Statistique descriptive

La concentration

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Chapitre 9 : La concentration

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Une question nouvelle

Dispersion et concentration ne sont pas la même chose

La question de la concentration

Comment la masse totale se répartit-elle entre les individus ?

Autrement dit : les 10\,\% les mieux payés reçoivent-ils 10\,\% de la masse salariale, ou 40\,\% ?

La différence avec la dispersion

La dispersion demande : les individus sont-ils éloignés les uns des autres ? La concentration demande : la somme est-elle également partagée ?

Ce n’est pas une nuance. Ajouter 1\,000 dirhams à tout le monde ne change pas l’écart-type — mais réduit la concentration, puisque les écarts relatifs diminuent.

Où la question se pose

Quatre domaines
Domaine Question
Revenus, patrimoines quelle part détenue par les plus riches ?
Marché, concurrence quelle part de marché pour les plus gros ?
Portefeuille quelle part investie sur une seule ligne ?
Clients, fournisseurs quelle part du chiffre d’affaires sur un seul client ?

Le dernier cas est un risque de gestion direct : une entreprise dont 60\,\% des ventes reposent sur un client est fragile, quelle que soit sa rentabilité.

Quand la concentration a un sens

La variable doit être quantitative, positive et additive : sa somme doit avoir une signification. La masse salariale a un sens ; la somme des âges ou des notes de satisfaction, non.

Dispersion contre concentration, en chiffres

Deux augmentations générales, sur nos 500 salaires
Écart-type Indice de Gini
Situation actuelle 2\,598 0{,}195
+1\,000 dirhams pour tous 2\,598 0{,}171
+10\,\% pour tous 2\,858 0{,}195
Deux indicateurs, deux réponses

La prime uniforme laisse les écarts intacts mais réduit la concentration : chacun reçoit la même somme, qui pèse plus lourd pour les petits salaires. La hausse proportionnelle fait l’inverse. L’indice de Gini, défini plus loin, est insensible à un changement d’unité.

La courbe de Lorenz

La construction

Comment on la trace

Les quatre étapes
  1. Ordonner les individus par valeur croissante.
  2. Calculer F_i, la part cumulée des individus.
  3. Calculer Q_i, la part cumulée de la masse : Q_i = \frac{\sum_{j \leq i} x_j}{\sum_{j} x_j}
  4. Tracer les points (F_i\,;\,Q_i) dans le carré unité.
Trois propriétés
  • La courbe part de (0\,;0) et arrive à (1\,;1).
  • Elle est toujours en dessous de la diagonale, puisqu’on a ordonné par valeur croissante.
  • Elle est convexe : chaque nouvel individu apporte plus que le précédent.

Lire la courbe

Sur nos salaires
Groupe Part de la masse salariale
Les 10\,\% les moins payés 5{,}3\,\%
Les 50\,\% les moins payés 36{,}4\,\%
Les 20\,\% les mieux payés 31{,}4\,\%
Les 10\,\% les mieux payés 17{,}9\,\%
Comment on commente ces chiffres

« La moitié la moins payée du personnel se partage 36\,\% de la masse salariale ; les 10\,\% les mieux payés en captent 18\,\%. » Un responsable comprend immédiatement, alors qu’un écart-type de 2\,598 dirhams ne lui dit rien. La courbe de Lorenz est l’outil de communication le plus efficace de ce cours.

Lorenz sur données groupées

La masse de chaque classe, estimée par les centres (milliers de dirhams)
Classe f_i F_i Masse n_i\,c_i Part q_i Q_i
[2\,;4[ 0{,}062 0{,}062 93 0{,}026 0{,}026
[4\,;6[ 0{,}314 0{,}376 785 0{,}218 0{,}244
[6\,;8[ 0{,}332 0{,}708 1\,162 0{,}322 0{,}566
[8\,;10[ 0{,}158 0{,}866 711 0{,}197 0{,}763
[10\,;14[ 0{,}114 0{,}980 684 0{,}190 0{,}953
[14\,;20[ 0{,}020 1 170 0{,}047 1
Total \mathbf{1} \mathbf{3\,605} \mathbf{1}
Si la masse réelle est connue

Une publication donne souvent la masse de chaque classe : on l’utilise alors directement, sans passer par les centres.

La courbe des six classes

La lecture

Les 37{,}6\,\% de salariés des deux premières classes reçoivent 24{,}4\,\% de la masse.

L’indice de Gini

La définition

Indice de Gini

G = \frac{\text{aire entre la diagonale et la courbe}}{\text{aire du triangle sous la diagonale}} = 2 \times \text{aire entre la diagonale et la courbe}

G varie entre 0 et 1.

Les deux bornes
  • G = 0 : la courbe se confond avec la diagonale. Égalité parfaite — tout le monde reçoit la même chose.
  • G = 1 : la courbe longe les axes. Concentration maximale — un seul individu reçoit tout.

