Analyse des données avancée
Le positionnement multidimensionnel
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 17 : Le positionnement multidimensionnel
Partir de distances
Le renversement
Méthode qui, à partir d’un tableau de distances entre objets, reconstruit un espace où ces objets se placent en respectant au mieux ces distances.
En anglais : multidimensional scaling, d’où le sigle MDS.
L’ACP part des variables et calcule les distances. Le MDS part des distances et retrouve des variables — ou plutôt des axes, puisque les variables d’origine n’existent pas.
On peut toujours passer d’un tableau de mesures à un tableau de distances. Jamais l’inverse — sauf par le MDS.
L’analogie qui éclaire tout
Un guide routier donne les distances entre villes, sans aucune coordonnée. Le MDS retrouve la carte.
Et il la retrouve à une rotation près : rien dans le tableau ne dit où est le nord. C’est déjà la principale propriété de la méthode, et sa principale difficulté d’interprétation.
On demande à des clients : « ces deux enseignes se ressemblent-elles ? », noté de 0 à 6. On moyenne sur les répondants.
Aucun critère n’a été imposé. Le client compare comme il l’entend — et c’est l’intérêt : l’étude n’impose pas ses catégories aux personnes interrogées.
La méthode
Le MDS classique
- Passer des distances aux produits scalaires : b_{ij}=-\tfrac{1}{2}\,d_{ij}^2, puis double centrage.
- Diagonaliser la matrice obtenue.
- Les coordonnées sont \sqrt{\lambda_k} fois les vecteurs propres.
Quatrième fois du cours. ACP, AFC, ACM, AFD, MDS : cinq méthodes, un seul outil mathématique.
Ce qui les distingue n’est jamais le calcul, c’est la matrice qu’on lui donne à manger — corrélations, profils, disjonctif, W^{-1}B, distances doublement centrées.
Le MDS non métrique
Si les jugements sont des rangs — « A et B se ressemblent plus que C et D » — on ne demande à la carte de respecter que l’ordre des dissimilarités.
C’est l’algorithme de Kruskal, itératif, qui minimise le stress.
Une note de ressemblance sur une échelle de 0 à 6 n’est pas une mesure : rien ne garantit que l’écart entre 2 et 3 vaut celui entre 5 et 6.
En pratique, les deux versions donnent des cartes très voisines quand les données sont propres. Nous restons au MDS classique, plus simple et exactement parallèle à l’ACP.
La carte de positionnement
Huit enseignes sur un plan
Contrôler la qualité
Nommer les axes
Les axes sortent sans étiquette, et à une rotation près. Ils n’ont aucun sens en eux-mêmes.
C’est au chargé d’études de les baptiser, en regardant quelles enseignes se trouvent aux extrémités.
On demande aux mêmes répondants, dans un second temps, de noter chaque enseigne sur quelques attributs — prix, largeur de gamme, qualité du service.
On projette ensuite ces attributs sur la carte, comme des variables illustratives. Ce ne sont plus des noms devinés, mais des directions mesurées. C’est la pratique professionnelle standard, et elle rend la carte défendable.
L’usage en gestion
Ce que la carte sert à décider
Les concurrents directs : Zahra et Salam sont voisines. Elles se disputent la même clientèle, quelles que soient leurs déclarations d’intention.
Les espaces vides : une zone sans enseigne est une niche possible — ou une position que personne ne veut, faute de clientèle.
L’isolement : Nour est seule dans le haut de la carte. Position protégée, ou position abandonnée.
Un trou dans la carte est le résultat le plus tentant et le plus dangereux d’une étude de positionnement.
Il peut signaler une niche inexploitée. Il peut aussi signaler une position dont personne ne veut — parce qu’aucune clientèle ne s’y trouve. La carte ne distingue pas les deux ; il faut une autre étude pour cela.
Une remarque de méthode
Elle représente ce que les clients croient, non ce que les enseignes sont.
Une enseigne dont les prix sont réellement bas mais qui est perçue comme chère a un problème de communication, pas de tarification. La carte ne dit pas lequel des deux cas on tient.
En marketing, la perception commande le choix du magasin bien plus que le prix affiché.
Une carte perceptuelle est donc plus prédictive du comportement qu’un relevé de prix — à condition de ne jamais confondre l’une avec l’autre.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Le MDS part de distances et reconstruit un espace — l’inverse de toutes les autres méthodes.
- Il ne demande aucune variable mesurée : seulement des jugements de ressemblance.
- Le MDS classique diagonalise la matrice doublement centrée ; le non métrique ne respecte que l’ordre.
- Le stress de Kruskal juge la carte : ici 3{,}75\,\%, et 97{,}3\,\% d’inertie sur deux axes.
- Les axes n’ont pas de nom : on les baptise en projetant des attributs mesurés à part.
- La carte représente des perceptions, jamais la réalité des enseignes.
Six méthodes, six chapitres de mécanique. Il reste à les enchaîner sur une seule question de gestion, de bout en bout.
C’est l’étude de cas.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)