Statistique descriptive

Distributions conjointe, marginales, conditionnelles

Statistique descriptive

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Chapitre 11 : Distributions conjointe, marginales, conditionnelles

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Trois familles de lois

Les trois définitions

Les trois familles
Distribution Ce qu’elle décrit Combien
conjointe le couple (x\,;\,y) une seule
marginale une variable, l’autre oubliée deux
conditionnelle une variable, l’autre fixée autant que de modalités
Où elles se lisent dans le tableau
  • La conjointe est l’intérieur du tableau : les n_{ij}.
  • Les marginales sont la dernière colonne et la dernière ligne.
  • Les conditionnelles sont les lignes ou les colonnes prises une par une, chacune ramenée à son propre total.

Trois questions distinctes

Une question par famille
  • Conjointe : « Quelle part des salariés est Bac+5 et gagne plus de 10\,000 dirhams ? »
  • Marginale : « Quel est le salaire moyen de l’entreprise ? »
  • Conditionnelle : « Quel est le salaire moyen des Bac+5 ? »

La troisième est celle qui intéresse presque toujours le décideur. C’est elle qui permet de comparer des groupes.

Les trois réponses

Conjointe : (32 + 8)/500 = 8\,\% des salariés sont Bac+5 et gagnent 10\,000 dirhams ou plus. Marginale : 7\,158 dirhams. Conditionnelle : 9\,534 dirhams.

Distributions conditionnelles

La définition

Distribution conditionnelle

La distribution de y sachant x = x_i est la répartition de y restreinte aux individus pour lesquels x vaut x_i.

Ses fréquences sont les profils-lignes du chapitre 10 : f_{j|i} = \frac{n_{ij}}{n_{i\bullet}} \qquad\text{avec}\qquad \sum_j f_{j|i} = 1

Le geste, en une phrase

Conditionner, c’est réduire la population, puis recalculer.

On ne travaille plus sur 500 salariés mais sur les 107 Bac+5. Tous les indicateurs des chapitres 5 à 9 s’appliquent alors à cette sous-population.

Les distributions conditionnelles du salaire

Le salaire en classes, sachant le diplôme (en pourcentage de chaque ligne)
Diplôme 2 à 4 4 à 6 6 à 8 8 à 10 10 à 14 14 à 20 Total
Bac 12{,}8 \mathbf{43{,}4} 29{,}7 10{,}0 3{,}7 0{,}5 100
Bac+2 1{,}7 31{,}0 \mathbf{42{,}5} 14{,}4 9{,}8 0{,}6 100
Bac+5 0{,}0 7{,}5 25{,}2 \mathbf{29{,}9} \mathbf{29{,}9} 7{,}5 100
Ensemble 6{,}2 31{,}4 33{,}2 15{,}8 11{,}4 2{,}0 100

Classes de salaire en milliers de dirhams.

La lecture

La classe la plus fréquente se déplace d’un cran à chaque diplôme. Chaque ligne somme à 100 ; la ligne « Ensemble » est la marginale du chapitre 3.

Sur nos données

Le tableau des conditionnelles

Le salaire selon le diplôme
Diplôme n_j Moyenne Écart-type Médiane
Bac 219 6\,059 2\,021 5\,690
Bac+2 174 7\,081 2\,045 6\,875
Bac+5 107 9\,534 2\,872 8\,900
Ensemble \mathbf{500} \mathbf{7\,158} \mathbf{2\,598} \mathbf{6\,770}
La lecture, en trois constats
  1. Le niveau monte avec le diplôme : +17\,\% du Bac au Bac+2, +35\,\% du Bac+2 au Bac+5. La prime au diplôme s’accélère.
  2. La dispersion aussi : l’écart-type des Bac+5 dépasse celui des deux autres groupes.
  3. La moyenne d’ensemble n’est celle d’aucun groupe : 7\,158 dirhams ne décrit personne. Ce constat justifie à lui seul le conditionnement.

La moyenne totale

Le théorème de la moyenne totale

L’énoncé

\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{j} n_j\,\overline{y}_j = \sum_j f_j\,\overline{y}_j

La moyenne générale est la moyenne des moyennes conditionnelles, pondérée par les effectifs.

Vérification

\frac{219 \times 6\,059 + 174 \times 7\,081 + 107 \times 9\,534}{500} = \frac{3\,579\,153}{500} = 7\,158 \quad \checkmark

Moyenne simple des trois : (6\,059+7\,081+9\,534)/3 = 7\,558. Faux de 400 dirhams.

L’effet de structure

La moyenne bouge, aucun salaire ne bouge

Ce théorème explique un phénomène qui déroute les non-statisticiens : la moyenne générale peut évoluer alors qu’aucune moyenne conditionnelle ne bouge. Il suffit que les poids f_j changent.

C’est l’effet de structure, au cœur de toute analyse de l’évolution des salaires, des prix ou de la productivité. Une hausse du salaire moyen ne signifie pas que quelqu’un a été augmenté.