La formule de calcul

Sur données individuelles, ordonnées croissantes

G = \frac{2\sum_{i=1}^{n} i\,x_i}{n\sum_{i=1}^{n} x_i} - \frac{n+1}{n}

Cinq valeurs : 2, 3, 4, 8, 13

\sum i\,x_i = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 8 + 5 \times 13 = 117 et \sum x_i = 30 : G = \frac{2 \times 117}{5 \times 30} - \frac{6}{5} = 1{,}56 - 1{,}20 = 0{,}36

Sur nos 500 salaires, la même formule donne G = 0{,}195.

Le Gini par les trapèzes

Sur données groupées

L’aire sous la courbe est une somme de trapèzes, de largeur f_i et de hauteurs Q_{i-1} et Q_i. D’où G = 1 - \sum_{i=1}^{k} f_i\,(Q_{i-1} + Q_i)

D’où vient la formule

Un trapèze a pour aire f_i \times (Q_{i-1}+Q_i)/2. L’aire sous la courbe est la somme de ces trapèzes, et G = 1 - 2 \times (aire sous la courbe) : le facteur 2 et le 1/2 se simplifient.

Le calcul sur les six classes

Les trapèzes des salaires
Classe f_i Q_{i-1}+Q_i f_i\,(Q_{i-1}+Q_i)
[2\,;4[ 0{,}062 0{,}026 0{,}002
[4\,;6[ 0{,}314 0{,}269 0{,}085
[6\,;8[ 0{,}332 0{,}809 0{,}269
[8\,;10[ 0{,}158 1{,}329 0{,}210
[10\,;14[ 0{,}114 1{,}716 0{,}196
[14\,;20[ 0{,}020 1{,}953 0{,}039
Total \mathbf{0{,}800}

G = 1 - 0{,}800 = 0{,}200 — contre 0{,}195 sur les données exactes.

L’interprétation

Des repères indispensables

Un indice de Gini ne se lit jamais seul : il se compare.

Situation Ordre de grandeur
Salaires au sein d’une entreprise 0{,}15 à 0{,}30
Revenus d’un pays très égalitaire 0{,}25 à 0{,}30
Revenus du Maroc de l’ordre de 0{,}40
Revenus d’un pays très inégalitaire 0{,}50 à 0{,}60
Patrimoines (partout) 0{,}70 à 0{,}85

Ce que la comparaison enseigne

Une seule entreprise

Notre G = 0{,}195 est faible — mais il porte sur une seule entreprise, où l’éventail des postes est limité. Un Gini national additionne toutes les entreprises, tous les secteurs, et les revenus non salariaux. Les patrimoines sont toujours plus concentrés que les revenus : un stock accumule des décennies de flux inégaux.

Le Gini des salaires, par groupe
Groupe Femmes Hommes Bac Bac+2 Bac+5
Gini 0{,}213 0{,}181 0{,}181 0{,}155 0{,}165

Chaque groupe est moins concentré que l’ensemble pour le diplôme : une part de l’inégalité totale vient des écarts entre diplômes.

Ses limites

Deux distributions, un même Gini

Le Gini résume une courbe entière par un seul nombre. Deux courbes de Lorenz qui se croisent peuvent donner la même aire, donc le même indice, tout en décrivant des inégalités de nature différente : l’une concentrée sur le bas, l’autre sur le haut. Toujours regarder la courbe avant de commenter l’indice.

Les indices complémentaires

On publie souvent, à côté du Gini : le rapport interdécile D_9/D_1, qui décrit les extrêmes ; la part du dernier décile, qui décrit le haut ; l’indice de Theil, décomposable entre groupes. Le Gini reste dominant parce que son interprétation graphique est immédiate.

La médiale

Une mesure complémentaire

Médiale

La médiale M_l est la valeur qui partage la masse totale en deux parties égales.

À ne pas confondre avec la médiane, qui partage l’effectif.

Sur nos salaires

Me = 6\,770 \text{ dirhams} \qquad\qquad M_l = 7\,540 \text{ dirhams}

Les salariés gagnant moins de 7\,540 dirhams représentent 63{,}6\,\% de l’effectif et se partagent exactement la moitié de la masse salariale.

La médiale sur données groupées

La même interpolation, sur la colonne des masses

On repère la classe où Q franchit 0{,}5 et l’on interpole : M_l = e_{i-1} + a_i \times \frac{0{,}5 - Q_{i-1}}{Q_i - Q_{i-1}}

Le calcul

Q passe de 0{,}244 à 0{,}566 dans [6\,000\,;8\,000[ : M_l = 6\,000 + 2\,000 \times \frac{0{,}500 - 0{,}244}{0{,}566 - 0{,}244} = 6\,000 + 1\,591 = 7\,591 \text{ dirhams}

Contre 7\,540 sur les données exactes.

L’écart entre médiale et médiane

La propriété générale

M_l \geq Me

avec égalité si et seulement si la concentration est nulle.

