Analyse des données avancée

Profils, barycentres et lecture conjointe

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Chapitre 9 : Profils, barycentres et lecture conjointe

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Les relations barycentriques

Les deux formules

La transition en AFC

F_k(i) = \frac{1}{\sqrt{\lambda_k}} \sum_{j} \frac{f_{ij}}{f_{i\cdot}}\, G_k(j)

G_k(j) = \frac{1}{\sqrt{\lambda_k}} \sum_{i} \frac{f_{ij}}{f_{\cdot j}}\, F_k(i)

Ce qu’elles disent

Une ligne se place au barycentre des colonnes, pondéré par son profil. L’étudiant vient à 63{,}6\,\% pour le prix : il est tiré vers Prix à hauteur de 63{,}6\,\%.

Une colonne se place au barycentre des lignes, selon le même principe. Chaque nuage est le barycentre de l’autre : c’est parfaitement symétrique, et c’est ce qui n’existait pas en ACP.

Le facteur de dilatation

Pourquoi 1/\sqrt{\lambda_k}

Le barycentre d’un nuage est toujours à l’intérieur de ce nuage. Sans correction, les lignes seraient donc plus resserrées que les colonnes — et les colonnes plus resserrées que les lignes. C’est contradictoire.

Le facteur 1/\sqrt{\lambda_k}\geq 1 dilate chaque nuage pour que les deux tiennent à la même échelle.

La vérification, sur l’axe 1

\lambda_1 = 0{,}2267, donc 1/\sqrt{\lambda_1} = 2{,}100.

Barycentre exact de l’étudiant : 0{,}636\times(-0{,}544) + 0{,}091\times 0{,}523 + 0{,}227\times(-0{,}366) + 0{,}045\times 0{,}419 = -0{,}363

Après dilatation : -0{,}363 \times 2{,}100 = \mathbf{-0{,}762} — la coordonnée du tableau.

Le résultat que l’ACP n’avait pas

La superposition est ici légitime

En ACP, le chapitre 5 interdisait de lire une distance entre un individu et une variable : les deux nuages vivaient dans des espaces différents.

En AFC, chaque nuage est littéralement le barycentre de l’autre. Les deux se représentent sur le même graphique, et la proximité entre une ligne et une colonne se commente.

C’est la seule méthode du cours où cette lecture soit permise — et c’est ce qui fait de l’AFC l’outil préféré des études qualitatives.

Une précaution subsiste

Une ligne proche d’une colonne signifie que cette ligne sur-consomme cette colonne par rapport à l’indépendance.

Elle ne signifie pas que c’est sa modalité majoritaire. Le retraité est proche de Proximité parce qu’il la cite deux fois et demie plus que la moyenne — 56{,}7 contre 22{,}7\,\% — non parce que c’est un gros effectif : ils ne sont que dix-sept.

Le plan factoriel

Les coordonnées

Les cinq catégories
Ligne F_1 F_2 ctr 1 ctr 2 \cos^2 plan
Étudiant -0{,}762 \phantom{-}0{,}308 18{,}8 6{,}8 0{,}95
Employé -0{,}402 \phantom{-}0{,}166 24{,}0 9{,}1 1{,}00
Cadre \phantom{-}0{,}594 \phantom{-}0{,}263 37{,}3 16{,}1 0{,}93
Indépendant \phantom{-}0{,}348 -0{,}285 13{,}4 19{,}8 0{,}76
Retraité -0{,}384 -0{,}705 6{,}5 48{,}3 0{,}84

Les quatre motifs

Exemple
Colonne F_1 F_2 ctr 1 ctr 2 \cos^2 plan
Prix -0{,}544 \phantom{-}0{,}258 36{,}5 18{,}2 0{,}94
Choix \phantom{-}0{,}523 \phantom{-}0{,}317 33{,}0 26{,}7 0{,}95
Proximité -0{,}366 -0{,}341 13{,}4 25{,}5 0{,}79
Service \phantom{-}0{,}419 -0{,}372 17{,}1 29{,}6 0{,}85

Le plan

La lecture

Axe 1 : la contrainte budgétaire

D’un côté Prix, avec les étudiants et les employés. De l’autre Choix et Service, avec les cadres et les indépendants.