L’entreprise recrute 50 Bac+5

Payés à la moyenne de leur groupe, 9\,534 dirhams : \overline{y}' = \frac{3\,579\,153 + 50 \times 9\,534}{550} = \frac{4\,055\,853}{550} = 7\,374 \text{ dirhams}

Le salaire moyen gagne 216 dirhams, soit +3\,\% — sans un dirham d’augmentation pour personne.

Décomposer la variance

Le second théorème

Décomposition de la variance

\underbrace{V(y)}_{\text{totale}} \;=\; \underbrace{\frac1n\sum_j n_j\,V_j(y)}_{\text{variance intra-groupe}} \;+\; \underbrace{\frac1n\sum_j n_j\,\left(\overline{y}_j - \overline{y}\right)^2}_{\text{variance inter-groupes}}

Ce que chaque terme représente
  • La variance intra est la moyenne des variances internes aux groupes : ce que le diplôme n’explique pas, la variance résiduelle.
  • La variance inter mesure l’écartement des moyennes de groupe : ce que le diplôme explique, la variance expliquée.

Le calcul, pas à pas

Moyennes en milliers de dirhams, variances en millions de dh au carré
Diplôme n_j \overline{y}_j V_j n_j\,V_j (\overline{y}_j - 7{,}158)^2 n_j\,(\overline{y}_j - \overline{y})^2
Bac 219 6{,}059 4{,}085 894{,}7 1{,}209 264{,}7
Bac+2 174 7{,}081 4{,}183 727{,}9 0{,}006 1{,}0
Bac+5 107 9{,}534 8{,}249 882{,}7 5{,}646 604{,}1
Total \mathbf{500} \mathbf{2\,505{,}3} \mathbf{869{,}8}
Les trois variances

Intra = 2\,505{,}3/500 = 5{,}010 ; inter = 869{,}8/500 = 1{,}740 ; total = 6{,}750 millions de dh^2 : \underbrace{6\,750\,122}_{\text{totale}} \;=\; \underbrace{5\,010\,426}_{\text{intra}} \;+\; \underbrace{1\,739\,696}_{\text{inter}}

Le rapport de corrélation

Rapport de corrélation

\eta^2 = \frac{\text{variance inter}}{\text{variance totale}} \qquad\qquad 0 \leq \eta^2 \leq 1

C’est la part de la variance expliquée par la variable qualitative.

Sur nos données

\eta^2 = \frac{1\,739\,696}{6\,750\,122} = 0{,}258

Le diplôme explique 25{,}8\,\% de la variance des salaires.

Comment on commente ce nombre

Un quart, et le reste

Un quart de la dispersion salariale s’explique par le seul diplôme. Les trois quarts restants tiennent à autre chose : l’ancienneté, le poste, la région, la performance individuelle — et une part irréductible d’arbitraire. À « le diplôme détermine-t-il le salaire ? », on répond « il pèse pour un quart » : c’est autrement plus utile qu’un oui ou un non.

Les deux cas extrêmes
  • \eta^2 = 0 : toutes les moyennes conditionnelles sont égales. La variable qualitative n’apporte rien.
  • \eta^2 = 1 : aucune variance à l’intérieur des groupes. Connaître le groupe donne exactement la valeur.

Trois variables explicatives comparées

Diplôme, région, sexe

Le diplôme explique 25{,}8\,\% de la variance, la région 5{,}1\,\%, le sexe rien du tout : les moyennes des femmes et des hommes sont égales. Pourtant leurs distributions diffèrent (chapitre 6) — \eta^2 ne voit que les moyennes.

Ce que η² ne suppose pas

Aucune forme de relation

\eta^2 fonctionne avec une variable explicative purement nominale, sans ordre. C’est ce qui le distingue du coefficient de corrélation du chapitre 13, qui n’existe qu’entre deux variables quantitatives et ne capte que la liaison linéaire.

Son usage

Classer des variables explicatives par leur pouvoir explicatif, avant toute modélisation : c’est exactement ce que fera l’analyse de la variance en statistique inférentielle, en se demandant si l’écart entre les moyennes de groupe peut tenir au hasard.

Marginales et indépendance

Conjointe, marginale, conditionnelle

Distribution marginale

Elle s’obtient en oubliant l’autre variable : ce sont les distributions étudiées dans toute la partie III. f_{i\bullet} = \sum_j f_{ij} \qquad\qquad f_{\bullet j} = \sum_i f_{ij}

Le lien entre les trois familles

f_{ij} = f_{i\bullet} \times f_{j|i}

Conjointe = marginale \times conditionnelle. Cette relation reviendra en probabilités sous la forme P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) : le même énoncé, dans un autre langage.

