0{,}265 \qquad\qquad V(u) = \frac{170{,}75}{100} - 0{,}265^2 = 1{,}7075 - 0{,}0702 = 1{,}6373 \overline{x} = 2\,250 + 500 \times 0{,}265 = 2\,382{,}5 \text{ dh} \qquad\qquad V(x) = 500^2 \times 1{,}6373 = 409\,319 \text{ dh}^2 \sigma_x = \sqrt{409\,319} = 640 \text{ dh} \qquad\qquad CV = \frac{640}{2\,382{,}5} = 0{,}27
La lecture
Dispersion modérée (entre 0{,}15 et 0{,}30). La dernière classe, deux fois plus large, donne u = 2{,}5 : le changement de variable n’exige pas des amplitudes égales.
Exercice 3 : une erreur de saisie
Corriger sans tout recalculer
Pour 20 salariés, un logiciel a calculé \sum x_i = 160\,000 et \sum x_i^2 = 1\,324\,000\,000 (salaires en dirhams).
- Calculer \overline{x}, V(x) et \sigma_x.
- On découvre qu’un salaire de 9\,000 a été saisi 6\,000. Corriger \sum x_i et \sum x_i^2, puis recalculer \overline{x} et \sigma_x.
- L’erreur gonflait-elle ou réduisait-elle la dispersion ? Pourquoi ?
Exercice 3 : solution
Les sommes suffisent
- \overline{x} = 160\,000/20 = 8\,000 ; \overline{x^2} = 66\,200\,000 ; V = 66\,200\,000 - 64\,000\,000 = 2\,200\,000 ; \sigma_x = 1\,483 dh.
- \sum x_i = 160\,000 - 6\,000 + 9\,000 = 163\,000 et \sum x_i^2 = 1\,324\,000\,000 - 36\,000\,000 + 81\,000\,000 = 1\,369\,000\,000. D’où \overline{x} = 8\,150, \overline{x^2} = 68\,450\,000, V = 68\,450\,000 - 66\,422\,500 = 2\,027\,500 et \sigma_x = 1\,424 dh.
- L’erreur gonflait la dispersion : la valeur fautive, 6\,000, était à 2\,000 dh sous la moyenne ; la vraie, 9\,000, n’est qu’à 850 dh au-dessus de la moyenne corrigée.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Sept points
- Une moyenne sans dispersion n’est pas une information.
- L’étendue ne repose que sur deux observations et croît avec n : à éviter.
- Variance : moyenne des carrés des écarts. Écart-type : sa racine, dans l’unité de la variable.
- König-Huygens : V(x)=\overline{x^2}-\overline{x}^2 — moyenne du produit moins produit des moyennes.
- V(x+b)=V(x) et V(ax)=a^2V(x) : une prime uniforme ne réduit pas les écarts.
- Données groupées : V(x) = \sum f_i c_i^2 - \overline{x}^2 ; le changement de variable u = (c - x_0)/a allège le calcul. Le résultat reste une approximation.
- Coefficient de variation CV = \sigma/\overline{x} : sans unité, il permet de comparer l’incomparable.
La suite
Deux distributions peuvent avoir la même moyenne et le même écart-type sans se ressembler : l’une symétrique, l’autre étalée d’un côté. Il faut aller plus loin — au moment d’ordre trois, puis d’ordre quatre. C’est le chapitre 8.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)