Analyse des données avancée
L’analyse factorielle discriminante
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 15 : L’analyse factorielle discriminante
Un changement de situation
Ce qui change
Jusqu’ici, aucune méthode ne savait à quel groupe appartenait un individu — la classification devait les construire.
L’analyse factorielle discriminante part de groupes donnés, et cherche ce qui les distingue.
Les clients se répartissent en trois groupes selon leur fréquence de visite : 112 rares, 87 mensuels, 101 hebdomadaires.
Qu’est-ce qui, dans les huit notes de satisfaction, sépare le client qui revient de celui qui ne revient pas ? L’ACP suggérait une réponse ; l’AFD va la mesurer.
ACP et AFD : la différence en une image
Le critère
La décomposition de l’inertie, encore
T = B + W
B : la dispersion entre les centres des groupes. W : la dispersion à l’intérieur des groupes. T : la dispersion totale.
\max_u \; \frac{u'Bu}{u'Wu}
Une séparation nette suppose deux choses à la fois : des centres éloignés — grand numérateur — et des groupes resserrés autour de leur centre — petit dénominateur.
Un axe où les centres sont loin mais les groupes très étalés ne sépare rien : les nuages se recouvrent.
La solution
Les axes discriminants sont les vecteurs propres de W^{-1}B, et les valeurs propres \mu_k mesurent le pouvoir discriminant de chaque axe.
Leur nombre est au plus \min(K-1,\,p) : avec trois groupes, deux axes au maximum.
\mu_1 = 1{,}0161 \qquad \mu_2 = 0{,}0103
Le premier axe porte 99{,}0\,\% du pouvoir séparateur. La distinction entre les trois groupes est unidimensionnelle : un seul nombre suffit à situer un client sur l’échelle de la fidélité.
L’axe discriminant révèle
Le plan
La composition de l’axe
| Note | r | Note | r | |
|---|---|---|---|---|
| conseil | 0{,}907 | agencement | 0{,}446 | |
| accueil | 0{,}899 | qualité | 0{,}397 | |
| rapidité | 0{,}867 | choix | 0{,}357 | |
| propreté | 0{,}603 | prix | 0{,}110 |
Les quatre premières places sont occupées par les quatre critères de service. Le prix arrive dernier, à 0{,}110 — autant dire rien.
Le prix n’a aucun pouvoir de distinguer un client fidèle d’un client occasionnel. C’est le résultat du chapitre 14, désormais chiffré variable par variable.
Un test que l’on peut mentionner
\Lambda=\prod_k \frac{1}{1+\mu_k}=0{,}4909
Il varie de 0 — séparation parfaite — à 1 — aucune séparation.
L’AFD est la seule méthode du programme qui admette un cadre inférentiel : sous hypothèse de normalité multivariée, \Lambda se transforme en une statistique de Fisher.
On peut donc, ici seulement, tester la séparation. Nous n’en ferons pas usage : l’hypothèse de normalité est douteuse sur des notes discrètes, et \Lambda=0{,}49 parle assez de lui-même.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- L’AFD part de groupes connus et cherche ce qui les sépare.
- L’ACP maximise l’inertie totale ; l’AFD maximise le rapport B/W.
- Les axes sont les vecteurs propres de W^{-1}B ; il y en a au plus \min(K-1,\,p).
- Chez nous : \mu_1=1{,}016 et \mu_2=0{,}010 — la séparation est unidimensionnelle.
- L’axe est fait de conseil, accueil et rapidité ; le prix y pèse 0{,}110.
- Le lambda de Wilks vaut 0{,}491 : c’est la seule méthode du cours qui admette un test.
Nous savons ce qui distingue les trois groupes. Reste à s’en servir : classer un client dont on ignore la fréquence de visite.
C’est le passage de la description à la règle de décision — et il faudra en mesurer honnêtement les erreurs.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)