Analyse des données avancée
Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 7 : Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
Deux questions à distinguer
La distinction fondatrice
La contribution répond à : cet élément a-t-il fabriqué l’axe ?
Le cosinus carré répond à : cet élément est-il bien représenté sur l’axe ?
Un individu extrême dans une direction que l’axe ne suit pas : contribution faible, cosinus carré faible.
Un individu très excentré exactement dans la direction de l’axe : les deux fortes.
Un individu proche du centre mais parfaitement aligné : cosinus carré fort, contribution nulle. Il est bien décrit par l’axe, mais n’y a rien apporté.
Les deux indicateurs se lisent donc ensemble, jamais l’un sans l’autre.
La contribution
Définition
\text{ctr}_k(i) = \frac{p_i \, F_{ik}^2}{\lambda_k}
Avec des poids uniformes : \text{ctr}_k(i) = F_{ik}^2 / (n\lambda_k).
\sum_{i=1}^{n} \text{ctr}_k(i) = 1 \qquad\qquad \text{contribution moyenne} = \frac{1}{n}
Elle se lit en colonne : la somme des contributions d’un axe vaut 100\,\%.
Avec 300 clients, la contribution moyenne vaut 1/300 = 0{,}33\,\%.
L’usage retient les individus dont la contribution dépasse deux ou trois fois la moyenne — ici, 1\,\%. En dessous, l’individu ne dit rien de l’axe.
Le cas dangereux
| Client | F_1 | F_2 | Contribution |
|---|---|---|---|
| 14 | -4{,}99 | \phantom{-}0{,}70 | 1{,}83\,\% |
| 168 | -4{,}80 | -0{,}48 | 1{,}70\,\% |
| 293 | -4{,}76 | -0{,}48 | 1{,}66\,\% |
| 166 | \phantom{-}4{,}61 | -0{,}84 | 1{,}56\,\% |
| 69 | -4{,}57 | -0{,}46 | 1{,}53\,\% |
Ce que ce tableau permet de conclure
Le plus gros contributeur pèse 1{,}83\,\% — cinq fois la moyenne, mais très loin d’être déterminant.
Il n’y a donc aucun individu dominant : l’axe 1 est porté par l’ensemble du fichier. C’est le résultat qu’on espère, et il faut le vérifier avant tout commentaire.
Si un seul client avait porté 30\,\% d’un axe, cet axe n’aurait décrit que lui : il aurait fallu le retirer, relancer l’analyse, et le réintroduire comme illustratif.
Le cosinus carré
Définition
\cos^2_k(i) = \frac{F_{ik}^2}{d^2(i,\mathbf{g})}
C’est le carré du cosinus de l’angle entre \overrightarrow{\mathbf{g}i} et l’axe k.
\sum_{k=1}^{r} \cos^2_k(i) = 1 \qquad\qquad \cos^2_{\text{plan}}(i) = \cos^2_1(i) + \cos^2_2(i)
Il se lit en ligne, et les qualités s’additionnent d’un axe à l’autre parce que les axes sont orthogonaux.
La formule dit exactement Pythagore
d^2(i,\mathbf{g}) est le carré de l’hypoténuse, F_{ik}^2 celui d’un côté. Le rapport est la part de l’éloignement de l’individu que l’axe restitue.
Un cosinus carré de 0{,}94 : 94\,\% de ce qui distingue ce client de la moyenne est visible sur le plan. Un cosinus carré de 0{,}15 : le point qu’on voit sur le graphique n’est pas ce client, mais une ombre trompeuse.
Sur les variables
Comment le tableau se lit
En ligne : la colonne \cos^2 du plan. Toutes les valeurs sont entre 0{,}70 et 0{,}81 — les huit notes sont bien représentées, aucune n’est près du centre du cercle, et toutes les positions relatives se commentent.
En colonne : les contributions. Sur l’axe 1, elles vont de 8{,}7 à 15{,}1\,\%, autour d’une moyenne de 12{,}5\,\%. Aucune variable ne fabrique l’axe à elle seule : c’est bien un effet de taille collectif.
Sur l’axe 2, l’écart est instructif
Les contributions s’étalent de 1{,}0 à 23{,}6\,\%. Le prix (23{,}6), l’accueil (20{,}5) et le conseil (17{,}1) construisent l’axe ; la propreté (1{,}0) n’y est pour rien.
La propreté est unanime : elle sépare les clients satisfaits des autres, mais ne distingue pas ceux qui viennent pour l’offre de ceux qui viennent pour le service.
Les éléments supplémentaires
Le principe
Un élément supplémentaire — ou illustratif — est projeté sur des axes construits sans lui. Il reçoit des coordonnées et un cosinus carré, mais jamais de contribution : sa contribution est nulle par construction.
Variable quantitative : sa coordonnée est sa corrélation avec la composante, et elle se place dans le cercle.
Modalité qualitative : elle se place au barycentre des individus qui la portent.
Individu supplémentaire : \mathbf{F}_{\text{new}} = \mathbf{z}_{\text{new}}'\mathbf{u}_k, en réduisant avec les moyennes et écarts-types de l’analyse d’origine.
Ce qu’elles révèlent sur nos données
Les barycentres des modalités
| Modalité | Effectif | F_1 |
|---|---|---|
| Rare | 112 | -1{,}32 |
| Mensuelle | 87 | \phantom{-}0{,}06 |
| Hebdomadaire | 101 | \phantom{-}1{,}41 |
| Femme | 162 | -0{,}03 |
| Homme | 138 | \phantom{-}0{,}03 |
Deux résultats de nature opposée
La fréquence s’ordonne parfaitement le long de l’axe 1 — rare, mensuelle, hebdomadaire — alors qu’elle n’a participé à aucun calcul. L’axe de satisfaction est un axe de fréquentation. C’est le résultat commercial du fichier.
Le sexe est confondu avec l’origine : -0{,}03 contre 0{,}03, sur une échelle où les individus vont de -5 à +5. Segmenter par sexe n’aurait, sur ces données, aucun fondement.
Un résultat négatif est un résultat
La deuxième conclusion n’est pas un échec de l’analyse. C’est une économie : elle dispense de construire une politique commerciale par sexe, et elle est aussi solide que la première.
Le plan des individus
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Contribution : cet élément a-t-il fabriqué l’axe ? Elle se lit en colonne et somme à 100\,\%.
- Cosinus carré : cet élément est-il bien représenté ? Il se lit en ligne et somme à 1 sur tous les axes.
- Les deux sont indépendants et se consultent ensemble.
- Seuil usuel de contribution : deux à trois fois la moyenne 1/n, soit 1\,\% ici.
- Aucun de nos 300 clients ne dépasse 1{,}9\,\% : l’axe 1 n’est porté par personne en particulier.
- Les éléments supplémentaires se projettent sans participer — d’où la valeur probante de la fréquence, qui s’ordonne toute seule.
L’ACP est close. Restent les variables qualitatives, que ni la moyenne ni la corrélation ne savent traiter : le chapitre 8 leur consacre une métrique propre, celle du khi-deux.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)