Analyse des données avancée
L’analyse des correspondances multiples
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 10 : L’analyse des correspondances multiples
Le tableau à analyser
Le tableau disjonctif complet
La définition, en une ligne
Une AFC appliquée au tableau disjonctif complet de p variables qualitatives.
Aucune théorie nouvelle : la même distance du khi-deux, la même décomposition, les mêmes règles de lecture.
CSP (5 modalités), fréquence (3), carte (2), motif (4), sexe (2).
Total : K=16 colonnes pour p=5 variables et n=300 lignes. Là où l’AFC exigeait dix tableaux, l’ACM n’en demande qu’un.
Le tableau de Burt
Ce qui change par rapport
L’inertie totale devient artificielle
I_{\text{tot}}=\frac{K}{p}-1
Ici 16/5-1=2{,}20. Cette quantité ne dépend pas des données : elle ne dépend que du nombre de modalités.
Ajoutez une modalité — découpez l’âge en cinq tranches au lieu de trois — et l’inertie totale augmente, sans qu’aucune information nouvelle n’entre dans le fichier.
Les pourcentages d’inertie de l’ACM sont donc structurellement bas et non comparables d’une analyse à l’autre. Il faut le savoir avant de lire le premier tableau de sortie.
Les valeurs propres, et comment ne pas s’en effrayer
La règle de Benzécri
Ne retenir que les axes tels que \lambda_k > 1/p.
Ici 1/5=0{,}20, et cinq axes passent le seuil : 0{,}330, 0{,}296, 0{,}268, 0{,}238, 0{,}205.
Un axe qui ne dépasse pas 1/p n’explique pas plus qu’une modalité prise au hasard.
Benzécri proposait en outre une correction des valeurs propres retenues, qui rehausse fortement les pourcentages affichés. On la mentionne sans l’appliquer ici : le principe à retenir est qu’on interprète une ACM par ses contributions, jamais par ses pourcentages.
La lecture
Le plan des modalités
L’interprétation par les contributions
Quatre modalités font 71{,}8\,\% de l’axe : Rare (20{,}6\,\%), carte Non (20{,}0\,\%), carte Oui (16{,}0\,\%), Hebdomadaire (15{,}2\,\%).
Deux variables sur cinq construisent donc presque tout le premier axe. C’est l’axe de l’attachement à l’enseigne, et il recoupe l’axe 1 de l’ACP — vu du côté des comportements plutôt que des opinions.
Prix (21{,}8\,\%) et Étudiant (16{,}5\,\%) d’un côté ; Choix (14{,}0\,\%) et Cadre (13{,}5\,\%) de l’autre.
C’est l’axe 1 de l’AFC du chapitre 9, retrouvé dans une analyse qui ne l’avait pas cherché. Deux méthodes différentes, sur le même fichier, aboutissent au même constat : c’est ce qui donne confiance dans le résultat.
Une variable qui ne dit rien
Femme : F_1=-0{,}027, F_2=+0{,}164. Homme : F_1=+0{,}032, F_2=-0{,}193. Contributions arrondies à 0{,}0\,\% sur les deux axes.
Les deux modalités sont collées à l’origine.
Une modalité au centre du plan est une modalité dont le profil est le profil moyen : elle ne distingue rien.
Le sexe ne structure ni la fréquentation, ni le motif de visite, ni la fidélité. Le chapitre 7 avait déjà montré qu’il ne structurait pas la satisfaction. Deux méthodes, deux fois le même résultat négatif — et une segmentation par sexe serait, sur ces données, sans fondement.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- L’ACM est une AFC du tableau disjonctif complet : aucune notion nouvelle.
- Le tableau de Burt donne les mêmes axes et se préfère quand n est très grand.
- L’inertie totale vaut K/p-1 : elle ne dépend que du nombre de modalités.
- Les pourcentages sont donc structurellement bas et non comparables d’une étude à l’autre.
- Règle de Benzécri : retenir les axes tels que \lambda_k>1/p — ici cinq.
- On interprète par les contributions. Une modalité au centre ne distingue rien : c’est le cas du sexe.
Nous savons décrire : un plan pour les notes, un plan pour les profils, un plan pour les modalités.
Décrire n’est pas décider. Une direction commerciale ne pilote pas trois cents clients un par un : elle en veut quelques groupes. C’est la quatrième partie.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)