Les quatre contributions dominantes sont Prix (36{,}5\,\%) et Choix (33{,}0\,\%) pour les colonnes, les cadres (37{,}3\,\%) et les employés (24{,}0\,\%) pour les lignes. L’axe oppose ceux qui viennent parce que c’est moins cher à ceux qui viennent parce qu’il y a plus de choix.

Axe 2 : les retraités, seuls

Le second axe est fabriqué à 48{,}3\,\% par les retraités, contre Proximité et Service au sud.

Un axe porté à moitié par une seule modalité de 30 individus doit être regardé avec méfiance — c’est le seuil du chapitre 7. Ici il tient : 30 observations sur 300, ce n’est pas marginal, et le contenu s’interprète sans effort. Les retraités ne viennent ni pour le prix ni pour le choix, mais parce que c’est à côté.

Les cosinus carrés valident les commentaires

Toutes les qualités de représentation dans le plan sont comprises entre 0{,}76 et 1{,}00 : les huit points se commentent sans réserve.

Le plus faible est l’indépendant (0{,}76) : un quart de sa spécificité se trouve sur le troisième axe, qu’on ne dessine pas. Un point à 0{,}30, en revanche, ne se commenterait pas — sa position sur le dessin serait une ombre, non une information.

Les aides à l’interprétation

Les mêmes qu’en ACP, aux poids près

Contribution et cosinus carré

\text{ctr}_k(i) = \frac{f_{i\cdot}\,F_k(i)^2}{\lambda_k} \qquad\qquad \cos^2_k(i) = \frac{F_k(i)^2}{d^2_{\chi^2}(i,\ \text{profil moyen})}

Le poids f_{i\cdot} remplace 1/n : c’est la seule différence.

La conséquence de ce changement de poids

En ACP, tous les individus pèsent pareil. En AFC, une modalité rare pèse peu.

L’étudiant est le point le plus éloigné de l’origine sur l’axe 1, à -0{,}762 — plus loin que le cadre, à 0{,}594. Il contribue pourtant deux fois moins : 18{,}8 contre 37{,}3\,\%, parce qu’il ne pèse que 7{,}3\,\% de l’effectif.

Le point le plus visible n’est pas le plus déterminant.

Les modalités rares

Le piège classique de l’AFC

Une modalité à très faible effectif a un profil instable et une distance au centre énorme : elle s’envole au bord du graphique, écrasant tout le reste vers l’origine.

Trois remèdes, dans l’ordre : la regrouper avec une modalité voisine — l’équivalence distributionnelle garantit que c’est licite si les profils se ressemblent ; la passer en supplémentaire ; ou l’écarter en le disant.

Ce qu’on ne fait pas : commenter un point qui pèse 1\,\% de l’effectif comme s’il structurait le tableau.

Les éléments supplémentaires

Une ligne ou une colonne projetée

Une ligne supplémentaire se projette par la même formule barycentrique, avec son propre profil.

Elle n’entre ni dans le calcul des marges, ni dans celui des axes : sa contribution est nulle par construction.

L’usage le plus utile

Une nouvelle vague d’enquête se projette sur les axes de la précédente. Si le point tombe au même endroit, la structure du marché n’a pas bougé ; s’il se déplace, la direction du déplacement dit vers quel motif la clientèle glisse.

C’est ainsi qu’on fait de l’AFC un outil de suivi, et non un cliché isolé.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. Chaque ligne est le barycentre des colonnes pondéré par son profil, et réciproquement.
  2. Le facteur 1/\sqrt{\lambda_k} dilate les deux nuages pour les mettre à la même échelle ; ici 2{,}100.
  3. En AFC — et là seulement — la lecture conjointe lignes et colonnes est légitime.
  4. Proximité signifie sur-représentation par rapport à l’indépendance, non fréquence élevée.
  5. Contribution et cosinus carré sont ceux de l’ACP, le poids 1/n devenant la marge f_{i\cdot}.
  6. Sur nos données : l’axe 1 est la contrainte budgétaire, l’axe 2 isole les retraités et la proximité.
La suite

L’AFC croise deux variables qualitatives. Un questionnaire en compte quinze. Le chapitre 10 étend la méthode à un nombre quelconque de variables : c’est l’analyse des correspondances multiples.

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Ressources du chapitre