Le cas de l’indépendance

La caractérisation

x et y sont indépendantes si et seulement si f_{ij} = f_{i\bullet} \times f_{\bullet j} \qquad \text{pour toutes les cases}

Toutes les conditionnelles sont alors égales à la marginale : conditionner n’apporte rien.

Une vérification sur une case

Bac+5 et [10\,000\,;14\,000[ : f_{ij} = 32/500 = 0{,}064, alors que f_{i\bullet} \times f_{\bullet j} = 0{,}214 \times 0{,}114 = 0{,}024. Deux fois et demie plus : le diplôme et le salaire ne sont pas indépendants.

Le tableau de synthèse

Les trois familles, récapitulées

Ce qu’il faut savoir de chacune
Conjointe Marginale Conditionnelle
Où intérieur du tableau les marges une ligne, ramenée à son total
Fréquences f_{ij} f_{i\bullet}, f_{\bullet j} f_{j \mid i}
Somme 1 sur tout le tableau 1 1 par ligne
Combien une deux k
Ce qu’elle donne la liaison le profil d’ensemble la comparaison de groupes

Les deux théorèmes

Moyenne totale, variance totale

\overline{y} = \sum_j f_j\,\overline{y}_j \qquad\qquad V(y) = \underbrace{\overline{V_j(y)}}_{\text{intra}} + \underbrace{V(\overline{y}_j)}_{\text{inter}}

La phrase à retenir

La moyenne des moyennes redonne la moyenne. La moyenne des variances ne redonne pas la variance — il manque la variance des moyennes. C’est la formulation la plus compacte du chapitre, et elle vaut d’être apprise telle quelle.

S’entraîner

Exercice 1 : toutes les moyennes baissent

Une entreprise sur deux années
Effectif année 1 Salaire moyen année 1 Effectif année 2 Salaire moyen année 2
Ouvriers 80 4\,000 50 3\,900
Cadres 20 10\,000 50 9\,800
  1. Calculer le salaire moyen de l’entreprise chaque année.
  2. Comment évoluent les salaires moyens de chaque catégorie ? Et celui de l’entreprise ?
  3. Expliquer ce paradoxe apparent.

Exercice 1 : solution

Deux moyennes pondérées
  1. Année 1 : (80 \times 4\,000 + 20 \times 10\,000)/100 = 5\,200 dirhams. Année 2 : (50 \times 3\,900 + 50 \times 9\,800)/100 = 6\,850 dirhams.
  2. Les ouvriers perdent 2{,}5\,\%, les cadres 2\,\% ; l’entreprise gagne 31{,}7\,\%.
L’effet de structure
  1. La part des cadres passe de 20\,\% à 50\,\%. Le poids du groupe le mieux payé augmente si fort qu’il l’emporte sur la baisse de chaque moyenne. Comparer deux moyennes générales sans regarder la structure est trompeur.

Exercice 2 : deux entreprises fusionnent

La variance de l’entreprise fusionnée
Entreprise Salariés Salaire moyen Écart-type
A 60 6\,000 1\,500
B 40 8\,500 2\,000
  1. Calculer le salaire moyen de l’entreprise fusionnée.
  2. Calculer sa variance intra, sa variance inter, puis sa variance totale et son écart-type.
  3. Pourquoi l’écart-type de l’ensemble dépasse-t-il celui de chaque entreprise ? Calculer \eta^2.

Exercice 2 : solution

Les deux théorèmes
  1. \overline{y} = (60 \times 6\,000 + 40 \times 8\,500)/100 = 7\,000 dirhams.
  2. Intra : (60 \times 1\,500^2 + 40 \times 2\,000^2)/100 = (135 + 160)\,000\,000/100 = 2\,950\,000. Inter : (60 \times 1\,000^2 + 40 \times 1\,500^2)/100 = 1\,500\,000. Totale : 4\,450\,000, d’où \sigma = 2\,110 dirhams.
La lecture
  1. À la dispersion interne de chaque entreprise s’ajoute l’écart entre leurs moyennes : 2\,500 dirhams. \eta^2 = 1{,}5/4{,}45 = 0{,}34 : l’entreprise d’origine explique un tiers de la variance des salaires après la fusion.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Trois familles : conjointe, marginales, conditionnelles.
  2. Conditionner, c’est réduire la population puis recalculer.
  3. Moyenne totale : moyenne des moyennes conditionnelles, pondérée par les effectifs. D’où l’effet de structure.
  4. Décomposition de la variance : totale = intra + inter.
  5. \eta^2 : part de variance expliquée par la variable qualitative. Ici 25{,}8\,\% pour le diplôme.
  6. \eta^2 ne voit que les écarts entre moyennes de groupe.
  7. f_{ij} = f_{i\bullet}\,f_{\bullet j} caractérise l’indépendance.
La suite

Quand les deux variables sont quantitatives, on mesure directement dans quel sens et avec quelle force elles varient ensemble : c’est la covariance, dont la formule se déduit de celle de la variance. C’est le chapitre 12.

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