Une mesure de concentration

Si tout le monde gagnait la même chose, partager l’effectif en deux reviendrait à partager la masse en deux. Plus les hauts salaires pèsent lourd, plus il faut monter haut pour atteindre la moitié de la masse : \frac{M_l - Me}{Me} = \frac{770}{6\,770} = 11{,}4\,\%

La phrase qui résume

« Il faut réunir 64\,\% du personnel — et non 50\,\% — pour atteindre la moitié de la masse salariale. »

Bilan de la partie univariée

Les cinq familles

Ce que vous savez calculer
Famille Question Indicateurs
Tendance centrale où ? mode, médiane, moyennes
Quantiles comment réparti ? Q_1, Me, Q_3, déciles
Dispersion à quel point étalé ? \sigma, IQ, CV
Forme quelle allure ? \gamma_1, \gamma_2
Concentration comment partagé ? Lorenz, Gini, médiale
Douze nombres pour cinq cents salariés

On est parti de 500 lignes illisibles. On arrive à douze nombres qui tiennent dans un coin de page et qui répondent à toutes les questions qu’on peut poser sur une variable : résumer, c’est perdre de l’information à bon escient.

La fiche complète de nos salaires

Douze nombres
Indicateur Valeur Indicateur Valeur
Effectif 500 Q_1 — Q_3 5\,318 — 8\,330
Moyenne 7\,158 D_9/D_1 2{,}41
Médiane 6\,770 Asymétrie \gamma_1 1{,}16
Mode interpolé 6\,188 Aplatissement \gamma_2 4{,}84
Écart-type 2\,598 Gini 0{,}195
CV 0{,}363 Médiale 7\,540

S’entraîner

Exercice 1 : la concentration des terres

1 000 exploitations agricoles
Superficie Exploitations Superficie totale (ha)
moins de 5 ha 600 1\,200
de 5 à 20 ha 300 3\,000
de 20 à 50 ha 80 2\,400
50 ha et plus 20 3\,400
Total \mathbf{1\,000} \mathbf{10\,000}
  1. Calculer f_i, F_i, la part q_i des terres et Q_i.
  2. Quelle part des terres détiennent les 2\,\% plus grandes exploitations ? Les 60\,\% plus petites ?
  3. Calculer l’indice de Gini par la méthode des trapèzes et commenter.

Exercice 1 : solution

Le tableau de Lorenz
Hectares f_i F_i q_i Q_i f_i\,(Q_{i-1}+Q_i)
< 5 0{,}60 0{,}60 0{,}12 0{,}12 0{,}0720
5 à 20 0{,}30 0{,}90 0{,}30 0{,}42 0{,}1620
20 à 50 0{,}08 0{,}98 0{,}24 0{,}66 0{,}0864
\geq 50 0{,}02 1 0{,}34 1 0{,}0332
Total \mathbf{1} \mathbf{1} \mathbf{0{,}3536}
Les réponses
  1. Les 2\,\% plus grandes exploitations détiennent 34\,\% des terres ; les 60\,\% plus petites, 12\,\% seulement.
  2. G = 1 - 0{,}3536 = 0{,}65 : une concentration très forte, de l’ordre de celle des patrimoines — la terre est un patrimoine.

Exercice 2 : prime uniforme ou hausse proportionnelle

Quatre salariés

Une petite agence emploie quatre salariés, payés 3\,000, 5\,000, 8\,000 et 14\,000 dirhams.

  1. Calculer l’indice de Gini par la formule G = \dfrac{2\sum i\,x_i}{n\sum x_i} - \dfrac{n+1}{n}.
  2. Chacun reçoit une prime de 1\,000 dirhams. Recalculer G. L’écart-type a-t-il changé ?
  3. Au lieu de la prime, chacun est augmenté de 10\,\%. Que deviennent G et l’écart-type ?

Exercice 2 : solution

Trois situations
  1. \sum i\,x_i = 3\,000 + 10\,000 + 24\,000 + 56\,000 = 93\,000 et \sum x_i = 30\,000 : G = \frac{2 \times 93\,000}{4 \times 30\,000} - \frac{5}{4} = 1{,}55 - 1{,}25 = 0{,}30
  2. Salaires 4\,000, 6\,000, 9\,000, 15\,000 : \sum i\,x_i = 103\,000, \sum x_i = 34\,000, d’où G = 206\,000/136\,000 - 1{,}25 = 0{,}265. L’écart-type, 4\,153 dirhams, est inchangé.
  3. Tout est multiplié par 1{,}1 : G reste à 0{,}30, l’écart-type passe à 4\,569 dirhams.
La leçon

Pour réduire les inégalités relatives, la prime uniforme agit, la hausse proportionnelle non. Pour réduire les écarts en dirhams, aucune des deux.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. La concentration porte sur le partage de la masse, d’une variable positive et additive.
  2. Une prime uniforme réduit la concentration sans changer l’écart-type.
  3. La courbe de Lorenz trace la part cumulée de la masse contre la part cumulée des individus.
  4. L’indice de Gini est le double de l’aire entre la courbe et la diagonale : 0 égalité, 1 concentration maximale.
  5. Sur données groupées : G = 1 - \sum f_i\,(Q_{i-1}+Q_i), par les trapèzes.
  6. Un Gini ne se lit jamais seul : il se compare, et il ne remplace pas la courbe.
  7. La médiale partage la masse ; elle dépasse la médiane, et l’écart mesure la concentration.
La suite

Les questions intéressantes en économie mettent en jeu deux variables : salaire et ancienneté, prix et quantité. C’est la partie IV : la statistique bivariée.

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