Analyse des données avancée
Combien d’axes retenir
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 6 : Combien d’axes retenir
Sans réponse unique
Ce que l’algèbre ne décide pas
Garder tous les axes : aucune perte, aucun gain — on n’a rien résumé.
Garder un seul axe : un résumé maximal, une perte peut-être inacceptable.
Aucun théorème ne tranche. Le choix relève du jugement, éclairé par plusieurs critères convergents.
Un axe se garde s’il s’interprète. Un axe dont personne ne sait quoi dire ne sert à rien, quel que soit son pourcentage d’inertie.
Inversement, un troisième axe à 5\,\% mais qui isole nettement un segment de clientèle mérite d’être gardé. Les critères qui suivent orientent la décision ; ils ne la remplacent pas.
Les quatre critères
Le pourcentage cumulé
\text{taux cumulé} = \frac{\lambda_1+\dots+\lambda_k}{I}
On retient assez d’axes pour dépasser un seuil : 70, 80 ou 90\,\% selon l’usage.
Le seuil « raisonnable » dépend entièrement de p. Avec 3 variables, deux axes donnent facilement 90\,\% et cela ne signifie rien. Avec 50 variables, 60\,\% sur deux axes est un résultat remarquable.
Un pourcentage ne se juge jamais dans l’absolu, mais toujours contre ce qu’un tableau sans structure aurait donné — ce que le critère suivant chiffre.
Le critère de Kaiser
\text{retenir les axes tels que } \lambda_k > 1
En ACP normée, chaque variable de départ porte une inertie de 1, et le total vaut p. La valeur propre moyenne vaut donc exactement 1.
Un axe de valeur propre inférieure à 1 résume moins d’information qu’une variable isolée n’en apporte. Le remplacer par une combinaison de huit variables serait un mauvais échange.
\lambda_1=4{,}535 et \lambda_2=1{,}645 dépassent 1. \lambda_3=0{,}382 ne l’atteint pas — et de loin.
Deux axes.
Le raffinement de Karlis, Saporta et Spinaki
\lambda_k > 1 + 2\sqrt{\frac{p-1}{n-1}}
Le critère de Kaiser est connu pour être trop généreux quand n est petit devant p.
1 + 2\sqrt{\frac{7}{299}} = 1 + 2\times 0{,}153 = 1{,}306
\lambda_2 = 1{,}645 passe encore. Deux axes, de nouveau.
L’éboulis et le coude de Cattell
La règle du coude
On repère la cassure dans le graphique des valeurs propres, et l’on retient les axes avant elle.
Les chutes successives, sur nos données
| Passage | Chute |
|---|---|
| \lambda_1 \to \lambda_2 | 2{,}890 |
| \lambda_2 \to \lambda_3 | 1{,}263 |
| \lambda_3 \to \lambda_4 | 0{,}033 |
| \lambda_4 \to \lambda_5 | 0{,}022 |
| \lambda_5 \to \lambda_6 | 0{,}044 |
La chute s’effondre d’un facteur 40 entre la deuxième et la troisième. Le coude est net.
Ce que la queue de l’éboulis raconte
Les six dernières valeurs propres vont de 0{,}382 à 0{,}229 : elles sont presque égales.
C’est la signature d’un nuage sans direction privilégiée — donc du bruit. Un éboulis plat ne se coupe pas au milieu : il se laisse entier de côté.
Prolonger au-delà des critères
Quatre convergences
| Critère | Décision |
|---|---|
| Cumulé à 77{,}3\,\% | deux axes suffisent |
| Kaiser | deux axes |
| Karlis, Saporta et Spinaki | deux axes |
| Coude de Cattell | deux axes |
Quatre critères indépendants donnent la même réponse. C’est le cas favorable, et il n’est pas le plus courant.
Quand ils divergent — Kaiser en donne quatre, le coude en donne deux — on tranche par l’interprétation, puis on refait l’analyse avec l’autre nombre pour voir si les conclusions bougent.
Ce qu’on ne fait jamais
Choisir le nombre d’axes après avoir vu les résultats qui plaisent. C’est de la construction de conclusion, non de l’analyse.
Garder un axe non interprétable parce qu’il dépasse un seuil. Un axe sans nom ne se commente pas.
Retenir un axe porté par un seul individu. Le chapitre 7 donne l’outil qui le détecte : la contribution.
Combien d’axes pour classer
Pour représenter, deux axes s’imposent : on ne dessine pas en dimension trois.
Pour classer — au chapitre 11 et après — rien n’oblige à visualiser. L’usage est d’aller jusqu’à 80 ou 90\,\% d’inertie, quitte à garder cinq ou six axes qu’on ne dessinera jamais.
Classer sur les axes retenus plutôt que sur les variables brutes n’est pas seulement plus rapide : c’est plus juste.
Les derniers axes portent le bruit. Les écarter avant de classer, c’est empêcher le bruit de créer des classes.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Aucun théorème ne dit combien d’axes garder : c’est un jugement.
- Le pourcentage cumulé ne se juge pas dans l’absolu, mais contre le nombre de variables.
- Kaiser : en ACP normée, garder les axes tels que \lambda_k>1, la moyenne des valeurs propres valant 1.
- Le seuil corrigé 1+2\sqrt{(p-1)/(n-1)} vaut ici 1{,}306, et ne change pas la conclusion.
- Le coude de l’éboulis est net entre le deuxième et le troisième axe.
- Un axe se garde s’il s’interprète — ce critère prime sur les quatre autres.
Deux axes sont retenus. Le chapitre 7 donne les trois outils sans lesquels on ne peut pas les commenter : la contribution, le cosinus carré et les éléments supplémentaires.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)