Statistique descriptive

Population, variable, modalité

Statistique descriptive

Statistique descriptive

Chapitre 1 : Population, variable, modalité

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

12 octobre 2026

Les trois mots de base

Population, individu, effectif

Les trois définitions
  • La population (ou univers) est l’ensemble des éléments sur lesquels porte l’étude.
  • Un individu (ou unité statistique) est un élément de cette population.
  • L’effectif total, noté n, est le nombre d’individus observés.
Un individu n’est pas forcément une personne

C’est le point que les étudiants oublient le plus vite. Un individu statistique peut être une entreprise, une commune, un ménage, une transaction, un jour de cotation, un produit en rayon, un contrat d’assurance.

L’individu est ce qu’on compte. Rien de plus.

Définir la population est déjà une décision

Le champ de l’enquête

« Les salariés de l’entreprise » : à quelle date ? Les intérimaires en font-ils partie ? Les salariés à temps partiel ? Ceux en congé ?

Ces choix ne sont pas des détails : ils changent n, donc toutes les fréquences, donc toutes les moyennes. Une étude statistique commence toujours par une définition écrite de la population : c’est le premier endroit où regarder quand deux chiffres officiels se contredisent.

Avec ou sans les intérimaires

Notre entreprise emploie aussi 60 intérimaires, dont 45 femmes.

  • Sans eux : n = 500 et la part des femmes vaut 215/500 = 43{,}0\,\%.
  • Avec eux : n = 560 et elle vaut (215+45)/560 = 260/560 = 46{,}4\,\%.

Même entreprise, même date : trois points et demi d’écart, dus à la seule définition.

La variable statistique

Variable et modalités

Variable statistique et modalité

Une variable statistique est le caractère observé sur chaque individu. Les modalités sont les valeurs que cette variable peut prendre.

Deux exigences sur les modalités

Les modalités doivent être :

  • exhaustives : chaque individu en possède au moins une ;
  • incompatibles : chaque individu n’en possède qu’une seule.

Autrement dit, elles forment une partition de la population.

Des modalités mal construites

Une exigence qui n’est pas théorique

Un questionnaire propose comme réponses : « moins de 5\,000 », « de 5\,000 à 10\,000 », « plus de 10\,000 ». Un salarié à 5\,000 dirhams coche laquelle ?

Les deux premières conviennent : les modalités ne sont pas incompatibles. Le tableau sera faux, quelle que soit la qualité des calculs qui suivront.

La convention à retenir : les classes s’écrivent fermées à gauche, ouvertes à droite, [5\,000\,;10\,000[.

Et l’oubli d’une modalité

Une question « Votre statut : salarié, indépendant, chômeur » laisse sans réponse l’étudiant et le retraité : les modalités ne sont pas exhaustives. On ajoute alors une modalité « autre », et l’on vérifie qu’elle reste marginale.

Une ligne, une colonne, une case

Lire un fichier de données

Un fichier statistique est toujours rangé de la même façon : un individu par ligne, une variable par colonne, et dans chaque case la modalité prise par cet individu pour cette variable.

Le vocabulaire, sur le fil rouge

Sur nos 500 salariés
Élément Ce que c’est ici
Population les salariés de l’entreprise au 31 décembre
Individu un salarié
Effectif total n=500
Variables salaire, ancienneté, diplôme, région, sexe
Modalités du diplôme Bac, Bac+2, Bac+5
Modalités du sexe F, H

La typologie des variables

L’arbre à connaître

Les variables qualitatives

Qualitative nominale

Les modalités sont des catégories sans ordre.

Exemples : la région, le secteur d’activité, la forme juridique, le sexe.

On peut compter les individus de chaque modalité. On ne peut ni les ordonner, ni faire de moyenne.

Qualitative ordinale

Les modalités sont ordonnées, mais les écarts entre elles n’ont pas de sens numérique.

Exemples : le diplôme, un niveau de satisfaction, une notation financière (AAA, AA, A…), une catégorie socio-professionnelle hiérarchisée.

On peut compter et ordonner — donc calculer une médiane. On ne peut pas faire de moyenne.

