Analyse des données avancée

La classification ascendante hiérarchique

Analyse des données avancée

Analyse des données avancée

Chapitre 12 : La classification ascendante hiérarchique

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

L’algorithme

Le principe, en trois lignes

Classification ascendante hiérarchique
  1. Au départ, chaque individu est une classe : n classes.
  2. À chaque étape, fusionner les deux classes les plus proches.
  3. S’arrêter quand il n’en reste qu’une.
Ce que l’algorithme produit

Non pas une partition, mais une suite emboîtée de partitions — de n classes à une seule.

C’est ce qui fait la force de la méthode : on n’a pas à décider du nombre de classes avant de calculer. On regarde l’arbre, puis on coupe.

Les critères d’agrégation

Le critère de Ward

Pourquoi c’est presque toujours celui qu’on retient

Le coût d’une fusion

\Delta(a,b)=\frac{n_a\,n_b}{n_a+n_b}\;d^2(G_a,G_b)

On fusionne les deux classes dont la réunion fait perdre le moins d’inertie interclasse.

Deux termes, deux effets

Le facteur d^2(G_a,G_b) dit que les classes doivent être proches.

Le facteur \dfrac{n_an_b}{n_a+n_b} dit qu’il est plus coûteux de fusionner deux grosses classes. Ward tend donc à produire des classes de tailles comparables — ce qui est en général souhaitable en segmentation : une classe de deux clients ne sert à rien.

La cohérence avec l’ACP

Même monnaie, même géométrie

Ward raisonne en inertie : exactement la quantité que l’ACP a maximisée, et exactement celle que l’on décomposera pour juger la partition.

Enchaîner ACP puis CAH de Ward, ce n’est donc pas juxtaposer deux méthodes : c’est poursuivre le même calcul. C’est pourquoi cette séquence est devenue la pratique standard des études de marché.

La décomposition de l’inertie d’une partition

I_{\text{totale}} = I_{\text{intraclasse}} + I_{\text{interclasse}}

Une bonne partition maximise l’inter — les classes bien séparées — et minimise l’intra — les classes homogènes. Les deux objectifs n’en font qu’un.

L’arbre et sa coupure

Le dendrogramme

Où couper, en chiffres

La partition obtenue

Quatre classes, sur nos trois cents clients
Classe Effectif F_1 moyen F_2 moyen
1 61 +2{,}50 -0{,}45
2 82 +1{,}06 +1{,}31
3 59 +0{,}06 -1{,}61
4 98 -2{,}49 +0{,}16
La qualité de la partition

L’inertie interclasse représente 74{,}93\,\% de l’inertie du nuage projeté.

Trois quarts de la dispersion des clients s’expliquent par leur appartenance à l’une des quatre classes. Le quart restant est la variabilité à l’intérieur des classes — et il n’y a aucune raison de vouloir l’annuler : des clients d’un même segment ne sont pas identiques.

Les limites de la méthode

Deux défauts qu’il faut connaître

Ce que la CAH ne sait pas faire
  1. Une fusion est définitive. Deux individus réunis à l’étape 3 le restent jusqu’au bout, même si l’étape 200 montre qu’ils n’auraient pas dû l’être.
  2. Le calcul est lourd : il faut la matrice des n(n-1)/2 distances. À 100\,000 clients, c’est impraticable.
Le premier défaut a un remède

Il s’appelle la consolidation : reprendre la partition obtenue et laisser un algorithme la corriger, individu par individu.

C’est exactement ce que fait la seconde famille d’algorithmes. Les deux méthodes sont complémentaires, non concurrentes — et le chapitre 13 le montre sur nos données.

Une mise en garde de fond

Un arbre existe toujours

L’algorithme produira un dendrogramme sur n’importe quelles données, y compris sur trois cents points tirés au hasard.

Il n’existe aucun test pour savoir si les classes sont réelles. Une CAH ne découvre pas des groupes : elle en construit.

Comment se prémunir

Trois vérifications, dans cet ordre. Le saut d’inertie est-il net ? Un arbre sans coupure évidente signale un nuage sans structure. Les classes s’interprètent-elles ? Se retrouve-t-on avec une autre méthode ?

Sur nos données, le saut passe de 3{,}62 à 9{,}74\,\%, les quatre classes se nomment sans peine, et le chapitre 13 confirmera la partition. Trois signaux concordants.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. La CAH part de n classes et fusionne à chaque étape les deux plus proches.
  2. Elle produit une hiérarchie, non une partition : on choisit après coup.
  3. Ward minimise la perte d’inertie interclasse — même monnaie que l’ACP.
  4. On coupe avant le grand saut : ici de 3{,}62 à 9{,}74\,\%, donc quatre classes.
  5. Notre partition retient 74{,}93\,\% de l’inertie en interclasse.
  6. Deux limites : les fusions sont définitives, et le calcul est lourd sur gros fichiers.
La suite

Une seconde famille d’algorithmes corrige les deux défauts — au prix d’une exigence nouvelle : il faut lui dire combien de classes on veut.

Puisque la CAH vient de répondre à cette question, les deux méthodes s’enchaînent naturellement.

← Chapitre précédentDistances et dissimilarités Chapitre suivant →Les k-means et la consolidation

Ressources du chapitre