Le piège de la variable ordinale codée

Une « moyenne de diplôme »

On code souvent Bac =1, Bac+2 =2, Bac+5 =3, et l’on obtient une « moyenne de diplôme ». Ce nombre suppose que l’écart Bac \to Bac+2 vaut l’écart Bac+2 \to Bac+5, alors que rien ne le dit.

Un codage numérique ne transforme pas une variable qualitative en variable quantitative. C’est l’erreur la plus fréquente dans les mémoires d’étudiants.

Trois codages, trois moyennes
Codage (Bac, Bac+2, Bac+5) Calcul « Moyenne »
1, 2, 3 (219 + 2 \times 174 + 3 \times 107)/500 1{,}78
1, 2, 5 (219 + 2 \times 174 + 5 \times 107)/500 2{,}20
1, 3, 6 (219 + 3 \times 174 + 6 \times 107)/500 2{,}77

Le codage était arbitraire, la moyenne l’est donc aussi.

Ce qu’une variable ordinale autorise

Le diplôme médian

On range les 500 salariés par diplôme et l’on cherche celui du milieu, aux rangs 250 et 251.

Diplôme Effectif Effectif cumulé
Bac 219 219
Bac+2 174 393
Bac+5 107 500
La lecture

Les rangs 1 à 219 ont le Bac, les rangs 220 à 393 un Bac+2. Les rangs 250 et 251 tombent dans ce second groupe : le diplôme médian est Bac+2. Ce résultat ne dépend d’aucun codage — seulement de l’ordre.

Les variables quantitatives

Quantitative discrète

Les valeurs sont isolées, généralement entières, et on peut les énumérer.

Exemples : l’ancienneté en années, le nombre d’enfants, le nombre de salariés, le nombre de transactions.

Quantitative continue

La variable peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle. On est obligé de la regrouper en classes.

Exemples : le salaire, le chiffre d’affaires, la durée, le taux de rentabilité.

Discret ou continu : une question de pratique

La frontière est une question de pratique, pas de principe

Le salaire s’exprime en dirhams et centimes : il est discret au sens strict. Mais la liste de ses valeurs ne résumerait rien : on le traite comme continu. Règle pratique : si le nombre de valeurs distinctes est du même ordre que n, on traite la variable comme continue.

Compter les valeurs distinctes
Variable Valeurs distinctes sur 500 Traitement
salaire 381 continue : classes
anciennete 32 discrète, ou classes
region 4 qualitative nominale
diplome 3 qualitative ordinale
sexe 2 binaire

Ce que le type autorise

Le tableau des opérations permises
Nominale Ordinale Discrète Continue
Effectifs, fréquences oui oui oui oui
Mode oui oui oui oui
Effectifs cumulés non oui oui oui
Médiane, quantiles non oui oui oui
Moyenne, écart-type non non oui oui
Diagramme en bâtons oui oui oui non
Histogramme non non non oui

Deux frontières à retenir

Comment lire ce tableau

Les colonnes sont emboîtées : chaque type autorise tout ce que le précédent autorise, plus quelque chose.

Il suffit donc de retenir les deux frontières :

  • le cumul exige un ordre ;
  • la moyenne exige des écarts qui aient un sens.

Toutes les erreurs de ce cours viennent d’un franchissement de l’une de ces deux frontières.

Sur le fil rouge
  • Région : on peut dire « la plus représentée est Tanger-Tétouan », jamais « la région médiane ».
  • Diplôme : « le diplôme médian est Bac+2 », jamais « le diplôme moyen ».
  • Salaire et ancienneté : tout est permis.

La variable binaire

Deux modalités, codées 0 et 1

Une variable qualitative à deux modalités — le sexe, oui/non, en défaut ou non.

Codée 0 et 1, elle possède une propriété remarquable : sa moyenne est la proportion de 1. En effet, la somme des x_i compte les individus codés 1 : \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{\text{nombre de } 1}{n}

Vérification

En codant 1 pour les femmes : la somme vaut 215, et la moyenne 215/500 = 0{,}43 — exactement la part des femmes.

C’est la seule variable qualitative dont on puisse légitimement calculer la moyenne : le codage 0/1 n’est pas arbitraire, il compte.

Une proportion est une moyenne

La part des Bac+5, par sexe

On code 1 un salarié titulaire d’un Bac+5, 0 sinon, et l’on fait la moyenne dans chaque groupe :

Effectif Bac+5 Moyenne de la variable 0/1
Femmes 215 48 48/215 = 0{,}223
Hommes 285 59 59/285 = 0{,}207
Ensemble 500 107 107/500 = 0{,}214
Pourquoi c’est important

Toute la statistique des proportions, en inférentielle, repose sur ce fait : une proportion est une moyenne, et tous les résultats sur les moyennes s’y appliquent. Un taux de chômage, un taux de défaut, une part de marché en sont des exemples.

S’entraîner

Exercice 1 : classer les variables d’une enquête

Une enquête auprès des ménages

Une enquête relève, pour chaque ménage d’un quartier de Tanger :

  1. le nombre de personnes du ménage ;
  2. le statut d’occupation du logement : propriétaire, locataire, logé gratuitement ;
  3. le revenu mensuel du ménage, en dirhams ;
  4. la satisfaction à l’égard du quartier : faible, moyenne, forte ;
  5. le milieu de résidence d’origine : urbain, rural ;
  6. la dépense alimentaire mensuelle, en dirhams.

Pour chaque variable, donner son type, puis dire si l’on peut calculer un mode, une médiane, une moyenne. Laquelle peut-on coder 0/1 ?

Exercice 1 : solution

Le classement
Variable Type Mode Médiane Moyenne
1. Nombre de personnes quantitative discrète oui oui oui
2. Statut d’occupation qualitative nominale oui non non
3. Revenu mensuel quantitative continue oui oui oui
4. Satisfaction qualitative ordinale oui oui non
5. Milieu d’origine qualitative nominale oui non non
6. Dépense alimentaire quantitative continue oui oui oui
La variable binaire

Le milieu d’origine n’a que deux modalités : codé 1 pour rural, sa moyenne donne la proportion de ménages d’origine rurale. Revenu et dépense, qui prennent presque autant de valeurs que de ménages, se traitent comme continus.

Exercice 2 : cinq entreprises

Un fichier d’entreprises
Entreprise Secteur Salariés Exportatrice Taille
A textile 180 oui moyenne
B agroalimentaire 45 non petite
C textile 620 oui grande
D services 12 non petite
E automobile 310 oui moyenne
  1. Quels sont la population, l’individu et l’effectif total ?
  2. Donner le type de chacune des quatre variables.
  3. Coder « exportatrice » en 0/1 et calculer sa moyenne. Que représente-t-elle ?
  4. Déterminer la taille médiane. Peut-on parler de « secteur médian » ?

Exercice 2 : solution

Vocabulaire et types
  1. Population : ces cinq entreprises ; individu : une entreprise — pas une personne ; n = 5.
  2. Secteur : qualitative nominale. Salariés : quantitative discrète. Exportatrice : qualitative nominale binaire. Taille : qualitative ordinale (petite < moyenne < grande).
Moyenne binaire et médiane ordinale
  1. Codage 1, 0, 1, 0, 1 : moyenne 3/5 = 0{,}6, soit 60\,\% d’entreprises exportatrices.
  2. On range les tailles : petite, petite, moyenne, moyenne, grande. Avec n = 5, la médiane est la valeur de rang 3 : la taille médiane est « moyenne ». Le secteur n’a pas d’ordre : un « secteur médian » n’a aucun sens ; seul le mode existe ici, le textile.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Population, individu, effectif total n : à définir par écrit avant tout calcul ; changer la définition change les chiffres.
  2. Une variable prend des modalités, exhaustives et incompatibles.
  3. Un fichier : un individu par ligne, une variable par colonne.
  4. Quatre types : nominale, ordinale, discrète, continue.
  5. Le cumul exige un ordre ; la moyenne exige des écarts qui aient un sens.
  6. Coder une variable qualitative en nombres ne la rend pas quantitative ; une ordinale a une médiane, pas de moyenne.
  7. Une variable binaire codée 0/1 a pour moyenne la proportion.
La suite

Le vocabulaire est en place. On peut maintenant construire l’objet qui résume à lui seul toute une variable : le tableau statistique. C’est le chapitre 2.

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